北侖中學2022學年第一學期高二年級期中考試數(shù)學試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1. 要判斷成對數(shù)據(jù)的線性相關程度的強弱，可以通過比較它們的樣本相關系數(shù)r的大小，以下是四組數(shù)據(jù)的相關系數(shù)的值，則線性相關最強的是（    ）A.   B.  C.   D.  【答案】A【解析】【分析】利用相關系數(shù)的含義,判斷每個選項里的相關系數(shù)的絕對值的大小即可.詳解】當時，表明兩個變量正相關；當時，表明兩個變量負相關； ，且 越接近于1，相關程度越大；越接近于0，相關程度越小，故 ，因此線性相關最強的是A,故選：A2. 某村莊對該村內(nèi)名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示： 每年體檢每年未體檢合計老年人年輕人合計已知抽取的老年人、年輕人各名，則對列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯誤的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中信息可得出關于、、、、、的等式，進而可判斷各選項的正誤.【詳解】由題意得，，，，，，所以，，，，，則.故選：D．3. 我國南宋數(shù)學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的系數(shù)規(guī)律，去掉所有為1的項，依次構成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，則此數(shù)列的第80項為（    ）A 13 B. 14 C. 78 D. 91【答案】D【解析】【分析】先由等差數(shù)列的求和公式判斷出第80項為第13行的第2個數(shù)，再由二項展開式的系數(shù)規(guī)律求解即可.【詳解】由圖可知：第1行有1項，第2行有2項，每一行的項數(shù)構成等差數(shù)列，前行共有項，當時，，故第80項為第13行的第2個數(shù)，由二項展開式的系數(shù)規(guī)律可知第13行的第2個數(shù)為.故選：D.4. 設隨機變量，函數(shù)沒有零點的概率是0.5，則（    ）附：若，則，.A. 0.1587 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3413【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)沒有零點得到的范圍，然后結合正態(tài)曲線的對稱性得到的值，結合正態(tài)曲線即可得到對應概率.【詳解】函數(shù)沒有零點,即方程無實根，，即，又函數(shù)沒有零點的概率是0.5，，由正態(tài)曲線的對稱性可知，即，，所以故選:B.5. 的展開式中的系數(shù)為（    ）A.  B.  C. 120 D. 200【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定展開式的通項公式，再采用分類討論法即可確定的系數(shù).【詳解】展開式的通項公式為，當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；當時，，此時只需乘以第一個因式中的即可，得到；據(jù)此可得：的系數(shù)為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查二項式定理具體展開項的系數(shù)求解問題，解題的關鍵是寫出的通項，再分類討論的值，確定的系數(shù)，考查學生的分類討論思想與運算能力，屬于中檔題.6. 設，隨機變量X的分布列是：X-112P 則當最大時的a的值是A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求得，，得到，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】根據(jù)隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差的計算公式，可得，又由可得，因為，所以當最大時的的值為.故選：D.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差的計算及應用，其中解答中熟記離散型隨機變量的分布列的期望與方差的計算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查運算求解能力，屬于中檔試題.7. 袋中有4個黑球，3個白球.現(xiàn)擲一枚均勻的骰子，擲出幾點就從袋中取出幾個球.若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】記骰子擲出的點數(shù)為i，，事件B: 取出的球全是白球，分別求出利用條件概率公式即可求解.【詳解】記骰子擲出的點數(shù)為i，，事件B: 取出的球全是白球，則,，所以所以若已知取出的球全是白球，則擲出2點的概率為：.故選：C.8. 正方體六個面上分別標有A、B、C、D、E、F六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（    ）種.A. 420 B. 600 C. 720 D. 780【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對面的顏色是否相同，分①三對面染相同的顏色、②兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色、③一對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.【詳解】分三類：1、若三對面染相同的顏色，則有種；2、若兩對面染相同顏色，另一對面染不同顏色，則有種；3、若一對面染相同顏色，另兩對面染不同顏色，則有種；∴共有種.故選：D二、多選題（每小題5分，共20分；每題完全正確得5分，不完全正確得2分）9. 對兩組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后得到的散點圖如圖，關于其線性相關系數(shù)的結論正確的是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)y與x成正相關或負相關可判斷相關系數(shù)的正負，根據(jù)點的密集程度可比較相關性的大小，從而比較相關系數(shù)絕對值的大?。?/span>【詳解】由散點圖可知，線性相關系數(shù)的圖像表示y與x成負相關，故-1<<0，故A正確；線性相關系數(shù)的圖像表示y與x正相關，故1>，故B錯誤；∵線性相關系數(shù)的點較線性相關系數(shù)的點密集，故>，故，故C正確，D錯誤．故選：AC．10. 袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則下列結論中正確的是（     ）A. 取出的白球個數(shù)X服從二項分布B. 取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布C. 取出2個白球的概率為D. 取出球總得分最大的概率為【答案】BD【解析】【分析】A、B根據(jù)題設描述寫出取出的白球個數(shù)X、黑球個數(shù)Y的可能情況，并求出對應情況的概率，易得它們都服從超幾何分布；進而可判斷C、D的正誤.【詳解】A：取出白球個數(shù)X可能為0、1、2、3、4，則，，，，，所以，即取出的白球個數(shù)X服從超幾何分布，錯誤；B：同A，取出黑球個數(shù)Y可能為0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布，正確；C：由A知取出2個白球概率為，錯誤；D：總得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率為，正確.故選：BD11. 對任意實數(shù)x，有．則下列結論成立的是（    ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】由題可知，利用二項展開式的通項即可求得，即可判斷A；令，可得，即可判斷B；令，可得，即可判斷C；令，可得，即可判斷D.【詳解】對任意實數(shù)x有，所以，故A不正確；令，可得，故B不正確；令，可得，故C正確；令，可得，故D正確．故選：CD．12. 已知數(shù)列滿足：，，下列說法正確的是（    ）A. ，成等差數(shù)列 B. C.  D. ，一定不成等比數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意得，再結合數(shù)列單調性與得，可判斷B選項；由遞推關系式易得，進而可判斷A選項；根據(jù)數(shù)列單調性得，進而可得判斷C；利用反證法先假設，成等比數(shù)列，推出之間的公比為，結合可以得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設不成立，可判斷D【詳解】解：因為，所以，且，所以①，所以②所以，②-①整理得：因為，所以數(shù)列為單調遞增數(shù)列，所以，即，故B選項正確；對于A選項，若，成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，由遞推關系得，顯然不滿足等差數(shù)列，故A選項錯誤；對于C選項，因為，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，所以，即，所以，因為，所以，所以，從第2項起，數(shù)列介于以為首項，公比分別為和為公比的等比數(shù)列對應項之間，所以，故C選項正確；對于D選項，假設，成等比數(shù)列，設之間的公比為，由可得即，因為，所以，解得，因為為單調遞增數(shù)列，所以，由可得，即整理得，所以成等比數(shù)列，所以以此類推能得到成等比數(shù)列，與矛盾，故假設不成立，故D正確；故選：BCD【點睛】本題關鍵點在于通過數(shù)列的遞推關系式以及等差數(shù)列、等比數(shù)列研究數(shù)列的性質，D選項中反證法的應用是本題的重難點，注意掌握加以應用.三、填空題（每小題5分，共20分）13. 設隨機變量X服從二項分布，若，則______．【答案】【解析】【分析】由隨機變量X服從二項分布可得，然后利用即可得到答案【詳解】解：因為隨機變量X服從二項分布，所以，所以，因為，所以，故答案為：14. 下表是某飲料專賣店一天賣出奶茶的杯數(shù)y與當天氣溫x（單位：）的對比表，已知表中數(shù)據(jù)計算得到y關于x的線性回歸方程為，則相應于點的殘差為________.氣溫510152025杯數(shù)y2620161414 【答案】.【解析】【分析】由表中數(shù)據(jù)計算出，，代入線性回歸方程求出，進而可求得結果.【詳解】，，代入線性回歸方程得，解得，則線性回歸方程為.所以，則相應于點的殘差為.故答案為：.15. 把a，a，a，b，b，，排成一排，要求三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，則這樣的排法共有______種．【答案】96【解析】【分析】計數(shù)綜合問題，可先對b，b，，進行排列，然后用“插空法”解決三個“a”兩兩不相鄰的問題，最后減去兩個“b”相鄰的情況即為所求【詳解】根據(jù)題意，分情況進行分析：①先排列b，b，，，若，不相鄰，則有（種）排法，若，相鄰，則有（種）排法．所以b，b，，的排法有（種），排好后有5個空位．②從所形成的5個空中選3個插入a，共有（種）方法，若b，b相鄰，從所形成的4個空中選3個插入a，共有（種）方法，故三個“a”兩兩步相鄰，且兩個“b”也不相鄰的排法共有（種）．故答案為：9616. 將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形. 記第三斜列構成數(shù)列，即，則的前項和__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再應用分組和裂項求和求即可.【詳解】由題設，、、、…….、，所以，又，，所以.故答案為：四、解答題（共70分）17. 甲、乙等6個班級參加學校組織的廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）的個數(shù)X的分布列.【答案】（1）    （2）分布列見解析【解析】【分析】（1）先求出甲、乙兩班級的出場序號均為偶數(shù)的概率，再利用對立事件的概率公式即可得出答案.（2）列出X的可能取值，求出每個X對應的概率，即可求出分布列.【小問1詳解】由題意得，甲、乙兩班級的出場序號均為偶數(shù)的概率，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率.【小問2詳解】易知X的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，.故X的分布列為X01234P 18. 已知二項式，（且）．若、、成等差數(shù)列．（1）求展開式的中間項；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）7．【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式定理寫出并化簡，寫出，由這三項成等差中項列出等式解出n，進而寫出最中間項即可；（2）設最大，則，展開解出即可.【詳解】（1），則，，，由題意知，則，即，因為，所以.展開式的中間項是（2）設最大，則有，即，解得,又，∴或6所以的最大值為.19. （1）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.【解析】【分析】（1）應用隔板法，在6個小球隊列的5個空隙中插入3塊隔板，即可得結果；（2）將6個不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}兩種方案分組放入箱子，即得結果；（3）在（2）的基礎上，作全排列即可得結果.【詳解】（1）6個相同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，將6個相同的小球排成一列，在形成的中間5個空隙中插入3塊隔板，所以不同的放法種數(shù)為；（2）6個不同的小球放入4個相同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，一種分組方法即為一種放法，所以不同的放法種數(shù)為；（3）6個不同的小球放入4個不同的箱子，每個箱子至少放1個小球，先把6個不同小球按2，2，1，1和3，1，1，1兩種方案分成4組，每一種分法的4組小球全排列，得到的每一個排列的4組小球分別放入4個箱子滿足要求，所以不同的放法種數(shù)為．20. 經(jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)（）的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表．275731．121．71502368．3630表中，．（1）根據(jù)散點圖判斷，，與哪一個適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，試求y關于x的回歸方程．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，結合給定的回歸方程模型的特征即可判斷；（2）對變換得：，變換后得樣本點分布在一條直線附近，即可用線性回歸方程來擬合，即可求出關于回歸方程．【小問1詳解】適宜作為y與x之間的回歸方程模型；理由如下： 回歸方程模型適用于散點圖呈直線型；回歸方程模型適用于散點圖上升，且上升趨勢越來越慢；回歸方程模型適用于散點圖上升，且上升趨勢越來越快，呈指數(shù)型變化；根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型．【小問2詳解】令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，；，∴；∴y關于x的回歸方程為．21. 2022年卡塔爾世界杯將11月20日開賽，某國家隊為考察甲、乙兩名球員對球隊的貢獻，現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計： 球隊勝球隊負總計甲參加3060甲未參加10總計60n乙球員能夠勝任前鋒?中場?后衛(wèi)三個位置，且出場率分別為：0.1，0.5，0.4；在乙出任前鋒、中場、后衛(wèi)的條件下，球隊輸球的概率依次為：0.2，0.2，0.7（1）根據(jù)小概率值=0.025的獨立性檢驗，能否認為該球隊勝利與甲球員參賽有關聯(lián)？（2）根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，問：①當乙參加比賽時，求該球隊某場比賽輸球的概率；②當乙參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求乙球員擔當中場的概率；③如果你是教練員，應用概率統(tǒng)計有關知識，該如何使用乙球員？附表：0.150.100.050.0250.0100.00500012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】（1）認為該球隊勝利與甲球員參賽有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過；    （2）①；②；③應該多讓乙球員擔任前鋒，來擴大贏球場次.【解析】【分析】（1）完善列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，求出卡方的觀測值，再與臨界值表比對作答.（2）①利用全概率公式計算某場比賽輸球的概率，②利用條件概率公式計算乙擔當中場的概率；③求出球隊輸?shù)臈l件下乙任前鋒、后衛(wèi)概率得解.【小問1詳解】依題意，，零假設為：球隊勝利與甲球員參賽無關，則的觀測值，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為該球隊勝利與甲球員參賽有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過.【小問2詳解】①設表示“乙球員擔當前鋒”；表示“乙球員擔當中場”；表示“乙球員擔當后衛(wèi)”；表示“球隊輸?shù)裟硤霰荣?/span>”，有，，，，，則，所以該球隊某場比賽輸球的概率是0.4.②由①知，球隊輸?shù)臈l件下，乙球員擔當中場的概率.③由①知，球隊輸?shù)臈l件下，乙球員擔當前鋒的概率，球隊輸?shù)臈l件下，乙球員擔當后衛(wèi)的概率，由②知，，所以，應該多讓乙球員擔任前鋒，來擴大贏球場次.22. 已知數(shù)列滿足，（其中）（1）判斷并證明數(shù)列的單調性；（2）記數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）單調遞減，證明見解析；    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）應用作差法比較大小，即可判斷的單調性；（2）根據(jù)遞推式易得且，即，再由可得，應用累加法可得，進而有，由裂項相消法即可證結論.【小問1詳解】單調遞減，理由如下：．∵，結合遞推式易得，∴，故數(shù)列單調遞減；【小問2詳解】∵，，，∴，又，故，∵，，∴，則，當，累加得，則，故，所以，∴，綜上，有.

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