注意事項(xiàng)：
1.本試卷共分8頁.滿分150分.考試用時120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必將學(xué)校、姓名寫在答題卡上，正確填涂考試號.答案涂、寫在答題卡上指定位置.考試結(jié)束后交回答題卡.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 的值為( )
A. 1B. －1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)計算可得結(jié)果.
【詳解】由，得.
故選：B
2. 數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為( )
A. 6B. 6.5C. 7D. 5.5
【答案】D
【解析】
【分析】由百分位數(shù)的求法求60百分位數(shù).
【詳解】由題設(shè)，，故60百分位數(shù)為.
故選：D
3. 向量與不共線，，，且與共線，則k，l應(yīng)滿足( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)與共線，由求解.
【詳解】由與共線，故，
即，
故，
所以
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
4. 一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的表面積為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求得圓錐底面半徑和高，由此求得圓錐的表面積.
【詳解】依題意，設(shè)圓錐底面半徑為，高為，母線長為，則，
底面周長為，則，所以，
所以圓錐的表面積為，
故選：A.
5. 已知向量，，若，則( )
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)向量平行得到正余弦間的關(guān)系，再弦化切，進(jìn)而用正切和公式展開代入即可.
【詳解】因?yàn)?，所以，易知，所以，所?
故選：C.
6. 從長度為的5條線段中任取3條，則這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出從長度為的5條線段中任取3條，共有幾種取法,再求出取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的情況有幾種，根據(jù)古典概型的概率公式即可得答案.
【詳解】從長度為的5條線段中任取3條，共有種取法,
而取出的三條線段能構(gòu)成一個三角形的情況有和以及,共3種,
故這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為,
故選：B
7. 在中，下列命題正確的個數(shù)是( )
①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①，所以錯誤；
②，所以正確；
③由題得,所以為等腰三角形，所以正確；
④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯誤．
【詳解】①，所以錯誤；
②，所以正確；
③若，則,所以為等腰三角形，所以正確；
④，則是銳角，但是不一定為銳角三角形，所以錯誤．
故選：B
8. 已知銳角，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理可得，結(jié)合三角形為銳角三角形可得的取值范圍.
【詳解】∵，
∴由正弦定理可得，
∵為銳角三角形，∴可得，即
解得.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的正余弦定理的應(yīng)用，及銳角三角形的性質(zhì)，屬于中檔題.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 設(shè)復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. z的共軛復(fù)數(shù)為B. z的虛部為1
C. z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限D(zhuǎn).
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)虛部的概念即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可以判斷C選項(xiàng)；根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式可以判斷D選項(xiàng).
【詳解】由題得，復(fù)數(shù)，故z的共軛復(fù)數(shù)為，則A錯誤；
z的虛部為1，故B正確；
z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故C正確；
，故D正確．
故選:BCD．
10. 下列說法中錯誤的是( )
A. 已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)
B. 向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C. 若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得
D. 非零向量和滿足，則 與的夾角為
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 根據(jù)與的夾角為銳角，由，且不共線求解判斷；B.判斷是否共線；C. 由時判斷；D.根據(jù)和滿足，得到，然后利用向量的夾角公式求解判斷.
【詳解】A. 因?yàn)?，所以，又因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，即且，解得且，故錯誤；
B.因?yàn)橄蛄?，，所以，即共線，所以不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故正確；
C. 當(dāng)時，滿足，則存在無數(shù)個實(shí)數(shù)，使得 ，故錯誤；
D.因?yàn)榉橇阆蛄亢蜐M足，則，即，則，
，
所以，因?yàn)?，則，故錯誤；
故選：ACD
11. 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為8”，事件“兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為9”，則( )
A. 與互斥B. 與互斥C. 與獨(dú)立D. 與獨(dú)立
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，結(jié)合互斥事件的概念舉反例排除即可；
對于B，列舉出事件所包含的基本事件，結(jié)合結(jié)合互斥事件的概念即可判斷；
對于CD，利用古典概型求出事件的概率，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式判斷即可.
【詳解】對于A，記表示事件“第一枚點(diǎn)數(shù)為，第二枚點(diǎn)數(shù)為”，則事件包含事件，事件也包含事件，所以，故與不互斥，故A錯誤；
對于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即與互斥，故B正確；
對于C，總的基本事件有件，事件的基本事件有件，故，
由選項(xiàng)B知，
而事件包含的基本事件有共2件，故，
所以，故與獨(dú)立，故C正確；
對于D，事件的基本事件有件，故，由選項(xiàng)B知，
而事件包含的基本事件有共3件，故，
所以，故與不獨(dú)立，故D錯誤.
故選：BC.
12. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，下列說法正確的是( )
A. 若有兩解
B. 若有兩解
C. 若為銳角三角形，則b的取值范圍是
D. 若為鈍角三角形，則b取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個解所要滿足的條件，即，有兩解，或，有一解，，有0解，根據(jù)直角三角形的情況，便可得出為銳角或鈍角三角形時，b的取值范圍.
【詳解】A選項(xiàng)，∵，∴有兩解，故A正確；
B選項(xiàng)，∵，∴有一解，故B錯誤；
C選項(xiàng)，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；
D選項(xiàng)，∵為鈍角三角形，∴或，即或，故D錯誤.
故選：AC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，
13. 設(shè)有兩組數(shù)據(jù)：與，它們之間存在關(guān)系式：(，其中非零常數(shù))，若這兩組數(shù)據(jù)的方差分別為和，則和之間的關(guān)系是________．
【答案】
【解析】
【分析】注意兩組數(shù)據(jù)關(guān)系,后一組中的每一個數(shù)字是前一組數(shù)字的a倍,這樣兩組數(shù)據(jù)的方差之間的關(guān)系就是后者的方差是前者的倍.
【詳解】兩組數(shù)據(jù):,與,,它們之間存在關(guān)系式:
即第二組數(shù)據(jù)是第一組數(shù)據(jù)的倍還要整體加上,
在一列數(shù)字上同時加上一個數(shù)字方差不變,而同時乘以一個數(shù)字方差要乘以這個數(shù)字的平方,
和之間的關(guān)系是,
故填:,
【點(diǎn)睛】本題考查方差的變換特點(diǎn),若在原來數(shù)據(jù)前乘以同一個數(shù),平均數(shù)也乘以同一個數(shù),而方差要乘以這個數(shù)的平方,在數(shù)據(jù)上同加或減同一個數(shù),方差不變,屬于基礎(chǔ)題.
14. 邊長為的三角形的最大角與最小角之和為____．
【答案】120°
【解析】
【詳解】試題分析：根據(jù)三角形角邊關(guān)系可得，最大角與最小角所對的邊的長分別為8與5，設(shè)長為7的邊所對的角為θ，則最大角與最小角的和是180°-θ，有余弦定理可得，csθ==，易得θ=60°，則最大角與最小角的和是180°-θ=120°，故答案為120．
考點(diǎn)：本試題主要考查了余弦定理的運(yùn)用，解本題時注意與三角形內(nèi)角和定理結(jié)合分析題意
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是設(shè)長為7的邊所對的角為θ，根據(jù)余弦定理可得csθ的值，進(jìn)而可得θ的大小，則由三角形內(nèi)角和定理可得最大角與最小角的和是180°-θ，即可得答案．
15. 已知向量，，若在方向上的投影向量為，則的值為 __．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】利用投影向量公式求解即可.
【詳解】解：，，
，，
在方向上的投影向量為，
在方向上的投影向量為，
，，
故答案為：.
16. 如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點(diǎn)，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】先連接交與點(diǎn)，結(jié)合四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，求得正方形邊長，再畫出折疊后的立體圖形，找出外接球的球心，結(jié)合勾股定理即可求解
【詳解】如圖：
連接交與點(diǎn)，設(shè)正方形邊長為，，則，
則正方形面積為：，四棱錐的側(cè)面積為：，由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形．如圖：
設(shè)重合點(diǎn)為，該四棱錐為正四棱錐，球心應(yīng)在的連線上，設(shè)為，設(shè)外接球半徑為，則，，，，，由勾股定理得，即，解得，外接球表面積為：
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查圖形折疊前后的變換關(guān)系，四棱錐的外接球半徑的求法，屬于中檔題
四、解答題：本題共6小題，其中第17題10分，其余各題為12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知是虛數(shù)單位，設(shè).
(1)求證：1＋ω＋ω2＝0；
(2)計算：(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)4.
【解析】
【分析】(1)代入，化簡，即可作出證明；
(2)由(1)知，求解，代入即可求解.
【小問1詳解】
證明：∵，
，
∴
【小問2詳解】
由1＋ω＋ω2＝0知，
(ω－1)(1＋ω＋ω2)＝0，
∴ω3－1＝0，
∴ω3＝1.
∴(1＋ω－ω2)(1－ω＋ω2)
＝(－2ω2)(－2ω)＝4ω3＝4.
18. 已知，，，是第三象限角．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．
【解析】
【分析】(Ⅰ)先求得，然后求得，從而求得.
(Ⅱ)先求得，從而求得的值.
【詳解】(Ⅰ)∵，，∴，
∴，∴．
(Ⅱ)∵，是第三象限角，∴，
故．
19. 為測量地形不規(guī)則的一個區(qū)域的徑長，采用間接測量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．

(1)求的值；
(2)若測得，求待測徑長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理結(jié)合二倍角的余弦公式求解即可；
(2)分別在，用余弦定理可求得，，再由兩角差的余弦公式可求出，最后在在，由余弦定理即可求出答案.
【小問1詳解】
在中，由正弦定理可得：，
則，因?yàn)椋驗(yàn)闉殁g角，
所以，所以.
【小問2詳解】
在，由余弦定理可得：，
解得：或(舍去)，
因?yàn)?，所以?br>在，，
由余弦定理可得：，
解得：，
，，，，
，
，由余弦定理可得：
，
故.
20. 社會的進(jìn)步與發(fā)展，關(guān)鍵在于人才，引進(jìn)高素質(zhì)人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進(jìn)行人才引進(jìn)，需要進(jìn)行筆試和面試，一共有名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績都在內(nèi)，將筆試成績按照、、、分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表)；
(3)若計劃面試人，請估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線．
【答案】(1)
(2)眾數(shù)為，平均數(shù)為
(3)
【解析】
【分析】(1)利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值；
(2)利用頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)值為眾數(shù)，將矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，將所得結(jié)果全加可得應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)；
(3)計算出百分位數(shù)，可得結(jié)果.
【小問1詳解】
解：由題意有，解得.
【小問2詳解】
解：應(yīng)聘者筆試成績的眾數(shù)為，
應(yīng)聘者筆試成績的平均數(shù)為．
【小問3詳解】
解：，所以，面試成績的最低分為百分位數(shù)，
前兩個矩形面積之和為，前三個矩形的面積之和為，
設(shè)百分位數(shù)為，則，解得.
因此，若計劃面試人，估計參加面試的最低分?jǐn)?shù)線為.
21. 如圖，三棱錐中，為等邊三角形，且面面，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)與平面BCD所成角為45°時，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)根據(jù)給定條件證得平面即可推理作答.
(2)由與平面BCD所成角確定正邊長與CD長的關(guān)系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理計算作答.
小問1詳解】
在三棱錐中，平面平面，平面平面，而，
平面，因此有平面，又有平面，
所以.
【小問2詳解】
取BC中點(diǎn)F，連接AF，DF，如圖，
因?yàn)榈冗吶切?，則，而平面平面，平面平面，
平面，于是得平面，是與平面BCD所成角，即，
令，則，因，即有，由(1)知，，則有，
過C作交AD于O，在平面內(nèi)過O作交BD于E，連CE，從而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得，
，，顯然E是斜邊中點(diǎn)，則，
中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值.
22. 設(shè)是邊長為1的正三角形，點(diǎn)四等分線段(如圖所示)．
(1)求的值；
(2)為線段上一點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；
(3)為邊上一動點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【解析】
【分析】(1)利用線段的中點(diǎn)向量公式將所求化為，再結(jié)合余弦定理求解；
(2)利用平面向量的線性運(yùn)算進(jìn)行化簡求解；
(3)先討論的位置，研究的符號，再設(shè)，將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值判定的位置，再利用余弦定理進(jìn)行求解．
【詳解】(1)原式，
在中，由余弦定理，得
，
所以
(2)易知，即，
即，
因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，
設(shè)，
所以，解得
所以；
(3)①當(dāng)在線段上時，；
②當(dāng)在線段上時，；要使最小，則必在線段上，
設(shè)，則
，
當(dāng)時，即當(dāng)為時，最小，
則由(1)可知，
則由余弦定理得，

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