2022-2023學(xué)年湖北省宜城市第一中學(xué)、棗陽(yáng)一中等六校高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)（其中為數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法以及共軛復(fù)數(shù)的概念結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案.【詳解】由題意得，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限，故選：C2．已知平面向量滿足與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積等于0，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律以及數(shù)量積的定義，展開(kāi)計(jì)算，即得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，故，故選：B3．已知為銳角，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷，求出的值，將化為，即可求得答案.【詳解】由題意為銳角，可得，由， 可得，故，故選：A4．在△ABC中，，則△ABC的形狀一定是（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】注意到，根據(jù)已知等式，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則和線性運(yùn)算法則可得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】 ∴BA⊥AC,∴△ABC為直角三角形，    故選：5．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象所表示的函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得函數(shù)，再把圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，得.故選：D.6．已知單位向量滿足，則向量夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)題意可判斷，將兩邊平方可求出，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意得單位向量滿足，則則，即，解得或（舍去），故，故選：B7．已知，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，將化為，根據(jù)正、余弦齊次式法求值，可得答案.【詳解】由題意，則，故選：A8．已知四邊形中，，點(diǎn)在四邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（    ）A． B． C． D．-1【答案】C【分析】由題意分析可知四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，且，只需考慮點(diǎn)E在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論,求出最小值.【詳解】如圖所示，因?yàn)?/span>，且，所以垂直且平分，則為等腰三角形，又，所以為等邊三角形,則四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)E在四邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)E在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，因?yàn)?/span>，，知，即，則，①當(dāng)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，則,當(dāng)時(shí)，最小值為；②當(dāng)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè),則,則 ，當(dāng)時(shí)，的最小值為；綜上，的最小值為；故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由題意可推得四邊形的幾何性質(zhì)，即要推出，然后要考慮E點(diǎn)位置，即要分類討論，進(jìn)而根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解. 二、多選題9．已知下列四個(gè)命題為真命題的是（    ）A．已知非零向量，，，若，，則B．若四邊形中有，則四邊形為平行四邊形C．已知，，，可以作為平面向量的一組基底D．已知向量，，則在方向上的投影向量的模為【答案】ABD【分析】由平面向量基本定理結(jié)合投影向量的運(yùn)算逐一判斷即可．【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，對(duì)于非零向量，，，由，，且為非零向量，可知，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，四邊形中有，由平行四邊形判定定理可得，四邊形為平行四邊形，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，則，即，則，不能作為平面向量的一組基底，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，，則，則向量在向量上的投影向量為，所以在方向上的投影向量的模為，即選項(xiàng)D正確，故選：ABD．10．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（    ）A．為偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】AB【分析】根據(jù)降冪公式及輔助角公式化一，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】,對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由，得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，由，得，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．已知角是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（    ）A．B．若，則C．若是銳角三角形，則D．若角是鈍角，則【答案】ABC【分析】根據(jù)結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可判斷A；根據(jù)正弦定理可判斷B；根據(jù)是銳角三角形，則，利用正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷C；根據(jù)角是鈍角，可得，結(jié)合兩角和的正切公式可判斷D.【詳解】由于角是的三個(gè)內(nèi)角，故，而在上單調(diào)遞減，則，A正確；若，則，由正弦定理可得，B正確；若是銳角三角形，則，即，而在上單調(diào)遞增，故，則，C正確；若角是鈍角，則,且，故，則，D錯(cuò)誤，故選：ABC12．下列命題為真命題的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)C．若是第二象限角，則，且D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；舉出反例并結(jié)合圖象可判斷B；舉反例判斷C；根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷可判斷D.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)以及點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于函數(shù)，由于，即，即不是函數(shù)的周期，再結(jié)合函數(shù)的圖象，可知函數(shù)不是周期函數(shù)，B錯(cuò)誤；若是第二象限角，不妨取，則，則，，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，同理當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，D正確，故選：AD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的判斷，要根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷進(jìn)行判斷. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形的面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義結(jié)合圓的面積計(jì)算，即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意可知復(fù)數(shù)滿足，則由復(fù)數(shù)模的幾何意義知對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形為半徑為2和的兩個(gè)同心圓所圍成的圓環(huán)，則其面積為，故答案為：14．已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和是___________.【答案】1或##或1【分析】由最小正周期可得，討論并結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求的值域，即可求最大值與最小值的和.【詳解】由題設(shè)，，則，在上，當(dāng)則，故；當(dāng)則，故；綜上，最大值與最小值的和為1或.故答案為：1或15．已知點(diǎn)，將向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求得，設(shè)與x軸正半軸的夾角為，求得，進(jìn)而推得與x軸正半軸的夾角為，求得，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案.【詳解】由題意得，則，設(shè)與x軸正半軸的夾角為，則，則與x軸正半軸的夾角為，則，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：16．在中，邊上的高為2，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為__________.【答案】2【分析】根據(jù)正弦定理計(jì)算出三角形外接圓半徑，求得A到的距離的最大值，和邊上的高為2比較，即可確定答案.【詳解】因?yàn)?/span>中，，所以的外接圓半徑為,即A位于以2為半徑的圓弧上，如圖，當(dāng)為正三角形時(shí)，此時(shí)頂點(diǎn)A到的距離的最大值為,如圖當(dāng)A位于處時(shí)，此時(shí)為外接圓直徑，則,則，滿足邊上的高為2，故滿足條件的的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答本題判斷符合條件的三角形個(gè)數(shù)問(wèn)題，采用作圖分析即數(shù)形結(jié)合，即可判斷得出結(jié)論. 四、解答題17．已知復(fù)數(shù).(1)若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求.【答案】(1)(2)0 【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念列出方程或不等式，即可求得答案.（2）根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上列出m滿足的方程，求得z，即可求得答案.【詳解】（1）若為純虛數(shù)，則，解得.（2）由題意可得，解得，所以，所以.18．已知為銳角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系及化弦為切即可得解；（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式即可得解.【詳解】（1）；（2）由，得，因?yàn)?/span>為銳角，所以，則，又因，所以，所以，所以，則.19．如圖，在四邊形中，為等邊三角形，是邊上靠近的三等分點(diǎn).設(shè).(1)用表示；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求得答案；（2）根據(jù)數(shù)量積定義求出，結(jié)合（1）的結(jié)論求出，以及，利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由圖可知，因?yàn)?/span>是邊上靠近的三等分點(diǎn)，所以；（2）因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以，所以，所以，而，則.20．建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉?關(guān)乎民族未來(lái)的長(zhǎng)遠(yuǎn)大計(jì).某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng)，為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，在氣溫低于時(shí)，才開(kāi)放中央空調(diào)，否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫（單位：）隨時(shí)間（，單位：小時(shí)）的大致變化曲線，若該曲線近似滿足關(guān)系.(1)求的表達(dá)式；(2)請(qǐng)根據(jù)（1）的結(jié)論，求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng).【答案】(1)(2)8小時(shí) 【分析】（1）直接利用函數(shù)圖像，求出，進(jìn)而求出的表達(dá)式；（2）利用條件和由（1）中所求結(jié)果建立不等式，再借助的圖像與性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，因?yàn)?/span>圖像上最低點(diǎn)坐標(biāo)為，與之相鄰的最高點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，又，所以，所以.（2）根據(jù)題設(shè)，由（1）得，即，由的圖像得，解得，又因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以或,所以該商場(chǎng)的中央空調(diào)應(yīng)在一天內(nèi)開(kāi)啟時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí).21．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及圖象的對(duì)稱軸；(2)在中，若，且的外接圓的面積為，求的最大值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用（1）的結(jié)論求得A，求出三角形外接圓半徑，進(jìn)而利用正弦定理可表示出，結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的周期是，對(duì)稱軸方程是；（2）因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，.所以，故有，已知的外接圓的面積為，設(shè)外接圓的半徑為，所以，得，設(shè)的角所對(duì)的邊分別為，由正弦定理，.所以，，其中，所以的最大值是.22．在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別是的面積為S.已知，且.(1)求角的大??；(2)若對(duì)任意的恒成立，，求的最小值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）利用余弦定理推出，結(jié)合可求得，即可求得答案；（2）由題意可推得，結(jié)合（1）的結(jié)論確定B的范圍，利用換元法令，確定其范圍，可將化為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以或,因?yàn)?/span>，所以，所以；（2）因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，即，解得，因?yàn)?/span>，所以，由（1）可知，則，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，即的最小值為1. 

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