2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)模長公式結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，由，可得.故選：B.2．已知向量，，．若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又且與垂直，所以，解得.故選：A3．下列說法正確的是（    ）A．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體B．球的直徑是連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段C．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐D．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：雖然各側(cè)面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以該四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：球的直徑的定義即為“連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段”，故B正確；對(duì)于C：以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)共底面的圓錐組成的幾何體，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，故D錯(cuò)誤；故選：B.4．如圖所示，點(diǎn)為的邊的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖像將用、表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C.5．如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．四邊形的周長為 D．四邊形的面積為【答案】D【分析】根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計(jì)算各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖過作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B錯(cuò)誤；還原平面圖為下圖，即，即A錯(cuò)誤；過C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四邊形ABCD的周長為：，即C錯(cuò)誤；四邊形ABCD的面積為：，即D正確.故選：D6．已知角滿足，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合齊次式問題運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，整理得，即，則.故選：C.7．如圖，一個(gè)矩形邊長為1和4，繞它的長為的邊旋轉(zhuǎn)二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），是中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻位于外壁處，內(nèi)壁處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點(diǎn)處取得米粒，則它所需經(jīng)過的最短路程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)對(duì)稱性，求出的最小值就是的長，求解即可．【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高將圓柱的側(cè)面（一半）展開后得矩形，其中，，問題轉(zhuǎn)化為在上找一點(diǎn)，使最短，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，令與交于點(diǎn)，則得的最小值就是為．故選：A8．已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的方程在上所有實(shí)數(shù)解之和為（    ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)的最小正周期為；再由其奇偶性，得到關(guān)于直線對(duì)稱，畫出函數(shù)和在上的圖像，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因此函數(shù)的最小正周期為；又因?yàn)楹瘮?shù)是定義域在上的偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的最小正周期，且函數(shù)圖象關(guān)于，對(duì)稱，畫出函數(shù)和在上的圖像如下，由圖像可得，函數(shù)和在有個(gè)交點(diǎn)，除，其余兩兩關(guān)于直線對(duì)稱，因此關(guān)于的方程在上所有實(shí)數(shù)解之和為.故選：D. 二、多選題9．將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的，再將所得圖象向右平移是個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是C．若，則 D．函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是【答案】AC【分析】對(duì)于A、B選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判定；對(duì)于C、D選項(xiàng)，利用三角函數(shù)圖像變換求解析式，再利用其性質(zhì)判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，故A正確；正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為，故B錯(cuò)誤；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換可得：，令，故其對(duì)稱軸為，若，由對(duì)稱性可得，顯然成立，故C正確；令，故其對(duì)稱中心為，顯然無論k取何值，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊為，，，下列說法中正確的是（    ）A．若，則一定是銳角三角形B．若，則一定是等邊三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，則一定是等腰三角形【答案】BD【分析】利用余弦定理即可判斷A；利用正弦定理化邊為角即可判斷B；利用正弦定理化邊為角結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，則為銳角，但是、兩角無法判斷其是否為銳角，如當(dāng)，，時(shí)，，，為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，且，所以，所以為等邊三角形，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，即，則，又因?yàn)?/span>，所以或（舍去），所以為等腰三角形，故D正確.故選：BD.11．歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋．依據(jù)歐拉公式，下列說法中正確的是（    ）A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 B．為純虛數(shù)C．的模長等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：由題意可得：，則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∵，則，∴對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A正確；對(duì)于B：由題意可得：為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意可得：，則，故C正確；對(duì)于D：由題意可得：，則的共軛復(fù)數(shù)為，故D正確；故選：ACD.12．假設(shè)，且．當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為仿射坐標(biāo)系，在仿射坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為x軸，y軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（    ）A．設(shè)，則B．設(shè)，若//，則C．設(shè)，若，則D．設(shè)，若與的夾角為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量的相關(guān)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可得：，對(duì)于A：若，則，可得，所以，故A正確；對(duì)于B：∵，則，若//，則有：當(dāng)或時(shí)，則或，可得成立；當(dāng)且時(shí)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，可得，整理得；綜上所述：若//，則，故B正確；對(duì)于C：∵，則，可得，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：∵，由選項(xiàng)A可得：，由選項(xiàng)C可得：，若與的夾角為，則，即，解得，∵，則，故D正確；故選：ABD. 三、填空題13．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為__________（用坐標(biāo)表示）．【答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量在向量上的投影向量.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故答案為：.14．在中，，O為三角形的外心，則為______．【答案】8【分析】作出圖形，利用余弦定理求出角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用正弦定理得到外接圓的半徑，再次利用余弦定理求出與的夾角即可求解.【詳解】如圖，連接，在中，由余弦定理可得，，則，在中，由正弦定理可得，，則，所以，在中，由余弦定理可得，，所以，故答案為：.15．如圖，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，液面恰好過的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，液面高為__________．【答案】12【分析】根據(jù)給定條件利用柱體體積公式求出水的實(shí)際體積，再由兩種情況的放置水的體積相同求解作答.【詳解】設(shè)的面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，液面高為h，側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為當(dāng)?shù)酌?/span>ABC水平放置時(shí)，水的體積為，于是，解得，所以當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，液面高為12.故答案為：12 四、雙空題16．若為一個(gè)三角形的三邊長，則稱函數(shù)在區(qū)間A上為“三角形函數(shù)”．已知函數(shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，請(qǐng)解決以下問題：（1）在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>________；（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____________．【答案】          【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域；再根據(jù)三角函數(shù)的定義列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，令，由可得，則函數(shù)可化為，且，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最大值，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是“三角形函數(shù)”，所以，解得，故答案為：；. 五、解答題17．已知．(1)若為銳角，求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意先求，再利用兩角和的余弦公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)倍角公式結(jié)合兩角差的正切公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵，且，為銳角，解得，所以．（2）由（1）可知：，可得，所以，所以．18．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0x   0200(1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)作出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，若的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，求的最小值．【答案】(1)表格見解析，圖象見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)表格，分別求得，即可得到函數(shù)的解析式，從而得到其函數(shù)圖像；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)圖像變換，列出方程即可求得的最小值.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，則，且，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.分別令，解得，據(jù)此可得表格為：0x0200由表格作出圖象，如下圖所示.（2）由題意可得：，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于y對(duì)稱，則，解得，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值．19．如圖，在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，．(1)若，求；(2)若，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）將用表示，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及定義求解作答.（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.【詳解】（1）在中，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，則，因此所以．（2）在中，不共線，因?yàn)?/span>，則，而在上，即有，，于是，而，因此，解得，所以的值為.20．如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算：(1)求下部四棱臺(tái)的側(cè)面積；(2)求獎(jiǎng)杯的體積．（尺寸如圖，單位：，取3）【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意直接運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)體積公式分析運(yùn)算.【詳解】（1）獎(jiǎng)杯底座的側(cè)面上的斜高等于和．故．（2）.21．已知的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為為內(nèi)角A的角平分線，交邊于點(diǎn)D，求線段長的最大值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）利用正弦定理角化邊以及余弦定理求解；（2）根據(jù)面積公式求得，再根據(jù)等面積得，從而有，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故.（2）由（1）知，因?yàn)?/span>的面積為，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以．于是,那么．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）故的最大值為2．22．如圖，已知與的夾角為，點(diǎn)C是的外接圓優(yōu)孤上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），記與的夾角為．(1)求外接圓的直徑；(2)試將表示為的函數(shù)；(3)設(shè)點(diǎn)M滿足，若，其中，求的最大值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）在中，利用正、余弦定理運(yùn)算求解；（2）在中，利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（3）根據(jù)數(shù)量積用表示，根據(jù)（2）中的關(guān)系，利用三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理，即，由正弦定理可得.（2）連接，由題意可知，在中，由正弦定理，則，且為銳角，則，可得，由正弦定理，可得，所以表示為的函數(shù)為.（3）由題意可得，則，，即，解得，可得，其中構(gòu)建，其中，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值為，所以的最大值為. 

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