2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則與角終邊相同的最小正角為（    ）A．23° B．137° C．223° D．337°【答案】C【分析】運(yùn)用終邊相同的角的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以與角終邊相同的最小正角為.故選：C.2．已知向量，，則的值為（    ）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】現(xiàn)根據(jù)平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求得，進(jìn)而根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】由，，可得，所以.故選：B.3．已知，則（    ）A． B． C． D．－【答案】C【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：C.4．已知G是△ABC的重心，若）則（    ）A．－1 B．1 C． D．－【答案】D【分析】根據(jù)三角形重心的定義和向量的線性運(yùn)算進(jìn)行解決.【詳解】由題意，畫圖如下：由重心的定義，可知：，則.故選：D.5．函數(shù)且的圖象是下列圖象中的（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的自變量，將函數(shù)變形為結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象，根據(jù)選項(xiàng)即可求解.【詳解】依題意，由此判斷出正確的選項(xiàng)為C.故選：C.6．已知平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上（不包含端點(diǎn)），則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，由可得，再以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算即數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵，，，∴，即，即，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以的垂線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∴，，，，設(shè)，∴，∴，設(shè)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，則的取值范圍是.故選：A.7．已知函數(shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長(zhǎng)度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后恰好為奇函數(shù)，則的值為（    ）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意求得的最小正周期為，得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，得到，由為奇函數(shù)，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB長(zhǎng)度的最小值為，可得函數(shù)的最小正周期為，所以，所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，又因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，可得，即，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以的值為或.故選：D.8．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，則AC＝（    ）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】在中，設(shè)，根據(jù)題意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，，設(shè)，則，由正弦定理可知，，即，則，在中，，，又，則，故，故選：B. 二、多選題9．已知函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則下列說法正確的是（    ）A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為【答案】ABD【分析】運(yùn)用圖象平移變換求得的解析式，運(yùn)用公式可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用偶函數(shù)的定義可判斷B項(xiàng)，求的單調(diào)遞減區(qū)間，判斷是否包含于的單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用在上單調(diào)遞減求的值域即可判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知，，對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，，所以為偶函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?/span>，，解得：，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，，又因?yàn)?/span>，，所以在上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)知，在上單調(diào)遞減，，，所以的值域?yàn)?/span>，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.10．蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物．巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個(gè)相同的菱形組成，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂密，如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．在上的投影向量為 D．【答案】BCD【分析】可得與為相反向量可判斷A；利用數(shù)量積公式計(jì)算可判斷B；由投影向量的定義可判斷 C；由圖得直線平分，且與的交點(diǎn)為中點(diǎn)，利用均為含的直角三角形，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B， ，，所以， 故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，則在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，由圖易得，直線平分，且與的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，，故，則，而，故，故，故D正確.故選：BCD.11．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，則下列四個(gè)命題中正確的命題是（    ）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則一定是等腰三角形C．若，則一定是銳角三角形D．若，則一定是鈍角三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理以及正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；利用正弦定理結(jié)合二倍角公式可得出、的關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；分析可知、、中一定有一個(gè)小于成立，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，則，因?yàn)?/span>至少有兩個(gè)銳角，從而可得，故為銳角三角形，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為增函數(shù)，故，所以，為等邊三角形，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，即，因?yàn)?/span>、，所以，，,又因?yàn)?/span>、中至少有一個(gè)為銳角，則，則、均為銳角，所以，、，所以，或，即或，為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，時(shí)，由余弦定理可得，即為銳角，但、是否都是銳角，不能保證，因此不一定是銳角三角形，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?/span>、、，由，因?yàn)?/span>、、至少有兩個(gè)銳角，則、、中至少有兩個(gè)正數(shù)，可得、、中一定有一個(gè)小于成立，不妨設(shè)，可得，所以為鈍角三角形，所以D正確．故選：AD．12．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，O為的外心，，的面積S滿足．若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】結(jié)合題意和余弦定理得出，判斷選項(xiàng)A；利用三角形面積公式判斷選項(xiàng)B；利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷選項(xiàng)C；利用平面向量的基本定理即可求解D【詳解】由，得，即得，又，故，∴，即所以A正確；，所以B錯(cuò)誤；，所以C正確；由，可知得解得：，故，所以D正確．故選：ACD. 三、填空題13．已知向量滿足，則與的夾角為___．【答案】/【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得，即，即，即，即，又，所以故答案為：.14．已知定義在上的函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且同時(shí)具有下列兩個(gè)性質(zhì)：①；②．請(qǐng)你寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)＝___．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)偶函數(shù)和周期性直接寫出一個(gè)符合題意的函數(shù)即可.【詳解】由題意可知，為偶函數(shù)，且周期為，所以可以取.故答案為：（答案不唯一）15．已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，，的角平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為___．【答案】【分析】利用等面積法可得出，化簡(jiǎn)可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，的角平分線交于點(diǎn)，且，因?yàn)?/span>，即，即，即，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.16．已知函數(shù)），若方程在 上恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___．【答案】【分析】由可得，運(yùn)用換元法令，將問題轉(zhuǎn)化為在上恰有5條對(duì)稱軸，畫圖象運(yùn)用數(shù)形結(jié)合列式即可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好有5個(gè)x，使得，故在上恰有5條對(duì)稱軸．令，則在上恰有5條對(duì)稱軸，如圖：所以，解得．故答案為：. 四、解答題17．已知平面向量．(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及垂直求解即可；（2）由題意可得且與不共線，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積和共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】（1）由，所以，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得，或，所以的坐標(biāo)為或.（2）由，所以，因?yàn)?/span>與的夾角為銳角，所以且與不共線，，解得且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．函數(shù)的部分圖像如圖所示．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱軸．【答案】(1)；(2)單調(diào)減區(qū)間為；對(duì)稱軸方程為和 【分析】（1）由函數(shù)圖像得，計(jì)算得周期，從而得，再代入最大值計(jì)算可得值，從而可得函數(shù)解析式；（2）由整體法計(jì)算函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱軸方程，然后結(jié)合的范圍，可得答案.【詳解】（1）由圖可得，周期為，所以，因?yàn)?/span>，所以；根據(jù)圖像可得，解得，因?yàn)?/span>，所以，所以（2）令，解得，令，解得對(duì)稱軸方程為：；所以單調(diào)遞減區(qū)間為；對(duì)稱軸方程為： 所以在上的單調(diào)減區(qū)間為；在上的對(duì)稱軸方程為和19．已知，且函數(shù)．(1)化簡(jiǎn)；(2)若函數(shù)，試求其最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由可得，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題意可得的定義域?yàn)?/span>，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求解.【詳解】（1）， .（2），，的定義域?yàn)?/span>，由，，當(dāng)sin時(shí)，取最大值.20．如圖，在菱形ABCD中，，E，F分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且，，連接ED、AF，交點(diǎn)為G．(1)設(shè)，求t的值；(2)求的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1），由三點(diǎn)共線得，，結(jié)合平面向量基本定理可求得；（2）取作為平面的一組基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夾角公式即可求得答案.【詳解】（1），又D，G，E三點(diǎn)共線，則，則，因?yàn)?/span>，不共線，由平面向量基本定理，得且，解得.（2）取，作為平面的一組基底，則，則，.，，．21．已知函數(shù)．(1)若，且，求的值；(2)在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化簡(jiǎn)解析式，由得到，從而求得，進(jìn)而求得.（2）由求得，利用正弦定理化簡(jiǎn)，通過的取值范圍，求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，又，則，所以，又，故.（2）由，又，所以，即．由正弦定理，可得，因?yàn)?/span>是銳角三角形，所以，即．所以，所以．即的取值范圍為.22．某公園有一塊矩形空地ABCD，其中，百米，百米．為迎接“五一”觀光游，欲從邊界AD上的中點(diǎn)P處開始修建觀賞小徑PM，PN，MN，其中M，N分別在邊界AB，CD上，小徑PM與PN相互垂直，區(qū)域PMA和區(qū)域PND內(nèi)種植繡球花，區(qū)域PMN內(nèi)種植玫瑰花，區(qū)域BMNC內(nèi)種植杜鵑花．設(shè)．(1)設(shè)種植繡球花的區(qū)域的面積為S，試將S表示為關(guān)于的函數(shù)，并求其取值范圍；(2)為了節(jié)省建造成本，公園負(fù)責(zé)人要求觀賞小徑的長(zhǎng)度之和（即的周長(zhǎng)l）最?。嚪治霎?dāng)為何值時(shí)，的周長(zhǎng)l最小，并求出其最小值，【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)l取得最小值，最小值為百米 【分析】（1）結(jié)合題意可得，進(jìn)而可得，再結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）在直角中，，在直角中，，由勾股定理得，，可得，令，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)B時(shí)，角取最大值，此時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)C時(shí)，由對(duì)稱性知取最大值，角取最小值，所以角的取值范圍是，在直角中，；在直角中，，所以種植繡球花的區(qū)域的面積，令，則由知，，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以S的取值范圍為.（2）在直角中，，在直角中，且，所以，在直角中，由勾股定理得，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，，令，因?yàn)?/span>，所以，又由，可得，且在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，綜上，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)l取得最小值，最小值為百米 

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