2021-2022學(xué)年青海省海西州都蘭縣高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．積分（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B2．若復(fù)數(shù)z滿足（ 是虛數(shù)單位），則 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由，所以，所以，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限．故選：A．3．已知復(fù)數(shù)z滿足，且z的共軛復(fù)數(shù)為，則（    ）A． B．2 C．4 D．3【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可求出，從而根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式可求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以．故選：B.4．函數(shù)的圖象如圖所示，則陰影部分的面積是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)陰影部分的面積分成兩部分，根據(jù)定積分的幾何意義寫出面積和，再利用定積分的可加性進(jìn)行積分運(yùn)算.【詳解】所求面積為．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的幾何意義，特別要注意，當(dāng)時(shí)，，其積分值是負(fù)數(shù)，且該負(fù)數(shù)的絕對(duì)值或相反數(shù)才是對(duì)應(yīng)陰影部分的面積．5．已知復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出結(jié)果.【詳解】解：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)運(yùn)算.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算關(guān)鍵是分母“實(shí)數(shù)化”，其一般步驟如下：(1)分子、分母同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù)；(2)對(duì)分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算；(3)整理、化簡(jiǎn)成實(shí)部、虛部分開(kāi)的標(biāo)準(zhǔn)形式．復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也等于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模．6．若復(fù)數(shù)z滿足z（2﹣i）＝1+4i（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z，再寫出z的共軛復(fù)數(shù)．【詳解】由z（2﹣i）＝1+4i，得z＝＝＝，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為．故選：B．7．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是10萬(wàn)千克，每種植1萬(wàn)千克蓮藕，成本增加1萬(wàn)元銷售額（單位：萬(wàn)元）與蓮藕種植量（單位：萬(wàn)千克）滿足（為常數(shù)），若種植3萬(wàn)千克，銷售利潤(rùn)是萬(wàn)元，則要使銷售利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕（    ）A．6萬(wàn)千克 B．8萬(wàn)千克 C．7萬(wàn)千克 D．9萬(wàn)千克【答案】B【分析】由已知求參數(shù)a，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定銷售利潤(rùn)最大時(shí)每年需種植蓮藕量.【詳解】設(shè)當(dāng)蓮藕種植量為萬(wàn)千克時(shí)，銷售利潤(rùn)為萬(wàn)元，則（）．∵，∴，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，故要使銷售利潤(rùn)最大，每年需種植蓮藕8萬(wàn)千克．故選：B．8．由函數(shù)的圖象與軸圍成圖形的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得，根據(jù)微積分基本定理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得故選：B9．若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件推導(dǎo)出，，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：對(duì)恒成立，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．故選：C．10．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,并根據(jù)函數(shù)的正負(fù)判斷即可.【詳解】由題意可知，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，.故選：A.11．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，若，則實(shí)數(shù)的最小值為A．-1 B． C． D．1【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，在為單調(diào)遞減函數(shù),在根據(jù)，可得，即得為偶函數(shù),再將，等價(jià)變形，可得，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù),因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，即為偶函數(shù),將不等式，等價(jià)變形得，即,又因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則在是單調(diào)遞增，，解得，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性及絕對(duì)值不等式的解法，難點(diǎn)在于準(zhǔn)確的構(gòu)造新函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，屬中檔題.12．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得出，的單調(diào)性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，從而得出結(jié)果．【詳解】解：先證，令，則，可知在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以；再證即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，令，則，所以，從而．故選：C. 二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【分析】設(shè)，求出，由復(fù)數(shù)相等解出即可.【詳解】設(shè)，則，，則，解得，故.故答案為：.14．______．【答案】【分析】根據(jù)定積分的幾何意義即可求解.【詳解】由可得，根據(jù)定積分的幾何意義表示面積的，所以，故答案為：.15．對(duì)于函數(shù)有下列命題：①在該函數(shù)圖象上一點(diǎn)（﹣2，f（﹣2））處的切線的斜率為；②函數(shù)f(x)的最小值為；③該函數(shù)圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)在（﹣∞，﹣1]上為減函數(shù)，在（0，1]上也為減函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是_____.【答案】①②④【解析】求出導(dǎo)數(shù)代入-2可得判斷①；利用函數(shù)的單調(diào)性求出極值可判斷②④；分別求函數(shù)等于零的根可判斷③.【詳解】x≤0時(shí)，f(x)＝2xe，f′(x)＝2（1+x）e，故f′（﹣2）＝，①正確；且f(x)在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，故x≤0時(shí)，f(x)有最小值f（﹣1）＝，x＞0時(shí)，f(x)＝在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故x＞0時(shí)，f(x)有最小值f（1）＝故f(x)有最小值，②④正確；令得，令得，故該函數(shù)圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，③錯(cuò)誤；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值一定注意定義域.16．設(shè)為虛數(shù)單位，則的虛部為______．【答案】【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果【詳解】 故答案為：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，在解題時(shí)一般利用分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)為的形式，b就是這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，一定要注意符號(hào)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于易錯(cuò)題. 三、解答題17．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，R.(1)當(dāng)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)復(fù)數(shù)純虛數(shù)時(shí)，求的值.【答案】(1)或；(2). 【分析】(1)虛部為零，則為實(shí)數(shù)；(2)虛部不為零，實(shí)部為零，則為純虛數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，得；（2）當(dāng)時(shí)，得.18．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和；（2）；.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出單調(diào)遞增區(qū)間；令，求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】1函數(shù)的定義域是R，，令，解得 令，解得或， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)減區(qū)間為和；2由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 所以，而，，故最大值是.19．(1)已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值，求、的值.(2)曲線的一條切線的斜率為2，求該切線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】(1)利用函數(shù)的極值列方程，求參數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】(1)因?yàn)?/span>，所以.由，解得，.(2)由函數(shù)y可得，，令，得，故切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，當(dāng)時(shí)，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為，即.20．設(shè)函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值為，極小值為.【解析】（1）首先計(jì)算得到切點(diǎn)為，再求導(dǎo)代入得到斜率，利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程.（2）首先求出的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到函數(shù)的極值.【詳解】（1），切點(diǎn)為.，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，解得，.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).則函數(shù)的極大值為，極小值為.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的極值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題.21．（1）求導(dǎo)函數(shù).（2）求定積分【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)定積分的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】（1）對(duì)求導(dǎo)得；（2）令，則，∴表示的是上半圓的面積，∴.22．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極小值；(2)若，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求得，然后結(jié)合的單調(diào)性求得的極小值.（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以．由函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝－2，得，解得a＝1．此時(shí)．當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值．（2）由a＝1得．因?yàn)閷?duì)于任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．令，，所以在[1，2]上恒成立，則在[1，2]上恒成立．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)F(x)在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問(wèn)題，可考慮采用分離常數(shù)法，分離常數(shù)后，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得參數(shù)的取值范圍. 

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