2022-2023學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)，則數(shù)列是（    ）A．等比數(shù)列 B．等差數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．遞減數(shù)列【答案】A【解析】通過列舉數(shù)列前項(xiàng)，可排除BCD，再通過等比數(shù)列的定義可得A.【詳解】解：由已知數(shù)列的前項(xiàng)為，明顯數(shù)列不是等差數(shù)列，也不是單調(diào)遞增數(shù)列，也不是單調(diào)遞減數(shù)列，排除BCD，又當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，故數(shù)列是等比數(shù)列.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，考查數(shù)列的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差等差中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】因?yàn)?/span>，所以 故選：B.3．函數(shù)在上的最大值是（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到最值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故.故選：B4．已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下面四個(gè)圖象中，的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】由題給函數(shù)的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，則單調(diào)遞增；則單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項(xiàng)C符合要求.故選：C5．已知數(shù)列首項(xiàng)為，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數(shù)列通項(xiàng).【詳解】由已知得，，則當(dāng)時(shí)，有，，當(dāng)時(shí)，，成立，，，故選：D.6．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】記.判斷出的奇偶性和單調(diào)性，即可解不等式.【詳解】記.因?yàn)?/span>是定義在R上的偶函數(shù)，所以因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，所以.因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)時(shí)，，所以在上單減.因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上單減.不等式即為.當(dāng)時(shí)， 在上單減，且，所以的解集為；當(dāng)時(shí)， 在上單減，且，所以的解集為.綜上所述：的解集為.故選：D7．已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得兩個(gè)根分別位于和上，所以，從而解不等式組可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得．因?yàn)?/span>在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以方程的兩個(gè)根分別位于區(qū)間和上，所以，即解得.故選：A．8．直線分別與函數(shù)和交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題得，，于是，構(gòu)造函數(shù)且，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得解.【詳解】由，得，，于是所求，構(gòu)造函數(shù)且，令可得，，列表如下：-0++0-單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減得極小值為，極大值為于是.故選：D. 二、多選題9．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（    ）A． B．C．  D．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，所以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是：，故選：.10．已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，，，，則（　?。?/span>A． B．，C． D．當(dāng)n＝7時(shí)，有最大值【答案】BCD【分析】根據(jù)可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)和判斷選項(xiàng)B；利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】∵，∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵，，∴，故選項(xiàng)B正確；∵，且，∴，故選項(xiàng)C正確；由，知，當(dāng)n＝7時(shí)，有最大值，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD． 三、單選題11．函數(shù)，下列對(duì)函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．若，則函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)C．若，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減D．若函數(shù)有且只有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是【答案】AD【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷選項(xiàng)A是否正確；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別就和進(jìn)行討論，即可判斷選項(xiàng)B、C是否正確；函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的極小值小于0，極大值大于0，列出不等式組，求出a的取值范圍，由此即可判斷選項(xiàng)D是否正確．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，由，解得． 又∵時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故不存在三個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得． 又∵時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為， ∴函數(shù)的極小值和極大值． ∵函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)， ∴，即 ， 解得，故選項(xiàng)D正確．故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值． 四、多選題12．下列不等式中恒成立的有（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】AC【分析】A. 構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法判斷；B. 構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法判斷；C. 根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)判斷；D.構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法判斷.【詳解】A. 令，則 ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 取得極小值，即最小值0，所以 ，即，故正確；B. 令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，即最小值0，所以 ，即，故錯(cuò)誤；C. 由A知：，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，即最小值0，所以 ，即，則，故正確；D. 令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極大值，即最大值0，所以，即，故錯(cuò)誤；故選：AC 五、填空題13．若數(shù)列滿足，則___________．（用具體數(shù)值作答）【答案】【分析】分奇偶項(xiàng)，分別按照等差數(shù)列和等比數(shù)列前和公式求和，計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故答案為: .14．在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為__________．【答案】3【分析】由題得，再分析得到，最后利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?/span>，是方程的兩根，所以所以，又為等比數(shù)列，則，又，所以或 (舍去)，所以.故答案為：315．若函數(shù)f(x)＝xln x－a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】令，則問題可轉(zhuǎn)化成函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得結(jié)果.【詳解】令，則問題可轉(zhuǎn)化成函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，＝，令，即，可解得；令，即，可解得，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)時(shí)，，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的簡(jiǎn)圖如圖所示，據(jù)圖可得，故答案為.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 . 六、雙空題16．我國魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖像的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算.設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________，用此結(jié)論計(jì)算__________.【答案】          【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程；，非常接近切點(diǎn)，代入函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，切線為，則，根據(jù)“以直代曲”，非常接近切點(diǎn)，則可以將代入切線近似代替，，故答案為：；. 七、解答題17．已知等差數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解方程組即得解；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法求解即可.【詳解】（1）∵,∴，解得.∴（2）由（1）得，所以，可得：.18．已知函數(shù)，.(1)若為的極小值點(diǎn)，求的值；(2)若的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷極值情況，進(jìn)而確定參數(shù)值；（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程，進(jìn)而確定參數(shù)值及最值情況.【詳解】（1），則，為的極小值點(diǎn)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，解得，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)是的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，解得或，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)是的極大值點(diǎn)，不成立；所以；（2）在上，，在上，，又，，解得，，，，令，解得或，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．19．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，分情況討論函數(shù)單調(diào)性；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值，進(jìn)而確定參數(shù)范圍.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，得；令，得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，令，，在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以.20．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和滿足：．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）結(jié)合（1），并通過錯(cuò)位相減法即可求得答案.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，②得，∴∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）可得，所以，所以…③，…④，③④得，.21．已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2），其中擁有部分舊住房需要拆除.當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10％建設(shè)新住房，同時(shí)也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房.(1)分別寫出第一年年末和第二年年末的實(shí)際住房面積表達(dá)式，并寫出第n年年末與第n+1年年末實(shí)際住房面積的關(guān)系式.(2)如果第五年年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30％，則每年拆除的舊住房面積b是多少（計(jì)算時(shí)可取）【答案】(1)答案見解析；(2). 【分析】（1）利用給定的運(yùn)算關(guān)系直接列式作答.（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合構(gòu)造法求出數(shù)列通項(xiàng)公式，再取求解作答.【詳解】（1）第1年年末的住房面積：；第2年年末的住房面積：；若記第n年年末的實(shí)際住房面積為，則第n年年末與第n+1年年末的住房面積：.（2）由（1）中的遞推關(guān)系式，將等式兩邊同時(shí)減10b，得，首項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，則有，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，滿足上式，于是，可得，由，解得，所以每年應(yīng)拆除的舊住房面積為.22．已知函數(shù)，.(1)已知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，且關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問題，通過分類討論完成．（2）當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，該方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，即存在，使得在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．結(jié)合，求得范圍，即可求得的范圍．【詳解】（1）依題可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)恒成立，設(shè)，即轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，只需滿足，顯然成立，若，即時(shí)，只需滿足，解得，與初始范圍矛盾，故舍去，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，令，即，因?yàn)?/span>，所以，則該方程有兩不同實(shí)根，且一正一負(fù)，即存在，使得，可知時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，所以，由，得，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，所以，即為的范圍，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 

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