?2022-2023學(xué)年山西省大同市廣靈縣平城中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 設(shè)，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求解，以及簡單二次不等式的求解，解得集合，再根據(jù)集合的補(bǔ)運(yùn)算和交運(yùn)算，即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 或，
故，則.
故選：A.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)并確定模即可.
【詳解】由題意可得：，
則.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
3. 已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，且，則向量＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，線性表示向量，可得選項(xiàng).
【詳解】如圖，∵，
∴＝＋＝＋＝＋ (－)＝＋.
故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性表示，屬于基礎(chǔ)題.
4. 已知圓錐的母線長為2，側(cè)面展開圖扇形的面積為，那么該圓錐的體積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積求出，再由勾股定理求出，最后代入體積公式，即可得到答案；
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，高為，
，
，
，
故選：D
5. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用“1”和“0”即可比較大小.
【詳解】因?yàn)?為增函數(shù)，為減函數(shù)，
所以，
因?yàn)闉樯系臏p函數(shù)，
所以，
所以，
故選：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用“1”比較大小的方法，屬于中檔題.
6. 滿足，，的恰有一個(gè)，那么的取值范圍是（ ）
A. B.
C D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得或時(shí)，滿足的三角形恰有一個(gè)，解不等式可得.
【詳解】解：如圖，由題意得，或時(shí)，滿足的三角形恰有一個(gè)，
解得或，
故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查三角形解的個(gè)數(shù)的判斷，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知體積為的球與正三棱柱的所有面都相切，則三棱柱外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)球與正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形內(nèi)切圓的半徑以及棱柱的高，繼而求得外接球半徑，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)榍虻捏w積為，所以球的半徑為1，
又球與正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱底面內(nèi)切圓的半徑為1，棱柱高為2，
設(shè)正三棱柱的外接球的球心為O，底面內(nèi)切圓的圓心為,
設(shè)的中點(diǎn)為D，則在上，且,

又,則三棱柱外接球的半徑為，
即外接球的表面積為,
故選：B
8. 關(guān)于函數(shù)，下列敘述有誤的是
A. 其圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B. 其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 其值域是[－1,3]
D. 其圖象可由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?br /> 【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，為函數(shù)最小值，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的值域?yàn)閇－1,3]，顯然C正確；圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫剑蔇正確．綜上，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記正弦函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 下列命題中是假命題的為（ ）
A. 已知向量，則，可以作為某一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底
B. 若，共線，則
C. 已知是平面的一個(gè)基底，若，則也是該平面的一個(gè)基底
D. 若，，三點(diǎn)共線，則
【答案】AB
【解析】
【分析】A中，共線向量有可能有零向量，所以不能作為基底，判斷A的真假；B中，共線向量不一定相等，判斷B的真假；C中，由向量的基底的定義及向量的基本性質(zhì)，可得，不共線，判斷C的真假；D中，由三點(diǎn)共線的性質(zhì)可判斷D的真假．
【詳解】A中，若或中至少一個(gè)為零向量時(shí)，，就不能作為基底，所以A不正確；
B中，若，共線，而，的方向不一定相同，且模長也不一定相等，所以B不正確；
C中，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)基底，則與不共線，而，所以，不共線，所以可以作為該平面的基底，所以C正確；
D中，由題得得，，即，
即，即，所以D正確；
故選：AB．
10. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則
B. ，
C. 函數(shù)過定點(diǎn)
D. 時(shí)，的最小值為2
【答案】ABC
【解析】
【分析】
對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)和函數(shù)的圖象過點(diǎn)，可求得，由此可判斷；
對(duì)于B：由，可判斷；
對(duì)于C：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可判斷；
對(duì)于D：由，可判斷．
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，又函數(shù)的圖象過點(diǎn)，所以，，所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)椋訠正確；
對(duì)于C：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)過定點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D不正確；
故選：ABC．
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.
11. 《數(shù)書九章》是南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷，共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積術(shù)”中提出了已知三角形三邊，，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且的面積，請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的周長為 B. 三個(gè)內(nèi)角，，滿足
C. 外接圓的直徑為 D. 的中線的長為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；
對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)余弦定理可求得的值為，可得，可得三個(gè)內(nèi)角，，成等差數(shù)列；
對(duì)于選項(xiàng)，由正弦定理可得，外接圓直徑可得的值；
對(duì)于選項(xiàng)，由題意利用中線定理即可計(jì)算得解．
【詳解】由正弦定理可得．
設(shè)
，
解得的周長為，故A正確；
由余弦定理得，，
故B正確；
由正弦定理知，外接圓的直徑，故C正確；
由中線定理得，即，
，故D錯(cuò)誤．
故選:ABC．
12. 已知函數(shù)，函數(shù)滿足.則（ ）
A.
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 若實(shí)數(shù)、滿足，則
D. 若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為、、，則
【答案】AC
【解析】
【分析】計(jì)算得出，可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)對(duì)稱性的定義可判斷B選項(xiàng)；分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)的對(duì)稱性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)任意的，，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br />
，
所以，，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> ，即，
所以，函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上也為增函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，
因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足，則，可得，即，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，由上可知，函數(shù)與圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
由于函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為、、，
不妨設(shè)，若，則函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)，不合乎題意，
所以，，則，由函數(shù)的對(duì)稱性可知，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
則，，故，D錯(cuò).
故選：AC.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：判斷函數(shù)的對(duì)稱性，可利用以下結(jié)論來轉(zhuǎn)化：
①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則；
②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 設(shè)向量，，若向量與同向，則_________；
【答案】2
【解析】
【分析】向量與同向，則向量平行，代入公式計(jì)算
【詳解】向量與同向

解得
向量與同向，則
故答案：
14. 如圖所示，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為，腰長為，上底長為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于________．

【答案】
【解析】
【分析】畫出原圖，由此計(jì)算出原圖的面積.
【詳解】直觀圖中，作，
等腰梯形中，，
所以.

原圖如下圖所示：

其中，
所以原圖的面積為.
故答案為：
15. 如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】由的幾何意義得對(duì)應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)的軌跡為線段，再由的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即可求出最小值.
【詳解】
設(shè)，則的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離和為2，
又，設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡為線段，
又的幾何意義為復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
設(shè)，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1.
故答案為：1.
16. 在梯形中，，，，，若在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】
如圖示，以A為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則：、
不妨設(shè)
則
∴
∴的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.
故答案：
【點(diǎn)睛】向量的基本運(yùn)算處理的常用方法：
(1)向量幾何化：畫出合適的圖形，利用向量的運(yùn)算法則處理；
(2)向量坐標(biāo)化：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算處理．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，是虛數(shù)單位，且滿足.
（1）求復(fù)數(shù)；
（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則，代入足，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得，值，則可求；
（2）由（1）得，，再由實(shí)部與虛部都大于0列不等式組求解．
【詳解】解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，則，
于是，即，
，解得，故；
（2）由（1）得，，
由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
，解得.實(shí)數(shù)取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
18. 已知向量，，.
（1）求向量與夾角的正切值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，然后根據(jù)范圍可知，最后可知
（2）依據(jù)直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
設(shè)向量與的夾角，則
，解得.
又，所以，故.
（2）因?yàn)椋裕?br /> 即，解得.
19. 在中，角所對(duì)的邊分別為．已知 ．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；
（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.
【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因?yàn)椋裕?br /> （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角為銳角，由，可得 ，
進(jìn)而，
所以.
【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.
20. 如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且，求證：

（1），，，四點(diǎn)共面；
（2）與的交點(diǎn)在直線上．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而，由此能證明，，，四點(diǎn)共面．
（2）推導(dǎo)出，且，從而與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，由此能證明與的交點(diǎn)在直線上．
【小問1詳解】
：：：，，
，分別為，的中點(diǎn)，，，
，，，四點(diǎn)共面．
【小問2詳解】
、不是、的中點(diǎn)，
，且，
與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，，
與的交點(diǎn)在直線上．
21. 已知向量，，
（1）求在方向上的投影向量的坐標(biāo)；
（2））若向量，求實(shí)數(shù)的值；
（3）若向量，滿足，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）由投影向量公式可直接求得結(jié)果；
（2）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（3）利用向量相等可構(gòu)造方程求得，根據(jù)模長坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.
【詳解】（1）在方向上的投影向量為：；
（2），，又，
，解得：；
（3），即，
，解得：，.
22. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，
（1）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積；
（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式可得，
再利用正弦定理可得，由余弦定理可得，從而利用三角形面積公式可得結(jié)果；
（2）由余弦定理可得，結(jié)合求得，
由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
在中，，則由正弦定理得，，

， 即，
．由得，．
又由，得，
由正弦定理可得，即，
，由余弦定理有，解得：，
．
【小問2詳解】
由知，，得，
又，，．
由正弦定理得，則，，
由為銳角三角形，則，得，
，即的取值范圍為.



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