2022-2023學(xué)年浙江省杭州市濱江區(qū)江南實驗學(xué)校八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列圖形是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 3.  李華參加演講比賽，有九位評委打分，如果去掉一個最高分和一個最低分，則下列數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是(    )A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 方差4.  若是關(guān)于的一元二次方程的一個根，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列計算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  利用反證法證明“在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于”，應(yīng)先假設(shè)(    )A. 三角形有一個角小于 B. 三角形的每個角都小于
C. 三角形的每個角都大于 D. 三角形有一個角大于7.  如圖，四邊形是平行四邊形，是對角線與的交點，，若，，則的長是(    )
A.  B.  C.  D. 8.  一次足球聯(lián)賽實行單循環(huán)比賽每兩支球隊之間都比賽一場，計劃安排場比賽，設(shè)應(yīng)邀請了支球隊參加聯(lián)賽，則下列方程中符合題意的是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，是?的邊上的點，是中點，連接并延長交于點，連接與相交于點，若，，則陰影部分的面積為(    )
A.  B.  C.  D. 10.  我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法以方程，即為例說明，方圖注中記載的方法是：構(gòu)造如圖中大正方形的面積是同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此小明用此方法解關(guān)于的方程時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為，小正方形的面積為，則(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  已知一組數(shù)據(jù)：、、，小明用計算這一組數(shù)據(jù)的方差，那么 ______ ．12.  如圖，某地下車庫的入口處有斜坡，其坡比與的長度之比為：，則的長為______米．
13.  如果一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，那么這個多邊形的邊數(shù)是______ ．14.  已知，則的值等于______．15.  如圖，在中，、分別是、的中點，，是上一點，連接、，若，，則的長為______．
 16.  如圖，將平行四邊形沿對折，使點落在點處若，，，則的長為______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
下面是小明解一元二次方程的過程：
解：原方程可化為，第一步
方程兩邊同除以得，，第二步
系數(shù)化為得．
小明的解答是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請指出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并寫出正確的解答過程．18.  本小題分
計算：
；
．19.  本小題分
近年來，網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利，楊林和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對“美團”和“滴滴”兩家網(wǎng)約車公司司機月收入進行了一項抽樣調(diào)查，兩家公司分別抽取的名司機月收入單位：千元如圖所示：
“滴滴”網(wǎng)約車司機收入的頻數(shù)分布表： 月收入千元千元千元千元人數(shù)個根據(jù)以上信息，整理分析數(shù)據(jù)如表：  平均月收入千元中位數(shù)眾數(shù)方差“滴滴” “美團”  填表：在表格的空白處填入相應(yīng)的數(shù)據(jù)；
楊林的叔叔決定從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機，如果你是楊林，請從平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)，方差這幾個統(tǒng)計量中選擇兩個統(tǒng)計量進行分析，并建議他的權(quán)權(quán)選擇哪家公司？
20.  本小題分
如圖，中，點，分別是邊，的中點，過點作交的延長線于點，連接．
 求證：四邊形是平行四邊形．當時，若，，求的長． 21.  本小題分
已知關(guān)于的方程．
求證：當時，方程總有兩個不相等實數(shù)根；
若方程兩個相等的實數(shù)根都是整數(shù)，寫出一組滿足條件的，的值，并求此時方程的根．22.  本小題分
公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔月份到月份的銷量，該品牌頭盔月份銷售個，月份銷售個，且從月份到月份銷售量的月增長率相同．
求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
若此種頭盔的進價為元個，測算在市場中，當售價為元個時，月銷售量為個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲元個，則月銷售量將減少個，為使月銷售利潤達到元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元個？23.  本小題分
如圖，中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位的速度向終點運動，同時動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿方向運動，當點到達點時，點也停止運動，以，為鄰邊作平行四邊形，，分別交于點，設(shè)點運動的時間為秒．
______ 含的代數(shù)式表示；
如圖，連結(jié)，，，當時，求的面積．
如圖，連結(jié)，，點關(guān)于直線的對稱點為點，若落在的內(nèi)部不包括邊界時，則的取值范圍為______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項A、、中的三個圖形都不是中心對稱圖形，
選項D的圖形是中心對稱圖形．
故選：．
一個圖形繞著某固定點旋轉(zhuǎn)度后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形，這個固定點叫做對稱中心；根據(jù)此概念即可完成．
本題考查了中心對稱圖形的識別，掌握概念是關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，
，
解得：．
故選：．
直接利用二次根式的定義得出，進而得出答案．
此題考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
 3.【答案】 【解析】解：去掉一個最高分和一個最低分，平均分、眾數(shù)、方差可能發(fā)生變化，
中位數(shù)一定不發(fā)生變化，
故選：．
根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的定義判斷即可．
此題主要考查了中位數(shù)、眾數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、方差的含義和判斷，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：中位數(shù)代表了這組數(shù)據(jù)值大小的“中點”，不易受極端值影響．
 4.【答案】 【解析】解：將代入方程
得：，解得：．
故選：．
將代入方程得到關(guān)于的方程求解即可．
本題主要考查了一元二次方程的根的定義，將已知方程的一個根代入方程得到新的方程是解答本題關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、不能合并，不符合題意；
B、，不符合題意；
C、，符合題意；
D、，不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次根式加減乘除法運算的計算法則計算即可求解．
本題考查了二次根式的混合運算，關(guān)鍵是熟練掌握計算法則正確進行計算．
 6.【答案】 【解析】解：一個角大于或等于的反面是：小于．
故應(yīng)假設(shè)：三角形的每個角都小于．
故選：．
反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進行判斷．
本題主要考查了反證法的基本步驟，正確確定大于或等于的反面，是解決本題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，
．
故選：．
由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得的長，然后由，，，根據(jù)勾股定理可求得的長，繼而求得答案．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握平行四邊形的對角線互相平分．
 8.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：．
故選：．
利用比賽的總場數(shù)參賽隊伍支數(shù)參賽隊伍支數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：連接，如圖，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
是中點，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
即，
，
四邊形為平行四邊形，
，
陰影部分的面積
故選：．
連接，如圖，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，再證明≌得到，則可判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，接著證明四邊形為平行四邊形，所以，然后計算得到陰影部分的面積．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)：一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形；平行四邊形的對邊平行且相等；平行四邊形的對角線把四邊形分成面積相等的四部分．
 10.【答案】 【解析】解：如圖，

由題意得：，，
，，
故選：．
畫出方程的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系得，，即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：由，可知這個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以，
故答案為：．
根據(jù)方差公式可以確定這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和數(shù)據(jù)個數(shù)，相乘即可得出答案．
本題考查了方差公式，解題關(guān)鍵是熟記方差計算公式，根據(jù)公式確定平均數(shù)與數(shù)據(jù)個數(shù)．
 12.【答案】 【解析】解：斜坡的坡比為：，，
，
由勾股定理得：，
故答案為：．
根據(jù)坡度的概念求出，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．
本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得，
，
解得．
故答案為：．
利用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與多邊形的外角和定理，需要注意，多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)

，即
，或
又的值一定是非負數(shù)
的值是．
故答案為：．
首先把當作一個整體，設(shè)，方程即可變形為關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求得即的值．
此題注意把看作一個整體，然后運用因式分解法解方程，最后注意根據(jù)式子的形式分析值的取舍．
 15.【答案】 【解析】解：點、分別是邊、的中點，
是的中位線，
，
．
，是的中點，，
，
．
故答案為：．
利用三角形中位線定理得到由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到最后由圖中線段間的和差關(guān)系來求線段的長度即可．
本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
 16.【答案】 【解析】解：過點作的延長線于點，
在?中，
，，，
由于?沿對折，
，，
，
，
，
在與中，
，
≌，
，，
，
，，
設(shè)，
則，，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
在中，
由勾股定理可知：，
解得：，
故答案為：．
過點作的延長線于點，易證≌，從而可知，，設(shè)，在中，利用勾股定理列出方程即可求出的值．
本題考查平行四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是證明≌，然后利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型．
 17.【答案】解：從第二步開始出現(xiàn)的錯誤，其錯誤原因是等式的性質(zhì)用錯，
正確的解答過程如下：
，
，
，
則或，
解得：、． 【解析】先移項，再提取公因式分解因式，即可得到兩個一元一次方程的積，再解一元一次方程即可．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：原式

；
原式



． 【解析】先將原式中每項化簡為最簡二次根式，再去括號，最后合并同類二次根式即可解答；
原式分子和分母同時乘以，分母再利用平方差公式計算，再約分即可解答．
本題主要考查二次根式的混合運算、分母有理化，熟練掌握二次根式的混合運算法則和分母有理化的方法是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：“美團”的平均月收入為，眾數(shù)為，
“滴滴”網(wǎng)約車司機收入的中位數(shù)為，
在表格的空白處填入相應(yīng)的數(shù)據(jù)：  平均月收入千元中位數(shù)眾數(shù)方差“滴滴”“美團”選“美團”，理由如下：
因為平均數(shù)一樣，“美團”的中位數(shù)、眾數(shù)大于“滴滴”的，且“美團”的方差小，更穩(wěn)定． 【解析】利用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義分別計算后即可確定正確的答案；
根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進行選擇即可．
本題考查了統(tǒng)計的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)的計算公式，難度不大．
 20.【答案】證明：點，分別是邊，的中點，
．
，
四邊形是平行四邊形；

解：，為的中點，
．
，，
，
． 【解析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 21.【答案】證明：，
，，，


，
，
，即，
方程總有兩個不相等實數(shù)根；
由題意可知，
，
即：．
當，時，方程為：．
解得：． 【解析】根據(jù)根的判別式符號進行判斷；
根據(jù)判別式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式．
 22.【答案】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，
依題意，得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為．
設(shè)該品牌頭盔的實際售價為元，
依題意，得：，
整理，得：，
解得：不合題意，舍去，，
答：該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為元． 【解析】設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)該品牌頭盔月份及月份的月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
根據(jù)月銷售利潤每個頭盔的利潤月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】  【解析】解：在中，，，，
，
由題意，，
．
故答案為：；

如圖中，

四邊形是平行四邊形，
，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
；

如圖，，，
，
在中，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，，
≌，
，
如圖，點與重合，

由對稱得：，
，
，
是等邊三角形，
，
，
；
如圖，在斜邊上，

由對稱得：，
，
是等邊三角形，
，
，
，
的取值范圍為．
故答案為：．
根據(jù)幾何動點的速度和時間可得結(jié)論；
根據(jù)四邊形是平行四邊形，證明四邊形是平行四邊形，可得，再證明≌，最后利用三角形的面積公式可解答；
先證明，再計算兩個邊界點時點的值；如圖，點與重合，如圖，在斜邊上，由此可得結(jié)論．
本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，學(xué)會取邊界點解決實際問題，屬于中考壓軸題．
 

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