1.定義：一線三等角是一個常見的模型，指的是有三個相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似（或全等）圖形，也可稱為“K形圖”或“M形圖”.
（1）一般情況下，由一條直線上三個相等的角，易得兩個相似三角形；
（2）當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，相似的兩個三角形全等.
注：三個相等的角可以是銳角、直角或鈍角.
3.構(gòu)造一線三等角的基本步驟
做題過程中，若出現(xiàn)一角的頂點(diǎn)在一條直線上的形式，就可以構(gòu)造兩側(cè)的兩個相等的角，利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題，本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似.
?類型1：一線三等角（不包含直角）
【例1】【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，已知AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（0°＜α＜90°），則線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是?　DE＝BD＋CE　?；?
【類比探究】如圖2，在（1）的條件下，若90°＜α＜180°，則線段DE、BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是?　DE＝BD＋CE　?；?
【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，請問線段AD、BD、CE之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由.
（2）同（1）易得DE＝BD＋CE
【例2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E.
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE.
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，求證：DE＝AD－BE.
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，試問DE，AD，BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系，不需要證明.
證明：（1）①∵AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E， ∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE. 又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②由①知，△ADC≌△CEB， ∴AD＝CE，CD＝BE. ∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.
證明：（2）∵AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E， ∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE. 又∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CE－CD＝AD－BE.
證明：（3）DE＝BE－AD（或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE）.
1.已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B，C點(diǎn)重合），∠ADE＝45°.
（1）當(dāng)∠DEC＝120°時，求∠BDA的度數(shù)；
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC ＝∠BAD＋45°. 又∵∠ADC＝∠CDE＋45°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， ∴∠BDA＝∠DEC＝120°.
（2）設(shè)BD＝x，AE＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
（1）求a，b的值及反比例函數(shù)的解析式；
（2）若OD＝1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，判斷四邊形ABCD的形狀并說明理由；
解：（2）∵CD∥AB，
∴設(shè)直線CD的解析式為y＝－x＋m.
又∵OD＝1，點(diǎn)D在x軸的正半軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）.
將D（1，0）代入y＝－x＋m，得m＝1.
∴直線CD的解析式為y＝－x＋1.
對于y＝－x＋1，當(dāng)x＝0時，y＝1，
以點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形是矩形.理由如下：
∵A（3，2），B（2，3），C（0，1），D（1，0），
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥y軸于點(diǎn)E，則E（0，3）.
∵CE＝OE－OC＝2，BE＝2，
∴△BEC和△COD都為等腰直角三角形，
∴∠ECB＝∠OCD＝45°，∴∠BCD＝90°，
解：（3）①當(dāng)∠MAD＝90°時，如圖2，
作PD⊥x軸，過A點(diǎn)作PQ∥x軸，QM⊥PQ于點(diǎn)Q.
∵△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝AM.
又∵∠PAD＋∠PDA＝90°，
∠PAD＋∠QAM＝90°，
∴∠PDA＝∠QAM.
∴△APD≌△MQA（AAS）.

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