2023屆甘肅省蘭州市第五十八中學(xué)教育集團(tuán)高三下學(xué)期2月建標(biāo)考試數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由已知得，所以.故選：C .2．若復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先計(jì)算，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】，所以，則.故選：D3．已知向量，且，則（    ）A． B．7 C．12 D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量垂直的數(shù)量積為0求解即可.【詳解】由題意，，又，故，即，，解得.故選：A4．新式茶飲是指以上等茶葉通過(guò)萃取濃縮液，再根據(jù)消費(fèi)者偏好，添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而成的飲料．下圖為年我國(guó)消費(fèi)者購(gòu)買新式茶飲頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額條形圖：2021年消費(fèi)者購(gòu)買新式茶飲的頻次Frequency of Consumers Buying New Tea in 20212021年消費(fèi)者月均消費(fèi)新式茶飲的金額Average Monthly Consumption of New Tea by Consumers in 2021根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中不正確的是（    ）A．每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)B．每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)C．月均消費(fèi)元的消費(fèi)者占比超過(guò)D．月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)元的消費(fèi)者占比超過(guò)【答案】D【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可判斷AB選項(xiàng)，根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，月均消費(fèi)元的消費(fèi)者占比為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)元的消費(fèi)者占比為，D錯(cuò).故選：D.5．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】列舉出循環(huán)的每一步，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可求得輸出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，，執(zhí)行第一次循環(huán)，，，不成立；執(zhí)行第二次循環(huán)，，，不成立；執(zhí)行第三次循環(huán)，，，不成立；，以此類推，執(zhí)行最后一次循環(huán)，，，成立，跳出循環(huán)體，因?yàn)?/span>，因此，輸出結(jié)果為.故選：B.6．命題在上為增函數(shù)，命題在單調(diào)減函數(shù)，則命題q是命題p的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出命題中的范圍，根據(jù)充分條件，必要條件的概念判斷.【詳解】若 在為增函數(shù)，則，解得；在為減函數(shù)，則，即或，因?yàn)?/span>“”能推出“或”，反之不成立，所以命題q是命題p的必要不充分條件，故選：B．7．已知函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最小正周期求出，根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，求出，從而，由得到，由單調(diào)性列出不等式，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故，所以，解得：，因?yàn)?/span>，所以只有當(dāng)時(shí)，滿足要求，故，因?yàn)?/span>，所以，故，解得：，故a的最小值為.故選：A8．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；【詳解】，函數(shù)為偶函數(shù)，排除A,C，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：B9．記的內(nèi)角對(duì)邊分別為已知．若，則的形狀是（    ）A．等腰直角三角形 B．等腰銳角三角形C．等腰鈍角三角形 D．不等腰鈍角三角形【答案】C【分析】由條件運(yùn)用正弦定理角化邊，由余弦定理求出，根據(jù)條件可求得，從而可判斷.【詳解】由已知，根據(jù)正弦定理得，，則，∴，又，∴，，又，∴，∴，即，此時(shí)，，∴為等腰鈍角三角形．故選：C．10．在直三棱柱中，，，，，，分別是，， 的中點(diǎn)，則下面說(shuō)法中正確的有（    ）A．平面B．C．直線與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】A【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由向量法即可證線面平行、線線垂直；求線面角、點(diǎn)面距離.【詳解】直三棱柱中，，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有， .對(duì)A，平面的其中一個(gè)法向量為，由，平面，故平面，A錯(cuò)；對(duì)B，由得BD與EF不垂直，B錯(cuò)；對(duì)C，平面的其中一個(gè)法向量為，則 ，則直線與平面所成角的余弦值為，C錯(cuò)；對(duì)D，，設(shè)平面的法向量為，則有，令得，故到平面的距離為，D錯(cuò).故選：A11．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)且與C左支交于P，Q兩點(diǎn)，P在以為直徑的圓上，，則C的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)P在以為直徑的圓上，得到，設(shè)，，得到，由雙曲線定義得到，求出，由勾股定理求出，從而求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，因?yàn)?/span>P在以為直徑的圓上，所以，即，則．因?yàn)?/span>Q在C的左支上，所以，即，解得，則．因?yàn)?/span>，所以，即，故，故．故選：A12．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷A和B，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷C和D.【詳解】令，則，令恒成立，即在定義域單調(diào)遞增，且因此在區(qū)間上必然存在唯一使得，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故A，B均錯(cuò)誤；令，，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上為減函數(shù)，∵，∴，即，∴選項(xiàng)C正確，D不正確.故選:C. 二、填空題13．過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線方程為___________．【答案】【分析】根據(jù)求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程的步驟，先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)求斜率即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)為，切線方程為，即．故答案為：.14．九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開(kāi)為勝，趣味無(wú)窮．中國(guó)的末代皇帝溥儀（1906—1967）也曾有一個(gè)精美的由九個(gè)翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）．現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個(gè)圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列滿足，，，則______．【答案】【分析】利用累加法可求得的值.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，，所以當(dāng)且時(shí)，，所以.故答案為：.15．在平面四邊形中，，，是以為斜邊的直角三角形，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，若平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】##【分析】根據(jù)題意結(jié)合球的性質(zhì)分析可得三棱錐的外接球的球心即的外接圓圓心，再利用正弦定理求其半徑，即可得結(jié)果.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，∵，則，而平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵是以為斜邊的直角三角形，則為的外接圓圓心，即，∴三棱錐的外接球的球心在直線上，由題意可知：的外接圓圓心在直線上，則連接，∴三棱錐的外接球的球心即為，在中，由題意可得，則，∴三棱錐的外接球的半徑，故三棱錐的外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：球的性質(zhì)：①球的任何截面均為圓面；②球心和截面圓心的連線垂直于該截面.16．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)之間的“折線距離”：在這個(gè)定義下，給出下列命題：①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)正方形；②到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)圓；③到兩點(diǎn)的“折線距離”差的絕對(duì)值為1的點(diǎn)的集合是兩條平行線；④到兩點(diǎn)的“折線距離”之和為6的點(diǎn)的集合是面積為16的六邊形．其中正確的命題是___________．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）【答案】①③④【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，分別表示出“折線距離”，分類討論去掉絕對(duì)值，依次判斷4個(gè)命題即可【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的“折線距離”，有圖像可得故點(diǎn)P的集合是一個(gè)正方形，所以①正確，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，由，可知，即或，對(duì)于，由絕對(duì)值不等式可知，當(dāng)或時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，（y任意），對(duì)于，由絕對(duì)值不等式可知，當(dāng)或時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，（y任意），故集合是兩條平行線，③正確；對(duì)于④，由，可知，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得即；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得；由圖像可知的集合是六邊形，其面積為，④正確．故答案為：①③④． 三、解答題17．在數(shù)列中，．(1)求證：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)滿足不等式成立的k的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)4 【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式，化簡(jiǎn)可得判斷為等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）知，再裂項(xiàng)相消求解，根據(jù)不等式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，否則與矛盾，故，等式兩邊同除以可得，又，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，因此．（2）由（1）知，，，,,即，，故k的最大值為4．18．某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定至少正確完成其中2題才可提交通過(guò)．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫(xiě)出甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的分布列，并計(jì)算均值；（2）試從甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成2題的概率方面比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．【答案】（1）甲分布列見(jiàn)解析，；乙分布列見(jiàn)解析，；（2）答案不唯一，見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意可知，甲、乙兩位考生正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別服從超幾何和二項(xiàng)分布，分別列出分布列，計(jì)算均值即可；（2）結(jié)合分布列中的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的均值、方差及至少正確完成2題的概率比較即可.【詳解】（1）設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為，則的取值范圍是．，，，所以的分布列為123 ．設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為，易知，所以，，，．所以的分布列為0123 ．（2）由（1），知，，，，．所以，，故從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的均值方面分析，兩人水平相當(dāng)；從正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的方差方面分析，甲的水平更穩(wěn)定；從至少正確完成2題的概率方面分析，甲通過(guò)的可能性更大．因此甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)．19．如圖，已知四棱錐，底面ABCD為菱形，平面ABCD，，E是BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)． 【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出為正三角形，從而得到，，再由平面，得到，由此能證明平面，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）連接，，則為與平面所成的角，當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大．建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式求解．【詳解】（1）由四邊形ABCD為菱形，，可得為正三角形，因?yàn)?/span>E為BC的中點(diǎn)，所以，又，因此，因?yàn)?/span>平面ABCD，平面ABCD，所以，而平面PAD，平面PAD，，則平面，又平面PAD，所以．（2）設(shè)，連接AH，EH，由（1）知平面PAD，則為EH與平面PAD所成的角，因?yàn)?/span>平面PAD，所以．所以在中，，所以當(dāng)AH最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，因此．又，所以，所以．故以A為原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，∴異面直線PB與AC所成的角的余弦值．20．設(shè)粗圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為P，離心率為．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)（與A、B均不重合），設(shè)直線的斜率分別是．討論是否為定值，若是求出定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，． 【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及建立方程求出即可得解；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消元后由根與系數(shù)關(guān)系，斜率公式化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，則，所以因?yàn)?/span>，所以，又，所以，即，所以所以（2）由題意設(shè)直線，聯(lián)立，消去x，得，則，所以.21．已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的極值；(2)若對(duì)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的正負(fù)可求得的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義可求得結(jié)果；（2）分離變量可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立；求導(dǎo)后可令，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可求得的零點(diǎn)，并得到的單調(diào)性，由此可求得，化簡(jiǎn)可得，由此可求得的取值范圍.【詳解】（1）定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極大值為，無(wú)極小值.（2）由得：，在上恒成立；令，則；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；由得：，，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、恒成立問(wèn)題的求解；本題求解恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)分離變量的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問(wèn)題，從而利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來(lái)求得變量的取值范圍.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)射線的極坐標(biāo)方程為，射線與曲線C交于兩點(diǎn)O、A，與直線l交于點(diǎn)B，且，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化，先將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，將代入化簡(jiǎn)即可；（2）利用極坐標(biāo)方程聯(lián)立解出,代入化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程：（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為.（2）將射線的極坐標(biāo)方程，代入中，得，即，將射線的極坐標(biāo)方程，代入中，得，即，∵，∴，整理得，∵，∴.23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用零點(diǎn)分區(qū)間法去絕對(duì)值號(hào)，解不等式即可；（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到，直接解不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，令，解得．綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為．（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，解得或．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為． 

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