2023屆高三沖刺卷（二）全國卷-數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】，，.故選:A.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，，，.故選：B.3．塔因為年代久遠(yuǎn)，塔身容易傾斜，在下方如圖中，表示塔身，塔身的長度就是塔的高度，塔身與鉛垂線的夾角為傾斜角，塔頂到鉛垂線的距離為偏移距離，現(xiàn)有兩個塔高相同的斜塔，它們的傾斜角的正弦值分別為，，兩座塔的偏移距離差的絕對值為3.1米，則兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對值為（    ）A．1.2米 B．0.6米 C．1米 D．0.8米【答案】D【分析】由題意可得塔的偏移距離，設(shè)兩座塔的塔高為，結(jié)合題意可得兩座塔的偏移距離差的絕對值為，進(jìn)而得到，結(jié)合塔頂?shù)降孛娴木嚯x，進(jìn)而求解.【詳解】塔的偏移距離，設(shè)兩座塔的塔高為，則根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得兩座塔的偏移距離差的絕對值為，即，，塔頂?shù)降孛娴木嚯x，根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得傾斜角的余弦值分別為，，兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對值為.故選：D.4．等差數(shù)列中，首項和公差都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列，，的公差為（    ）A．lg B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】由，，差數(shù)列，得，即，則，又，，所以，解得，，，的公差為.故選：C.5．甲?乙兩所學(xué)校有同樣多的學(xué)生參加數(shù)學(xué)能力測驗，兩所學(xué)校學(xué)生測驗的成績分布都接近于正態(tài)分布，其中甲校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為105分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；乙校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)為115分，標(biāo)準(zhǔn)差為5分.若用粗線表示甲校學(xué)生成績分布曲線，細(xì)線表示乙校學(xué)生成績分布曲線，則下列哪一組分布曲線較為合理？（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)甲校、乙校學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)的大小結(jié)合圖象中的對稱軸進(jìn)行識別，再根據(jù)方差的大小結(jié)合圖象的波動情況進(jìn)行判斷.【詳解】依題意，由于甲校的學(xué)生成績平均分低于乙校的學(xué)生成績平均分，所以甲校的學(xué)生成績正態(tài)曲線的對稱軸比乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線的對稱軸靠左；由于甲校的學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校的學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差，所以甲校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“矮胖”些，乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“瘦高”些.故選：A.6．已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（    ）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，【答案】A【分析】根據(jù)空間線線，線面的位置關(guān)系及充分條件必要條件的概念逐項分析即得.【詳解】對A，若，，則直線m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分條件，故A正確；對B，若，，則；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要條件，故B錯誤；對C，若，，則直線；若，則不存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對D，若，，則；若，則存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的充分必要條件，故D錯誤.故選：A.7．的展開式中的系數(shù)是（    ）A．9 B．-9 C．10 D．-10【答案】B【分析】，所以的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)和的系數(shù)之和.【詳解】由于，所以的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)和的系數(shù)和，的展開式中第項為，分別令和，得到的展開式中的系數(shù)和的系數(shù)，因此的展開式中的系數(shù)是.故選：B.8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，以，為直徑的圓依次交雙曲線于A，B，C，D四點，直線交雙曲線于點C，E，且，則雙曲線的離心率為（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，，連接，，由雙曲線的定義，得，，由于點在以為直徑的圓上，所以，在直角三角形中，，即，得，在直角三角形中，，即，所以，可得，離心率.故選：C.9．已知函數(shù)是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且，則的最小值為（    ）A．2 B．12 C．4 D．8【答案】C【分析】由關(guān)于直線對稱，得出一個關(guān)于的方程，由在區(qū)間上的單調(diào)遞減，利用三角函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間公式得出的一個不等關(guān)系，由方程確定的一個對稱中心，再求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，根據(jù)，則，，因為是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù).所以，，，因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，；由于，是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，且，所以為的一個對稱中心，則，所以，，，，，，，，根據(jù)或，可得，或，所以的最小值為4.故選：C.10．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于A，B兩點，若，則（    ）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】B【分析】當(dāng)直線l的斜率不存在時，易知不成立，故直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)拋物線的定義以及韋達(dá)定理，可求出，即可求出結(jié)果.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)，.當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入，得，，，，，，與矛盾.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入，得，則，，由拋物線的定義知，，，于是，所以，.故選:.11．已知正方體的棱長為2，P，Q分別是，的中點，則經(jīng)過點，Q，C，D，C1的球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出的外接圓半徑，矩形的外接圓半徑，再利用幾何關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設(shè)的外接圓半徑為，則，于是，設(shè)矩形的外接圓半徑為，則，設(shè)球心為，過作平面，垂足為，過作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點，則，于是平面，所以四邊形是矩形.設(shè)球半徑為，，則，于是球的表面積為.故選：D.12．若實數(shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（    ）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通過構(gòu)造函數(shù)可比較與c的大小.后構(gòu)造可比較大小，即可得大小.【詳解】由，，，得，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因為，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，于是，又a，，所以；綜上.故選：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)比較代數(shù)式大小，難度較大.對于不好估值的代數(shù)式，常通過觀察構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到大小關(guān)系. 二、填空題13．已知向量，，與共線，則___________.【答案】2【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】由，，得，，因為與共線，所以.則.故答案為：214．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為___________.【答案】##【分析】對進(jìn)行分段，討論的單調(diào)性，進(jìn)而即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時，有最小值.故答案為：.15．小明準(zhǔn)備在陽臺種植玫瑰?百合?牡丹和蘭花4種盆栽，共種8盆，并且每種花至少種1盆，則玫瑰花恰好種3盆的概率是___________.【答案】【分析】利用“擋板法”求得基本事件的總數(shù)，然后根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】依題意可知，基本事件的總數(shù)為種.若玫瑰花恰好種3盆，則另外三種盆栽的數(shù)量可能為或，共有種，因此所求概率為.故答案為：16．已知函數(shù)，對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】由恒成立得出，構(gòu)造函數(shù)，分成，，三種情況進(jìn)行討論，得出的取值范圍.【詳解】已知，對任意，都有恒成立，即，化簡得，令，于是對任意，有，，令，則.當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，于是，即，所以在上是增函數(shù)，于是，符合題意.當(dāng)時，觀察易知在上是增函數(shù)，于是.若，則，所以在上是增函數(shù)，，即，所以在，上是增函數(shù)，，符合題意.若時，令，則當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，所以，即，，又，在上是增函數(shù)，所以存在，使得，當(dāng)時，，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，即，所以在上是減函數(shù)，，這與矛盾.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于含參不等式的恒成立問題，往往采用參變分離或構(gòu)造含參函數(shù)兩種方法，參變分離在使用時，一定保證分離出的函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)清晰的研究出其單調(diào)性；構(gòu)造含參函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性時，利用分類討論的方法，可得答案. 三、解答題17．已知是斜三角形，角A，B，C滿足.(1)求證：；(2)若角A，B，C的對邊分別是邊a，b，c，求的最小值，并求此時的各個內(nèi)角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為3，，， 【分析】（1）利用兩角和的余弦公式以及二倍角公式可得，再利用和角公式與誘導(dǎo)公式可得結(jié)論；（2）先判斷角為鈍角，角為銳角，根據(jù)，得到.再由正弦定理與基本不等式，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得答案.【詳解】（1）由得，所以，所以.因為是斜三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以.（2）在中，有，由（1）知，所以，于是角為鈍角，角為銳角，根據(jù)，所以.由正弦定理，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，又角為鈍角，所以時，等號成立，由，得，由，得，因此的最小值為3，此時三角形的各個內(nèi)角為，，.18．下面兩個圖分別是2016年-2020年中國家庭平均每百戶汽車擁有量和居民人均可支配年收入柱狀圖，為了分析居民家庭平均每百戶汽車的擁有量與居民人均可支配全年總收入的關(guān)系，根據(jù)這兩個圖，繪制每百戶汽車擁有量y（單位：輛）與人均可支配收入x（單位：萬元）的散點圖.2.8232.560.465.27 附：線性回歸模型中，，.(1)由其散點圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合每百戶擁有汽車量關(guān)于人均可支配收入的關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程；(2)如果從2020年開始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增長，當(dāng)每百戶汽車擁有量達(dá)到50輛時，求每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度.（附：，，，，，，，.）【答案】(1)；(2)每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度為. 【分析】（1）利用給定的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式計算作答.（2）利用回歸方程估計每百戶汽車擁有量達(dá)到50輛時，人均可支配收入，進(jìn)而求出對應(yīng)的年限，再估算增長速度作答.【詳解】（1）依題意，，， 所以y關(guān)于x的回歸方程為.（2）當(dāng)時，，則，而2020年人均年可支配收入為3.2189萬元，則，，于是2026年每百戶汽車擁有量可以達(dá)到50輛，從2020年起，設(shè)每百戶汽車擁有量平均每年的增長速度為，則，，，由，得，所以每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度為.19．四棱錐中，面，，底面ABCD中，，，.(1)若點在線段BC上，試確定的位置，使面面ABCD，并給出證明；(2)求二面角A-EB-C的余弦值.【答案】(1)點是的中點，證明見解析(2) 【分析】（1）先取點是的中點，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明面面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法先求平面與平面的法向量，再用兩個法向量所成角的余弦值得到二面角A-EB-C的余弦值.【詳解】（1）當(dāng)點是的中點時，面面.證明：由點是的中點，得，又，，所以，，四邊形是平行四邊形.根據(jù)，得四邊形是矩形，故.因為面，面，所以，因為，，面，于是面，由于面，因此面面.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，不妨令為的中點，因為面面，面面，所以過點作于點，則面，以為軸，以過點所作的垂線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，因為面，面，所以，在中，根據(jù)，，可得，，，，則，，，，，，.設(shè)面的法向量為，則，即令，則，，所以，設(shè)面的法向量為，則即令，則，，所以.，設(shè)二面角的大小為，易知，所以，因此二面角的余弦值為..20．已知函數(shù)，，其中.(1)分別求函數(shù)和的極值；(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)有極大值，無極小值；有極小值，無極大值；(2)答案見解析. 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究、的單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值情況；（2）由題設(shè)可得，討論參數(shù)a，根據(jù)判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理確定各情況中零點個數(shù).【詳解】（1）由且，由，得，由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故有極大值，無極小值.且，由，得，由，得，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故有極小值，無極大值.（2）函數(shù)的定義域為，且，所以.當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，令，得，令，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，最大值，若，即時，無零點；若，即時，只有一個零點；若，即時，，又，由（1）知：，所以，故在上有唯一零點.由（1）知：及，于是和，所以，又，，故在上有唯一零點.當(dāng)時，由（1）知，，于是，而，所以，無零點.綜上，或時無零點；時只有一個零點；時有兩個零點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，分類討論參數(shù)a，并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理判斷零點的個數(shù).21．已知橢圓的上頂點為，右焦點為，點滿足.(1)證明：點在橢圓上；(2)若直線與橢圓有兩個不同的交點P?Q，O是坐標(biāo)原點，求面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)最大值為 【分析】（1）根據(jù)求出橢圓，代入點即可證明；（2）聯(lián)立直線與橢圓，得出判別式與韋達(dá)定理，利用弦長公式求出，點到直線的距離求出點到直線的距離，代入三角形面積公式，利用韋達(dá)定理化簡換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解.【詳解】（1）證明：橢圓的上頂點，右焦點，，，，根據(jù)，得，所以，，，所以橢圓的方程為，因為，所以點在橢圓上.（2）設(shè)，，把代入，得，由，得，，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，則，當(dāng)，即，時，等號成立，此時滿足，因此的面積的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：（1）解決直線與圓錐曲線的關(guān)系，聯(lián)立消元化簡是必須熟練掌握的步驟；（2）將問題轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理是處理此類問題的大體思路.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線交曲線于兩點A，B，求的大小.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）代入，即可求解；（2）聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極角的定義利用和差的正切公式即可求解.【詳解】（1）依題意，把，代入，得直線的極坐標(biāo)方程為；把，代入，得，即曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）聯(lián)立和，得，即，，，，所以或，即A，B兩點對應(yīng)的極角的正切值分別是和3，于是，所以.23．已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最小值為m，且a+b+c=m，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）對分類討論去掉絕對值號化簡即可求解；（2）令，，則，再將問題利用基本不等式轉(zhuǎn)化為即可求解.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時，不等式可化為，，所以；當(dāng)，不等式可化為，，不等式不成立；當(dāng)時，不等式可化為，，所以；因此不等式f（x）≥3的解集為.（2），當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為1，于是，即，令，，則，，，，所以，因為，，，所以，兩邊同時加上，得，即，，所以當(dāng)時，有最小值，即，，時，有最小值. 

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