本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知全集，集合，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知i為虛數單位，若，則實數的值為（ ）
A.3B.2C.1D.
3.在平面直角坐標系中，角，均以坐標原點為頂點，軸的正半軸為始邊.若點在角的終邊上，點在角的終邊上，則（ ）
A.B.C.D.
4.某公司對2022年的營收額進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯誤的是（ ）
A.該公司2022年營收總額約為30800萬元
B.該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的3倍還多
C.該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多
D.該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%
5.已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當的周長最小時，（ ）
A.B.C.D.
6.已知，則（ ）
A.40B.8C.D.
7.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，成等差數列，，則（ ）
A.B.C.D.
8.已知，，，則（ ）
A.B.C.D.
9.若函數，則方程的實根個數為（ ）
A.3B.4C.5D.6
10.德國數學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當的外接圓與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數的值為（ ）
A.B.2C.3D.4
11.已知橢圓的左、右焦點分別為、.橢圓在第一象限存在點，使得，直線與軸交于點，且是的角平分線，則橢圓的離心率為（ ）
A.B.C.D.
12.在棱長為6的正方體中，，分別為，的中點，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據要求作答.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知向量，.若，則實數的值為______.
14.若實數，滿足約束條件則的最大值為______.
15.已知函數.若存在，，使不等式成立，則整數的值可以為______.（寫出一個即可）.
16.已知函數，的定義域均為，且，.若的圖像關于直線對稱，且，有四個結論①；②4為的周期；③的圖像關于對稱；④，正確的是______（填寫題號）.
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.
17.（本小題滿分12分）
已知數列滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）記，求數列的前項和.
18.（本小題滿分12分）
近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得積極進展.某城市推出了兩套方案，并分別在，兩個大型居民小區(qū)內試行.方案一：進行廣泛的宣傳活動，通過設立宣傳點、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和知識宣傳教育活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內分別設立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡單，居民可以通過設備進行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作.建立垃圾分類激勵機制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動居民積極主動地參與垃圾分類.經過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內各隨機抽取了100名居民進行問卷調查，記錄他們對試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數據分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數據用該組中間的中點值作代表）；
（2）以樣本頻率估計概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案.現從小區(qū)內隨機抽取5個人，用表示贊成該小區(qū)推行方案的人數，求的分布列及數學期望.
19.（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，平面平面，，，，分別為，的中點，且.
（1）證明：；
（2）若為等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值.
20.（本小題滿分12分）
已知拋物線，為其焦點，點在上，且（為坐標原點）.
（1）求拋物線的方程；
（2）若，是上異于點的兩個動點，當時，過點作于，問平面內是否存在一個定點，使得為定值？若存在，請求出定點及該定值；若不存在，請說明理由.
21.（本小題滿分12分）
已知函數（，e為自然對數的底數）.
（1）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍；
（2）函數，，記的極小值為，求函數的值域.
請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
22.（本小題滿分10分）[選修4-4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系中，已知曲線（為參數），曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線的極坐標方程及曲線的普通方程；
（2）已知，是曲線上的兩個動點（異于原點），且，若曲線與直線有且僅有一個公共點，求的值.
23.（本小題滿分10分）[選修4-5；不等式選講]
已知函數.
（1）若，解不等式；
（2）證明：.
贛州市2023年高三年級摸底考試
數學（理科）參考答案
一、選擇題
11.解：由題意得，由橢圓定義得：.記，
則，，則，
，故，則（或由內角平分線定理得到），則，即（負值已舍）.
12.解：如圖，設，分別為棱，的中點，則三棱錐與三棱柱外接球相同.由余弦定理，由正弦定理外接圓半徑，設三棱柱外接球半徑為，則，則三棱錐外接球的表面積.
二、填空題
13.；14.；15.與中的任選一個即可；16.①②③④.
16.解：由結合，，，
由得：，即，
結合得：，
從而有，進而得：，故4是的周期.
又由的圖像關于直線對稱，即，
從而可得：，
從而有：，即，
結合得，的圖像關于對稱，且，
又，得.
三、解答題
17.解：（1）由…①當時，……1分
當時，有…②……3分
①-②得：，即……5分不符合上式，故……6分
（2）由（1）知……7分故當時，……8分
當時，……10分
……11分因符合上式，故……12分
18.解：（1）設小區(qū)方案一的滿意度平均分為，
則……2分
設小區(qū)方案二的滿意度平均分為，
則……3分
∵……4分∴方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎……5分
（2）由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為，低于70分的頻率為……6分
現從小區(qū)內隨機抽取5個人，的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，則……7分
，……8分
，……9分
，……10分
∴的分布列為
……11分
期望……12分
19.證：（1）證明：如圖，連接，∵，為的中點，∴……1分
又平面平面，平面平面，平面，故平面……2分
∵平面，∴……3分
又∵，且，，平面∴平面；
而平面，∴……4分
（2）解：由為等邊三角形，，得……5分
如圖，過作的平行線軸，結合（1）知軸，，兩兩垂直，
故可建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
設為平面的一個法向量……6分
則……7分又，，得
取，得，則……8分
∵為的中點，∴……9分
∵，∴……10分
則……11分
設直線與平面所成角為，則……12分
20.解：（1）因為點在上，則，而……2分
所以……3分∴，所以……4分∴該拋物線的方程為……5分
（2）法一：設，，，不妨設，
∵，則，解得……6分
①當與軸不垂直時，，，
此時直線的方程為：，整理得……7分
∵，∴的方程為：，則直線恒過定點……8分
∵，即，
∴在以為直徑的圓上，該圓方程為……9分
即當為該圓心時，為定值……10分
②當軸時，，此時，∵，∴；
當時，也滿足……11分
綜上，平面內存在一個定點，使得為定值4……12分
法二：設直線的方程為，，，
聯(lián)立……6分
由題意，由韋達定理得：，……7分
由，即解得……8分
即，直線恒過定點……10分
下同法一
21.解：（1）法一：由得，
故當時，；當時，.
故函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增……1分
∴，
①當時，，函數無零點……2分
②當時，，函數有一個零點……3分
③當時，，又，……4分
故當時，函數有兩個零點……5分
法二：方程等于解方程，
記，
故當時，；當時，.
故函數在區(qū)間上單調遞減，在上單調遞增……1分
∴，
①當時，函數，即無零點……2分
②當時，函數即有一個零點……3分
③當時，由，……4分
故當時，函數，即有兩個零點……5分
（2）法一：由，得：……6分
由（1）知：當時，有兩個零點，（不妨設），同時，也是的兩個零點，且函數與單調性完全相同……7分
∴在，上單調遞增，在上單調遞減……8分
∴的極小值為……9分
又滿足，即，
代入上式得……10分
又，∴……11分∴……12分
法二：由，記，結合
顯然函數在上單調遞增，且，，
故存在唯一，使得，且當時，；當時，，
故在上單調遞減，在單調遞增，
又，，，
故存在兩個零點，（不妨設），
下同法一
注：，即
或均可處理.
22.解：（1）由曲線（為參數），得，
∴曲線的普通方程為……1分
又由，得，
∴曲線的極坐標方程為……3分
又曲線，得，即……4分
∴曲線的普通方程為……5分
（2）由題意，設，則，又曲線與直線有且僅有一個公共點，
∴即為點到直線的距離，由曲線的極坐標方程為，
得，∴……6分
……7分
∴，即……8分∴……9分
又，∴，即所求實數的值為……10分
23.解：（1）不等式即或或……2分
解得，或，或……4分∴原不等式的解集為……5分
（2）證明：……6分
（當且僅當時取等號）……8分
（當且僅當時取等號）……9分
（當且僅當時取等號）
∴（當且僅當，時等號成立）……10分
法二：……6分
知在單調遞減，在上單調遞增……8分
∴……9分
∴（當且僅當，時等號成立）……10分題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
A
C
B
D
0
1
2
3
4
5

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