2023屆四川大學附屬中學（四川省成都市第十二中學）高三下學期二診熱身考試數(shù)學（文）試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的除法和向量模的求法，變形的，即可求解.【詳解】，故選：B2．設(shè)集合或，，則集合（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡集合，再結(jié)合交集的運算求解即可.【詳解】由題知，，又或，則，即.故選：B3．拋物線的準線方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化為標準型，利用拋物線的準線方程可得答案.【詳解】因為，所以，所以準線方程為.故選：A.4．根據(jù)第七次全國人口普查結(jié)果，居住在城鎮(zhèn)的人口為90199萬人，占全國人口的，與第六次全國人口普查相比，城鎮(zhèn)人口比重上升14.2個百分點．隨著我國新型工業(yè)化、信息化和農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的深入發(fā)展和農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化政策落實落地，10年來我國新型城鎮(zhèn)化進程穩(wěn)步推進，城鎮(zhèn)化建設(shè)取得了歷史性成就．如圖所示的是歷次全國人口普查城鄉(xiāng)居住人口及城鎮(zhèn)居住人口比重的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，下列說法錯誤的是（    ）A．這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口先增加后減少B．城鎮(zhèn)居住人口的比重的中位數(shù)為C．鄉(xiāng)村居住人口的極差不超過25000萬D．這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口的平均數(shù)超過城鎮(zhèn)居住人口的平均數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖及相關(guān)知識即可判斷．【詳解】對，由圖可知這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口先增加后減少，A正確；對B，由圖可知城鎮(zhèn)居住人口的比重的中位數(shù)為，B正確；對C，由圖可知鄉(xiāng)村居住人口的極差超過25000萬，C錯誤；對D，由圖可知，村居住人口的整體數(shù)據(jù)基本都大于城鎮(zhèn)居住人口的數(shù)據(jù)，故這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口的平均數(shù)超過城鎮(zhèn)居住人口的平均數(shù)，D正確．故選：C．5．下列命題中錯誤的是（    ）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“若，則”的否命題為“若，則”C．“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充分不必要條件D．若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可判斷A；根據(jù)否命題的定義即可判斷B；根據(jù)兩直線的斜率與平行的關(guān)系即可判斷C；根據(jù)復(fù)合命題的真假即可判斷D.【詳解】對于A，命題“，”的否定是“，”，故A正確；對于B，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；對于C，若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合，若兩直線平行，則兩直線斜率相等，或兩直線斜率都不存在，所以“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；對于D，若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題，故D正確.故選：C.6．已知，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖比較的大小，輸出三個數(shù)中的最小值.【詳解】根據(jù)程序框圖可知，執(zhí)行程序輸出的結(jié)果是三個數(shù)中的最小值.因為，，，所以，所以輸出的值為.故選：B.7．若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C8．如圖，在平面四邊形中，，，，，三角形的面積為，則（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由正弦定理，結(jié)合，，可得.由三角形的面積為，可得.由余弦定理可得，后可得答案.【詳解】在中，，由正弦定理有：，即，解得.由三角形的面積公式有：，則.在中，由余弦定理有：.則.故選：B9．如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因為，，所以，即.故選：A.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點為，與軸的交點為，最高點，且滿足．若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（    ）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得，，進而得，再根據(jù)結(jié)合向量垂直關(guān)系的表示解得，進而得，再根據(jù)平移變換得，最后求函數(shù)值即可.【詳解】解：由題知，函數(shù)的周期滿足，解得，所以，由圖象與軸的交點為得，因為，所以，即，所以，圖象與軸的交點為，因為，所以，解得（負舍），所以，所以若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為 ，所以.故選：D11．已知圓錐的側(cè)面展圖為一個半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展圖為一個半圓得出圓錐母線長與半徑的關(guān)系，再利用圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，然后分別求出圓錐的內(nèi)切球和圓錐外接球的半徑即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)圓錐的母線長為，半徑為，則因為圓錐的側(cè)面展圖為一個半圓，所以，解得.圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球半徑為，設(shè)圓錐的一個軸截面為，如圖所示則內(nèi)切圓的半徑為圓錐內(nèi)切球的半徑，在中，，為的中點，，所以為等邊三角形，則,即，解得，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為.又外接圓的直徑為，所以圓錐的外接球的半徑，所以圓錐外接球的表面積為所以.故選：C.12．已知函數(shù)有三個零點，且，則（    ）A．8 B．1 C．－8 D．－27【答案】D【分析】根據(jù)題意可得：有三解，令，由的圖像可得故最多只有兩個解，所以有兩解，，有一解為，有兩解為，代入即可得解.【詳解】由，即有三解，令，設(shè)，，當，為增函數(shù)，當，為減函數(shù)，圖像如圖所示：故最多只有兩個解，若要有三解，則有兩解，，，故有一解為，有兩解為，，故選：D 二、填空題13．若x，y滿足，則的最大值為______．【答案】【分析】由的幾何意義得出的最大值.【詳解】該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：可變形為，平移直線，當該直線過點時，取最大值，最大值為.故答案為：14．下表提供了某學生做題數(shù)量x（道）與做題時間y（分鐘）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x（道）3456y（分鐘）2.5t44.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得y關(guān)于x的線性回歸方程為則表中t的值為_____．【答案】3【分析】現(xiàn)求出樣本的中心點，再代入回歸直線的方程，即可求得的值.【詳解】由題意可得，因為對的回歸直線方程是，所以，解得.【點睛】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是利用回歸直線方程恒過樣本中心點，代入求解，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．如圖，若坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合代入法、雙曲線漸近線方程進行求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的標準方程為，設(shè)圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為，連接、，則，因為坐標軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，則，故點，將點的坐標代入雙曲線的方程可得，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：16．如圖，在扇形中，，，點為的中點，點為曲邊區(qū)域內(nèi)任一點（含邊界），若，則的最大值為________．【答案】【分析】建立直角坐標系，根據(jù)向量的坐標運算即可得，，進而根據(jù)線性規(guī)劃求截距最大或者根據(jù)三角換元法即可求解.【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示，設(shè)，則，；，；由是區(qū)間內(nèi)的任意點，且，，，，，；，，，設(shè)，即，用線性區(qū)域的方法，平移直到于圓弧相切，與軸相交于,此時直線截距最大，切點就是滿足條件的點；由于此時切線的斜率為此時,由此，故,因此此時，即的最大值為，故答案為：. 三、解答題17．已知數(shù)列的前n項和為，，且．，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算得，利用等比數(shù)列定義求通項公式，利用等差中項判斷數(shù)列為等差數(shù)列，建立方程求出公差，從而可得的通項；（2）利用錯位相減法計算即可.【詳解】（1）∵，∴，則，所以為等比數(shù)列，又，得，所以，由知是等差數(shù)列，且，，∴，得，．∴.（2）因為，，所以，所以則上面兩式作差得，∴18．2022年12月2日晚，神舟十四號、神舟十五號航天員乘組進行在軌交接儀式，兩個乘組移交了中國空間站的鑰匙，6名航天員分別在確認書上簽字，中國空間站正式開啟長期有人駐留模式．為調(diào)查大學生對中國航天事業(yè)的了解情況，某大學進行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經(jīng)計算，有97.5%的把握認為該校學生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒有99%的把握認為該校學生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)． 男生女生合計了解  不了解  合計    (1)求n的值．(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法在調(diào)查結(jié)果“了解中國航天事業(yè)”的學生中抽取5人，再從這5人中抽取3人進行第二次調(diào)查，以便了解學生獲得中國航天事業(yè)信息的渠道，則至少有2名男生被第二次調(diào)查的概率．附表：0.100.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828 【答案】(1)2(2) 【分析】（1）根據(jù)已知完成列聯(lián)表，結(jié)合公式進行求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣的比例比，結(jié)合概率加法公式進行求解即可.【詳解】（1）由已知，完成列聯(lián)表， 男生女生合計了解不了解合計 將數(shù)值代入公式可得的觀測值：，所以，解得，因為，所以．（2）由上可知了解中國航天事業(yè)的男生、女生人數(shù)分別為、，所以根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：5名學生中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，設(shè)事件：至少有2名男生被第二次調(diào)查，.19．如圖（1），已知邊長為2的菱形ABCD中，沿對角線BD將其翻折，使，設(shè)此時AC的中點為O，如圖（2）．(1)求證：點O是點D在平面上的射影；(2)求點A到平面BCD的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接DO，BO，利用勾股定理證明，再證明平面，即可得證；（2）利用等體積法求解即可.【詳解】（1）連接DO，因為，O為AC的中點，所以，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，又因為，所以，連接BO，則，又因為，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，所以點O是點D在平面上的射影；（2）設(shè)點A到平面BCD的距離為h，由菱形ABCD的邊長為2，且，則的面積為，則，的面積為，由（1）知，平面，，所以，由得，，所以，即點A到平面BCD的距離為．20．橢圓的光學性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.(1)求橢圓C的標準方程；(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用長軸長求出a，利用橢圓定義求出，進一步求出，即可得橢圓方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程求出M、N的坐標，把面積比轉(zhuǎn)化為坐標比，進一步轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求最值問題【詳解】（1）不妨設(shè)、是橢圓的左焦點、右焦點，則軸，又因為，，所以，即，所以，所以橢圓C的方程為.（2）設(shè)，，則：，：聯(lián)立，消去x得，解得，同理，聯(lián)立，消去x得，解得，所以.令，則當且僅當，即，即時，取得最大值.21．已知.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若對都有成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，極小值為(2) 【分析】（1）直接求導(dǎo)計算即可．（2）將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)在上單調(diào)遞增即可，然后參變分離或者分類討論都可以．【詳解】（1）令，因為得或，列表如下：x+00+極大值極小值 所以的單調(diào)增區(qū)間為和  單調(diào)減區(qū)間為極大值為  ，極小值為（2）對都有成立可轉(zhuǎn)化化為：         設(shè)，則在，故，在上恒成立方法一：（含參討論）設(shè)，則，，解得.，，.①當時，，故，當時，，遞增；當時，，遞減；此時，，在上單調(diào)遞增，故，符合條件.②當時，同①，當時，遞增；當時，遞減；∵，，∴由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理及單調(diào)性知，，.于是，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.∵，，∴，符合條件.綜上，實數(shù)的取值范圍是.方法二：（參變分離）由對稱性，不妨設(shè)，則即為.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，故在上恒成立.∵，∴在上恒成立，.設(shè)，，則，.設(shè)，，則，.由，，得在，上單調(diào)遞增；由，，得在，上單調(diào)遞減.故時；時.從而，，，又時，，故，，，單調(diào)遞減，，.于是，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題核心是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立．22．在直角坐標系中，曲線的方程為，曲線的方程為以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為(1)求曲線，的極坐標方程；(2)若，直線與曲線交于，兩點，與曲線的一個交點為點，且，求的值【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)曲線的直角坐標與極坐標轉(zhuǎn)化公式，即可求解；（2）將代入曲線的極坐標方程，得，將代入曲線的極坐標方程，得到韋達定理，并表示，即可求.【詳解】（1）由，得，所以曲線的極坐標方程為由，得，即，此即曲線的極坐標方程；（2）將代入（），得將代入，得，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別是，則，，所以，解得：23．設(shè)函數(shù)．(1)解不等式；(2)令的最小值為T，正數(shù)滿足，證明：．【答案】(1).(2)證明見解析. 【分析】（1）分類討論x的取值，脫掉絕對值符號，解不等式，可得答案；（2）分類討論x的取值，求出的最小值為T，將展開，利用基本不等式證明，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）當時，即，解得，故；當時， 即，則；當時，即，解得，故，綜上所述，原不等式的解集為.（2）若，則；若，則：若，則,所以函數(shù)的最小值，故,又為正數(shù)，則,當且僅當,時等號成立,所以. 

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