專題10 一元一次不等式（組）及其應(yīng)用  1．用不等號“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式。2．不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。3．不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。4．一元一次不等式：不等式的左、右兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。5．一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。6．不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號的方向不變。性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變。性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。7.一元一次不等式的解法的一般步驟： （1）去分母; （2）去括號; （3）移項(xiàng); （4）合并同類項(xiàng); （5）系數(shù)化為1. 8．不等式解集在數(shù)軸上的表示方法：含≥或≤，用空心圓圈，含＞或＜用實(shí)心圓點(diǎn)。9．一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。10．求不等式組解集的規(guī)律：不等式組的解集有四種情況:若a>b，（1）當(dāng)時(shí),則不等式的公共解集為x>a;（2）時(shí),不等式的公共解集為b<x<a;（3）時(shí),不等式的公共解集為x<b;      （4）當(dāng)時(shí),不等式組無解.   【例題1】（2019江蘇鎮(zhèn)江）解不等式：【答案】不等式的解集為．【解析】解一元一次不等式。 按照去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1來解即可．化簡得   原不等式的解集為．【例題2】（2019四川省雅安市）不等式組的解集為（   ） A．6≤x＜8     B．6＜x≤8     C．2≤x＜4     D．2＜x≤8【答案】B【解析】分別求出不等式組中的兩個(gè)不等式的解集 ，再找它們的公共部分，由第1個(gè)不等式得x>6，由第2 個(gè)不等式得x≤8，它們的公共部分是6＜x≤8  ，故選B．【例題3】（2019?山東省德州市）不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解的和是（　?。?/span>A．10 B．7 C．6 D．0【答案】A 【解析】不等式組的非負(fù)整數(shù)解。分別求出每一個(gè)不等式的解集，即可確定不等式組的解集，繼而可得知不等式組的非負(fù)整數(shù)解．，解不等式①得：x＞﹣2.5，解不等式②得：x≤4，∴不等式組的解集為：﹣2.5＜x≤4，∴不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解是：0，1，2，3，4，∴不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解的和是0+1+2+3+4＝10【例題4】（2019廣西北部灣）解不等式組，并利用數(shù)軸確定不等式組的解集.【答案】見解析。【解析】本題主要考查了解一元一次不等式組，分別解兩個(gè)不等式得到x＜3和x≥-2，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集．然后利用數(shù)軸表示其解集．【解題過程】解：解①得x＜3，
解②得x≥-2，
所以不等式組的解集為-2≤x＜3．
用數(shù)軸表示為：
 【例題5】（2019?江蘇無錫）某工廠為了要在規(guī)定期限內(nèi)完成2160個(gè)零件的任務(wù)，于是安排15名工人每人每天加工a個(gè)零件（a為整數(shù)），開工若干天后，其中3人外出培訓(xùn)，若剩下的工人每人每天多加工2個(gè)零件，則不能按期完成這次任務(wù)，由此可知a的值至少為（　　）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B 【解析】根據(jù)15名工人的前期工作量+12名工人的后期工作量＜2160列出不等式并解答．設(shè)原計(jì)劃n天完成，開工x天后3人外出培訓(xùn)，則15an＝2160，得到an＝144．所以15ax+12（a+2）（n﹣x）＜2160．整理，得4x+4an+8n﹣8x＜720．∵an＝144．∴將其代入化簡，得ax+8n﹣8x＜144，即ax+8n﹣8x＜an，整理，得8（n﹣x）＜a（n﹣x）．∵n＞x，∴n﹣x＞0，∴a＞8．∴a至少為9．  一、選擇題1.(2019甘肅省隴南市) 不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（　?。?/span>A．x≤3         B．x≤﹣3        C．x≥3     D．x≥﹣3【答案】A 【解析】先去括號，然后移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，再系數(shù)化為1即可．去括號，得2x+9≥3x+6，移項(xiàng)，合并得﹣x≥﹣3系數(shù)化為1，得x≤3。2.（2019?河北）語句“x的與x的和不超過5”可以表示為（　　）A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x＝5【答案】A 【解析】“x的與x的和不超過5”用不等式表示為x+x≤5．3．（2019?浙江寧波）不等式＞x的解為（　　）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1【答案】A 【解析】去分母、移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．＞x，3﹣x＞2x，3＞3x，x＜14.（2019廣西河池）不等式組的解集是　　A． B． C． D．【答案】．【解析】，解①得：，解②得：．則不等式組的解集是：．故選：．5.(2019黑龍江綏化)不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是(    )【答案】B【解析】解不等式組,用數(shù)軸表示不等式組的解集解①得,x≥1,解②得,x<2,∴原不等式組的解集為1≤x<2,故選B.6.（2019湖北仙桃）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　　）【答案】C【解析】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集。解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，則不等式組的解集為1＜x≤27.（2019吉林長春）不等式-x+2≥0的解集為（   ）A.x≥-2              B.x≤-2         C.x≥2              D.x≤2【答案】D【解析】解一元一次不等式．-x+2≥0，
移項(xiàng)得：-x≥-2，
系數(shù)化為1，得x≤2∴不等式的解集為：x≤2
8.（2019遼寧本溪） 不等式組的解集是A.x＞3            B.x≤4           C. x＜3         D.3＜x≤4【答案】 D.【解析】，
由①得：x＞3，
由②得：x≤4，
則不等式組的解集為3＜x≤49.（2019江蘇鎮(zhèn)江）下列各數(shù)軸上表示的的取值范圍可以是不等式組的解集的是　　A．      B． C．      D．【答案】B【解析】由得，A．由數(shù)軸知，則，，解得，與數(shù)軸不符；B．由數(shù)軸知，則，，解得，與數(shù)軸相符合；C．由數(shù)軸知，則，，解得，與數(shù)軸不符；D．由數(shù)軸知，則，，解得，與數(shù)軸不符。10．（2019?綿陽）紅星商店計(jì)劃用不超過4200元的資金，購進(jìn)甲、乙兩種單價(jià)分別為60元、100元的商品共50件，據(jù)市場行情，銷售甲、乙商品各一件分別可獲利10元、20元，兩種商品均售完．若所獲利潤大于750元，則該店進(jìn)貨方案有（　?。?/span>A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】C 【解析】設(shè)該店購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品（50﹣x）件，根據(jù)“購進(jìn)甲乙商品不超過4200元的資金、兩種商品均售完所獲利潤大于750元”列出關(guān)于x的不等式組，解之求得整數(shù)x的值即可得出答案．設(shè)該店購進(jìn)甲種商品x件，則購進(jìn)乙種商品（50﹣x）件，根據(jù)題意，得：，解得：20≤x＜25，∵x為整數(shù)，∴x＝20、21、22、23、24，∴該店進(jìn)貨方案有5種。11．（2019?常德）小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學(xué)》，同學(xué)們想知道書的價(jià)格，小明讓他們猜．甲說：“至少15元．”乙說：“至多12元．”丙說：“至多10元．”小明說：“你們?nèi)齻€(gè)人都說錯(cuò)了”．則這本書的價(jià)格x（元）所在的范圍為（　?。?/span>A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14【答案】B 【解析】根據(jù)題意得出不等式組解答即可．根據(jù)題意可得：，可得：12＜x＜15，∴12＜x＜1512.（2019?湖南懷化）為了落實(shí)精準(zhǔn)扶貧政策，某單位針對某山區(qū)貧困村的實(shí)際情況，特向該村提供優(yōu)質(zhì)種羊若干只．在準(zhǔn)備配發(fā)的過程中發(fā)現(xiàn)：公羊剛好每戶1只；若每戶發(fā)放母羊5只，則多出17只母羊，若每戶發(fā)放母羊7只，則有一戶可分得母羊但不足3只．這批種羊共（　?。┲唬?/span>A．55 B．72 C．83 D．89【答案】C 【解析】設(shè)該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只，根據(jù)“每戶發(fā)放母羊7只時(shí)有一戶可分得母羊但不足3只”列出關(guān)于x的不等式組，解之求得整數(shù)x的值，再進(jìn)一步計(jì)算可得．設(shè)該村共有x戶，則母羊共有（5x+17）只，由題意知，解得：＜x＜12，∵x為整數(shù)，∴x＝11，則這批種羊共有11+5×11+17＝83（只）二、填空題13.（2019黑龍江哈爾濱）不等式組的解集是           ．【答案】：x≥3．【解析】解不等式≤0，得x≥3，解不等式3x+2≥1，得x≥﹣，∴不等式組的解集為x≥3，故答案為：x≥3．14.（2019山東東營）不等式組的解集為____________．【答案】－7≤x＜1【解析】一元一次不等式組的解法。解不等式①，得x＜1；解不等式②，得x≥－7，∴不等式組的解集是－7≤x＜1．15.（2019?河南）不等式組的解集是　   　．【答案】x≤﹣2．【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，則不等式組的解集為x≤﹣216.(2019內(nèi)蒙古包頭市)已知不等式組的解集為x＞-1，則k的取值范圍是       .【答案】k≤-2.【解析】不等式組解不等式①得，x＞-1;解不等式②得，x＞k+1;∵原不等式組的解集為x＞-1，∴k+1≤-1解得，k≤-2.17.(2019黑龍江大慶)已知x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】a≤－1【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,所以4a－3a－1<0,a<1,因?yàn)閤＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,所以2a－3a－1≥0,所以a≤－1,所以a≤－1.18.（2019?銅仁）如果不等式組的解集是x＜a﹣4，則a的取值范圍是　   　．【答案】a≥﹣3．【解析】解這個(gè)不等式組為x＜a﹣4，則3a+2≥a﹣4，解這個(gè)不等式得a≥﹣3故答案a≥﹣3．19.（2019湖南邵陽）不等式組的解集是　　．【答案】【解析】解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，故答案為：．20．（2019?大渡口區(qū)）商店購進(jìn)一批文具盒，進(jìn)價(jià)每個(gè)4元，零售價(jià)每個(gè)6元，為促銷決定打折銷售，但利潤率仍然不低于20%，那么該文具盒實(shí)際價(jià)格最多可打　 　折銷售．【答案】8【解析】由題意可知：利潤率為20%時(shí)，獲得的利潤為4×20%＝0.8元；若打x折該商品獲得的利潤＝該商品的標(biāo)價(jià)×﹣進(jìn)價(jià)，列出不等式，解得x的值即可．設(shè)可以打x折出售此商品，由題意得：，解得：x≥8，答：該文具盒實(shí)際價(jià)格最多可打8折。三、解答題21.（2019廣西省貴港市）解不等式組：，并在數(shù)軸上表示該不等式組的解集．【答案】見解析。【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：22.（2019北京市）解不等式組：【答案】.【解析】先求出每個(gè)不等式的解集，再取兩個(gè)不等式解集的公共部分，就是不等式組的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無處找”原則即可.  由①得                    由②得                ①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式組解集為. 23.（2019?江蘇揚(yáng)州）解不等式組，并寫出它的所有負(fù)整數(shù)解．【答案】﹣3≤x＜2，所有負(fù)整數(shù)解為﹣3、﹣2、﹣1．【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解不等式4（x+1）≤7x+13，得：x≥﹣3，解不等式x﹣4＜，得：x＜2，則不等式組的解集為﹣3≤x＜2，所以不等式組的所有負(fù)整數(shù)解為﹣3、﹣2、﹣1．24.（2019貴州省安順市）先化簡（1+）÷，再從不等式組的整數(shù)解中選一個(gè)合適的x的值代入求值．【答案】見解析。【解析】首先進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，進(jìn)而利用分式的混合運(yùn)算法則進(jìn)而化簡，再解不等式組，得出x的值，把已知數(shù)據(jù)代入即可．原式＝×＝解不等式組 得﹣2＜x＜4，∴其整數(shù)解為﹣1，0，1，2，3，∵要使原分式有意義，∴x可取0，2．∴當(dāng)x＝0 時(shí)，原式＝﹣3，（或當(dāng)x＝2 時(shí)，原式＝﹣）．25．（2019?新疆）解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】見解析。【解析】先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，即可得出答案．解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞1，∴不等式組的解集為1＜x＜2，在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：．26.（2019?黑龍江哈爾濱）寒梅中學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活，計(jì)劃購買圍棋和中國象棋供棋類興趣小組活動使用．若購買3副圍棋和5副中國象棋需用98元；若購買8副圍棋和3副中國象棋需用158元；（1）求每副圍棋和每副中國象棋各多少元；（2）寒梅中學(xué)決定購買圍棋和中國象棋共40副，總費(fèi)用不超過550元，那么寒梅中學(xué)最多可以購買多少副圍棋？【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)每副圍棋x元，每副中國象棋y元，根據(jù)題意得：，∴，∴每副圍棋16元，每副中國象棋10元；（2）設(shè)購買圍棋z副，則購買象棋（40﹣z）副，根據(jù)題意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，∴最多可以購買25副圍棋。27.（2019四川巴中）在“扶貧攻堅(jiān)”活動中，某單位計(jì)劃選購甲、乙兩種物品慰問貧困戶．已知甲物品的單價(jià)比乙物品的單價(jià)高10元，若用500元單獨(dú)購買甲物品與450元單獨(dú)購買乙物品的數(shù)量相同．①請問甲、乙兩種物品的單價(jià)各為多少？②如果該單位計(jì)劃購買甲、乙兩種物品共55件，總費(fèi)用不少于5000元且不超過5050元，通過計(jì)算得出共有幾種選購方案？【答案】見解析。【解析】①設(shè)乙種物品單價(jià)為x元，則甲種物品單價(jià)為（x+10）元，由題意得：＝解得x＝90經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90符合題意∴甲種物品的單價(jià)為100元，乙種物品的單價(jià)為90元．②設(shè)購買甲種物品y件，則乙種物品購進(jìn)（55﹣y）件由題意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050解得5≤y≤10 ,∴共有6種選購方案．28.（2019?湖北黃石）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2x﹣9），其中x滿足不等式組，求點(diǎn)P所在的象限．【答案】點(diǎn)P在的第四象限．【解析】先求出不等式組的解集，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)P所在的象限．，解①得：x≥4，解②得：x≤4，則不等式組的解是：x＝4，∵＝1，2x﹣9＝﹣1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣1），∴點(diǎn)P在的第四象限．29.（2019?山東省濱州市 ）有甲、乙兩種客車，2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為180人，1輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為105人．（1）請問1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人？（2）某學(xué)校組織240名師生集體外出活動，擬租用甲、乙兩種客車共6輛，一次將全部師生送到指定地點(diǎn)．若每輛甲種客車的租金為400元，每輛乙種客車的租金為280元，請給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，并求出最低費(fèi)用．【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為x人，y人，，解得：，答：1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為45人和30人；（2）設(shè)租用甲種客車x輛，依題意有：，解得：6＞x≥4，因?yàn)?/span>x取整數(shù)，所以x＝4或5，當(dāng)x＝4時(shí)，租車費(fèi)用最低，為4×400+2×280＝2160．30．（2019?遵義）某校計(jì)劃組織240名師生到紅色教育基地開展革命傳統(tǒng)教育活動．旅游公司有A，B兩種客車可供租用，A型客車每輛載客量45人，B型客車每輛載客量30人．若租用4輛A型客車和3輛B型客車共需費(fèi)用10700元；若租用3輛A型客車和4輛B型客車共需費(fèi)用10300元．（1）求租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是多少元；（2）為使240名師生有車坐，且租車總費(fèi)用不超過1萬元，你有哪幾種租車方案？哪種方案最省錢？【答案】見解析。【解析】（1）設(shè)租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是x元、y元，，解得，，答：租用A，B兩型客車，每輛費(fèi)用分別是1700元、1300元；（2）設(shè)租用A型客車a輛，租用B型客車b輛，，解得，，，，∴共有三種租車方案，方案一：租用A型客車2輛，B型客車5輛，費(fèi)用為9900元，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛，費(fèi)用為9400元，方案三：租用A型客車5輛，B型客車1輛，費(fèi)用為9800元，由上可得，方案二：租用A型客車4輛，B型客車2輛最省錢．

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