中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提高練習(xí)專題09 一元二次方程及其應(yīng)用（教師版）

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?專題09 一元二次方程及其應(yīng)用
專題知識(shí)回顧



1．定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。
3. 一元二次方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
4.一元二次方程的解法
有直接開(kāi)方法、配方法、公式法、因式分解法。
（1）直接開(kāi)方法。
適用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步驟是：
①化簡(jiǎn)——把方程化為一般形式，并把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
②移項(xiàng)——把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)到等號(hào)的右邊；
③配方——兩邊同時(shí)加上b2，把左邊配成x2+2bx+b2的形式，并寫(xiě)成完全平方的形式；
④開(kāi)方，即降次；
⑤解一次方程。
（3）公式法。
當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根可寫(xiě)為：的形式，這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
，
②b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

③b2-4ac＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
定義：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。
6.解有關(guān)一元二次方程的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
第1步：審題。認(rèn)真讀題，分析題中各個(gè)量之間的關(guān)系。
第2步：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)題意及各個(gè)量的關(guān)系設(shè)未知數(shù)。
第3步：列方程。根據(jù)題中各個(gè)量的關(guān)系列出方程。
第4步：解方程。根據(jù)方程的類型采用相應(yīng)的解法。
第5步：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
專題典型題考法及解析



【例題1】 (2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4．
【答案】x1＝3，x2＝﹣1．
【解析】此題主要考查了直接開(kāi)平方法，解這類問(wèn)題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開(kāi)方直接求解．（1）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開(kāi)平方取正負(fù)，分開(kāi)求得方程解”．
（2）用直接開(kāi)方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
利用直接開(kāi)平方法，方程兩邊直接開(kāi)平方即可．
兩邊直接開(kāi)平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．

【例題2】(2019山西）一元二次方程配方后可化為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故選D。
【例題3】（2019年山東省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是　 ?。?br /> 【答案】x1＝，x2＝．
【解析】直接利用公式法解方程得出答案．
3x2＝4﹣2x
3x2+2x﹣4＝0，
則b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，
故x＝，
解得：x1＝，x2＝．
【例題4】（2019年江蘇省揚(yáng)州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　 　．
【答案】1或2．
【解析】移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1
【例題5】（2019北京市） 關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，且m為正整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．
【答案】m=1，此方程的根為
【解析】先由原一元二次方程有實(shí)數(shù)根得判別式進(jìn)而求出m的范圍；結(jié)合m的值為正整數(shù)，求出m的值，進(jìn)而得到一元二次方程求解即可.
∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，
∴
∴
又∵m為正整數(shù)，∴m=1，
此時(shí)方程為解得根為，
∴m=1，此方程的根為
【例題6】（2019四川瀘州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根，則（x1+4）（x2+4）的值是　 　．
【答案】16
【解析】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的兩實(shí)根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，
∴（x1+4）（x2+4）
＝x1x2+4x1+4x2+16
＝x1x2+4（x1+x2）+16
＝﹣4+4×1+16
＝﹣4+4+16
＝16
【例題7】 (2019安徽)據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2018年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為90.3萬(wàn)億，比2017年增長(zhǎng)6.6%．假設(shè)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率保持不變，則國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬(wàn)億的年份是（　?。?br /> A．2019年 B．2020年 C．2021年 D．2022年
【答案】B．
【解析】根據(jù)題意分別求出2019年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、2020年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，得到答案．2019年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（萬(wàn)億），
2020年全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（萬(wàn)億），
∴國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬(wàn)億的年份是2020年。
專題典型訓(xùn)練題


一、選擇題
1.( 2019甘肅省蘭州市) x＝1是關(guān)于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則2a+4b＝（ ）
A. －2 B. －3 C. 4 D. －6
【答案】A．
【解析】將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，
2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
2.（2019?湖南懷化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　?。?br /> A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】C．
【解析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
利用完全平方公式變形，從而得出方程的解．
∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
則x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
3.（2019?浙江金華）用配方法解方程x2-6x-8=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（??? ）
A.?(x-3)2=17?? ??B.?(x-3)2=14???? ?C.?（x-6)2=44?? ??D.?(x-3）2=1
【答案】 A
【解析】配方法解一元二次方程
∵x2-6x-8=0，
∴x2-6x+9=8+9，
∴（x-3）2=17.
4. （2019湖北咸寧）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【答案】
【解析】∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
5.(2019內(nèi)蒙古包頭市)已知等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，4，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0
的兩根，則m的值是（ ）
A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36
【答案】A.
【解析】分兩種情況討論：
① 若4為等腰三角形底邊長(zhǎng)，則a，b是兩腰，
∴方程x2-12x+m+2=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,
∴m=34.
此時(shí)方程為x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.
∴三邊為6，6，4，滿足三邊關(guān)系，符合題意.
② 若4為等腰三角形腰長(zhǎng)，則a，b中有一條邊也為4，
∴方程x2-12x+m+2=0有一根為4.
∴42-12×4+m+2=0，
解得，m=30.
此時(shí)方程為x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.
∴三邊為4，4，8，不滿足三邊關(guān)系，故舍去.
綜上，m的值為34.
6.（2019?山東省聊城市）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（　?。?br /> A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【答案】D．
【解析】考點(diǎn)是一元二次方程的定義以及根的判別式。根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．
（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
7. （2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，則α2+β2的值為（　?。?br /> A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12
8. （2019?江蘇泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的兩根為x1 、x2 則x1+x2等于（　?。?br /> A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
【答案】C．
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
由于△＞0，
∴x1+x2＝﹣3，
9.（2019山東淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，則以x1，x2為根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
【答案】A．
【解析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用完全平方公式計(jì)算出x1x2＝2，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出以x1，x2為根的一元二次方程．
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
而x1+x2＝3，
∴9﹣2x1x2＝5，
∴x1x2＝2，
∴以x1，x2為根的一元二次方程為x2﹣3x+2＝0．
10. （2019?廣東）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．x1≠x2?? B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2? ? D．x1·x2=2
【答案】D
【解析】因式分解x（x-2）=0，解得兩個(gè)根分別為0和2，代入選項(xiàng)排除法.
11.（2019?廣西貴港）若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根，且+＝﹣，
則m等于（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【答案】B．
【解析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝m，再化簡(jiǎn)+＝，代入可求解；
α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩實(shí)根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3
12．（2019?浙江寧波）能說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例為（　?。?br /> A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝4 D．m＝5
【答案】D．
【解析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，從而可把m＝5作為說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例．
當(dāng)m＝5時(shí)，方程變形為x2﹣4x+m＝5＝0，
因?yàn)椤鳎剑ī?）2﹣4×5＜0，
所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
所以m＝5可作為說(shuō)明命題“關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有實(shí)數(shù)根”是假命題的反例．
13.（2019?黑龍江哈爾濱）某商品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，售價(jià)由原來(lái)的每件25元降到每件16元，則平均每次降價(jià)的百分率為（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
【答案】A．
【解析】本題考查了一元二次方程實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)于增長(zhǎng)率的類型問(wèn)題，按照公式
a（1﹣x）2＝b對(duì)照參數(shù)位置代入值即可，公式的記憶與運(yùn)用是本題的解題關(guān)鍵．
設(shè)降價(jià)的百分率為x
根據(jù)題意可列方程為25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降價(jià)得百分率為20%
14. （2019?湖南衡陽(yáng)）國(guó)家實(shí)施”精準(zhǔn)扶貧“政策以來(lái)，很多貧困人口走向了致富的道路．某地區(qū)2016年底有貧困人口9萬(wàn)人，通過(guò)社會(huì)各界的努力，2018年底貧困人口減少至1萬(wàn)人．設(shè)2016年底至2018年底該地區(qū)貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意列方程得（　?。?br /> A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【答案】B．
【解析】等量關(guān)系為：2016年貧困人口×（1﹣下降率）2＝2018年貧困人口，把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算即可．
設(shè)這兩年全省貧困人口的年平均下降率為x，根據(jù)題意得：
二、填空題
15. （2019湖北十堰）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝　　 　．
【答案】﹣3或4　
【解析】根據(jù)題意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
16. （2019吉林長(zhǎng)春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判別式的值為 .
【答案】5．
【解析】∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5
17.（2019吉林?。┤絷P(guān)于x的一元二次方程（x+3)2=c有實(shí)數(shù)根，則c的值可以為 （寫(xiě)出一個(gè)即可）
【答案】答案不唯一，例如5，（c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根）
【解析】c≥0時(shí)方程都有實(shí)數(shù)根
18.（2019年湖北省荊門(mén)市）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，則k的值為　 ?。?br /> 【答案】1
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，可得出關(guān)于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進(jìn)而即可確定k值，此題得解．
∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
19. （2019廣西桂林）一元二次方程的根是　　　?。?br /> 【答案】，
【解析】解一元二次方程因式分解法
或，所以，．
故答案為，．
20.（2019年四川省遂寧市）若關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為　 ?。?br /> 【答案】k＜1．
【解析】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
利用根的判別式進(jìn)行計(jì)算，令△＞0即可得到關(guān)于k的不等式，解答即可．
∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＞0，
即4﹣4k＞0，
k＜1．
21.（2019年江西?。┰O(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，則x1+x2+x1x2＝　?。?br /> 【答案】0
【解析】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．
∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，
∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．
22.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，則x12+x22＝　 　．
【答案】6
【解析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系變形后求解．
∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根，
∴x1+x2＝2，x1×x2＝﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣1）＝6．
23.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13，則k的值為　 ?。?br /> 【答案】-2
【解析】根據(jù)“x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12+x22﹣x1x2＝13”，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可．
根據(jù)題意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
+﹣x1x2
＝﹣3x1x2
＝4﹣3（k﹣1）＝13
24.（2019年甘肅省天水市）中國(guó)“一帶一路”給沿線國(guó)家和地區(qū)帶來(lái)很大的經(jīng)濟(jì)效益，沿線某地區(qū)居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達(dá)到39200元．則該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為　 ?。ㄓ冒俜?jǐn)?shù)表示）
【答案】40%．
【解析】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率，本題得以解決．
設(shè)該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為x，
20000（1+x）2＝39200，
解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），
∴該地區(qū)居民年人均收入平均增長(zhǎng)率為40%
25.（2019年四川省宜賓市）某產(chǎn)品每件的生產(chǎn)成本為50元，原定銷售價(jià)65元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，從現(xiàn)在開(kāi)始的第一季度銷售價(jià)格將下降10%，第二季度又將回升5%．若要使半年以后的銷售利潤(rùn)不變，設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)題意可列方程是　 ?。?br /> 【答案】65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
【解析】設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，根據(jù)利潤(rùn)＝售價(jià)﹣成本價(jià)結(jié)合半年以后的銷售利潤(rùn)為（65﹣50）元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
設(shè)每個(gè)季度平均降低成本的百分率為x，
依題意，得：65×（1﹣10%）×（1+5%）﹣50（1﹣x）2＝65﹣50．
26.（2019年江蘇省連云港市）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則+c的值等于　 ?。?br /> 【答案】2
【解析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
根據(jù)題意得：
△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式兩邊同時(shí)除以4a得：c﹣2＝﹣，
則+c＝2
27.（2019年浙江省嘉興市）在x2+　　+4＝0的括號(hào)中添加一個(gè)關(guān)于x的一次項(xiàng)，使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
【答案】±4x
【解析】此題主要考查一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）可以判斷方程的根的情況：一元二次方程的根與根的判別式 有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0 時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，但有2個(gè)共軛復(fù)根．上述結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．
要使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即△＝0，則利用根的判別式即可求得一次項(xiàng)的系數(shù)即可．
要使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0
得b＝±4
故一次項(xiàng)為±4x
28.（2019年山東省棗莊市）已知關(guān)于x的方程ax2+2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是　 ?。?br /> 【答案】a＞且a≠0
【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則運(yùn)用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式是b2﹣4ac＞0即可進(jìn)行解答
【解答】解：由關(guān)于x的方程ax2+2x﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
則a＞且a≠0
三、解答題
29.（2019年浙江省紹興市）x為何值時(shí)，兩個(gè)代數(shù)式x2+1，4x+1的值相等？
【答案】x1＝0，x2＝4．
【解析】考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
利用題意得到x2+1＝4x+1，利用因式分解法解方程即可．
x2+1＝4x+1，
x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x1＝0，x2＝4．
30. (2019黑龍江綏化)已知關(guān)于x的方程kx2－3x+1＝0有實(shí)數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,分別為x1和x2,當(dāng)x1+x2+x1x2＝4時(shí),求k的值.
【答案】見(jiàn)解析。
【解析】根據(jù)根的判別式列出不等式,即可求得k的范圍;由根與系數(shù)的關(guān)系,得到方程,即可解得k的值.
(1)當(dāng)k＝0時(shí),方程是一元一次方程,有實(shí)數(shù)根,符合題意;當(dāng)k≠0時(shí),方程是一元二次方程,由題意得＝9－4k≥0,∴k≤,綜上所述,k的取值范圍是k≤.
(2)∵x1和x2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,∴x1+x2＝,x1x2＝,∵x1+x2+x1x2＝4,∴+＝4,解得k＝1,經(jīng)檢驗(yàn),k＝1是原分式方程的解,且1≤,∴k的值為1.
31. （ 2019湖北十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求a的取值范圍；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a為整數(shù)，求a的值．
【答案】（1）a＜2 （2）a的值為﹣1，0，1．
【解析】根據(jù)根的判別式，可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍；
由根與系數(shù)的關(guān)系，用a表示出兩根積、兩根和，由已知條件可得到關(guān)于a的不等式，則可求得a的取值范圍，再求其值即可．
（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a，∵a為整數(shù)，
∴a的值為﹣1，0，1．
32. （2019湖北孝感）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）若a為正整數(shù)，求a的值；
（2）若x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【答案】（1）a＝1，2 （2）a＝﹣1．
【解析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到
△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到結(jié)論；
根據(jù)x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到結(jié)論．
（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a為正整數(shù)，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
33.（2019江蘇徐州）如圖所示，有一塊矩形硬紙板，長(zhǎng)30cm,寬20cm.在其四角各剪去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子。當(dāng)剪去正方形的邊長(zhǎng)取何值時(shí)，所得長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為200cm2？

【答案】5
【解析】根據(jù)題目給定的相等關(guān)系，列出一元二次方程，解這個(gè)方程取舍后得出實(shí)際問(wèn)題的解.
設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
則根據(jù)題意有：(30-2x)(20-2x)=200，解得x1=5，x2=20，
當(dāng)x=20時(shí)，20-2x