第15講 一元一次方程的實際應(yīng)用（一）【學習目標】1.熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】要點一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟審、設(shè)、列、解、檢驗、答． 要點二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型1．和、差、倍、分問題  （1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量．（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．2．行程問題  （1）三個基本量間的關(guān)系： 路程=速度×時間
　（2）基本類型有：
　 ①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間                            Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間Ⅱ．尋找相等關(guān)系：第一，   同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；第二，   同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）借助畫行程圖來分析．3．工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設(shè)為1．基本關(guān)系式：（1）總工作量=工作效率×工作時間；（2）總工作量=各單位工作量之和．4．調(diào)配問題   尋找相等關(guān)系的方法：抓住調(diào)配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關(guān)系去考慮．【典型例題】類型一、和差倍分問題1．旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？
      舉一反三：【變式】某班舉辦了一次集郵展覽，展出的郵票若平均每人3張則多24張，若平均每人4張則少26張，這個班有多少學生?一共展出了多少張郵票?     類型二、行程問題1.車過橋問題2. 某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．   期望數(shù)學島   【點評】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)：      (1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長．(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長－車長．由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度． 舉一反三：【變式】某要塞有步兵692人，每4人一橫排，各排相距1米向前行走，每分鐘走86米，通過長86米的橋，從第一排上橋到排尾離橋需要幾分鐘？        2.相遇問題（相向問題） 3．小李騎自行車從A地到B地，小明騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進.已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12點，兩人又相距36千米.求A、B兩地間的路程.        舉一反三：【變式】甲、乙兩輛汽車分別從A、B兩站同時開出，相向而行，途中相遇后繼續(xù)沿原路線行駛，在分別到達對方車站后立即返回，兩車第二次相遇時距A站34km，已知甲車的速度是70km/h，乙車的速度是52km/h，求A、B兩站間的距離.          3.追及問題（同向問題）4．一輛卡車從甲地勻速開往乙地，出發(fā)2小時后，一輛轎車從甲地去追這輛卡車，轎車的速度比卡車的速度每小時快30千米，但轎車行駛一小時后突遇故障，修理15分鐘后，又上路追這輛卡車，但速度減小了，結(jié)果又用兩小時才追上這輛卡車，求卡車的速度．            4.航行問題（順逆風問題）5．(武昌區(qū)聯(lián)考)盛夏，某校組織長江夜游，在流速為2.5千米/時的航段，從A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小時．已知A、C兩地相距10千米，船在靜水中的速度為7.5千米/時，求A、B兩地間的距離．【思路點撥】由于C的位置不確定，要分類討論：（1）C地在A、B之間；（2）C地在A地上游．           【點評】這是航行問題，本題需分類討論，采用“線示”分析法畫出示意圖(如下圖所示)，然后利用“共乘”4小時構(gòu)建方程求解．   5.環(huán)形問題6．環(huán)城自行車賽，最快的人在開始48分鐘后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度    的倍，環(huán)城一周是20千米，求兩個人的速度。
      
舉一反三：【變式】兩人沿著邊長為90m的正方形行走，按A→B→C→D→A…方向，甲從A以63m/min的速度，乙從B以72m/min的速度行走，如圖所示，當乙第一次追上甲時，在正方形的哪一條邊上?  類型三、工程問題7．一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管，單獨開甲管6小時可注滿水池；單獨開乙管8小時可注滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池?        舉一反三：【變式】收割一塊水稻田，若每小時收割4畝，預(yù)計若干小時完成，收割后，改用新式農(nóng)機，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提早1小時完成，求這塊水稻田的面積．     類型四、配套問題（比例問題、勞動力調(diào)配問題）8．某工程隊每天安排120個工人修建水庫，平均每天每個工人能挖土5 m3或運土3 m3，為了使挖出的土及時被運走，問：應(yīng)如何安排挖土和運土的工人?        舉一反三：【變式】某商店選用A、B兩種價格分別是每千克28元和每千克20元的糖果混合成雜拌糖果后出售，為使這種雜拌糖果的售價是每千克25元，要配制這種雜拌糖果100千克，問要用這兩種糖果各多少千克？        【鞏固練習】一、選擇題1．甲乙兩地相距180千米，已知輪船在靜水中的航速是a千米/小時，水流速度是10千米/小時，若輪船從甲地順流航行3小時到達乙地后立刻逆流返航，則逆流行駛1小時后離乙地的距離是（   ）.A．40千米       B．50千米      C．60千米       D．140千米2.一列長150米的火車，以每秒15米的速度通過600米的隧道，從火車進入隧道口算起，這列火車完全通過隧道所需時間是  （        ）A．60秒         B．30秒          C．40秒         D．50秒3. 有m輛客車及n個人，若每輛客車乘40人，則還有10人不能上車，若每輛客車乘43人，則只有1人不能上車，有下列四個等式：①40m＋10＝43m－1； ②； ③； ④40m＋10＝43m＋1，其中正確的是（    ）A．①②     B．②④      C．②③   D．③④4．甲組人數(shù)是乙組人數(shù)的2倍，從甲組抽調(diào)8人到乙組，這時甲組剩下的人數(shù)恰比乙組人數(shù)的一半多2個，設(shè)乙組原有x人，則可列方程(    )．  A．         B．   C.       D．5．某種出租車的收費標準是：起步價7元(即行駛距離不超過3km都需付7元車費)，超過3km以后，每增加1km，加收2.4元(不足1km按1km計).某人乘這種出租車從甲地到乙地共支付車費19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程的最大值是(        )A．11　        B．8　         C．7　          D．5二、填空題6．(江蘇淮安)小明根據(jù)方程5x+2＝6x-8編寫了一道應(yīng)用題．請你把空缺的部分補充完整：某手工小組計劃教師節(jié)前做一批手工品贈給老師，如果每人做5個，那么就比計劃少2個；______________．請問手工小組有幾人?(設(shè)手工小組有x人)．7．9人14天完成了一件工作的，而剩下的工作要在4天內(nèi)完成，則需增加的人數(shù)是__________．8. 輪船在靜水中速度為每小時20km,水流速度為每小時4km,從甲碼頭順流航行到乙碼頭,再返回甲碼頭,共用5小時(不計停留時間),求甲、乙兩碼頭的距離.若設(shè)兩碼頭間的距離為x km,可列方程           ．         9．王會計在結(jié)賬時發(fā)現(xiàn)現(xiàn)金少了153.9元，查賬時得知是一筆支出款的小數(shù)點看錯了一位．王會計查出這筆看錯了的支出款實際是________元．10．某市開展“保護母親河”植樹造林活動，該市金橋村有1000畝荒山綠化率達80%，300畝良田視為已綠化，河坡地植樹面積已達20%，目前金橋村所有土地的綠化率為60%，則河坡地有________畝．11.（重慶市潼南）某地居民生活用電基本價格為0.50元/度.規(guī)定每月基本用電量為a度,超過部分電量的毎度電價比基本用電量的毎度電價增加20%收費,某用戶在5月份用電100度,共交電費56元,則a =   度.三、解答題12. 某工人按原計劃每天生產(chǎn)20個零件，到預(yù)定期限還有100個零件不能完成，若把工效提高25%，到期將超額完成50個，問此工人原計劃生產(chǎn)零件多少個?預(yù)定期限是多少天?      13. 在廣州亞運會中，志愿者們手上、脖子上的絲巾非常美麗．車間70名工人承接了制作絲巾的任務(wù)，已知每人每天平均生產(chǎn)手上的絲巾1 800條或者脖子的絲巾1 200條，一條脖子上的絲巾要配兩條手上的絲巾．為了使每天生產(chǎn)的絲巾剛好配套，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)脖子上的絲巾，多少名工人生產(chǎn)手上的絲巾？      14. 已知甲乙兩人在一個200米的環(huán)形跑道上練習跑步，現(xiàn)在把跑道分成相等的4段，即兩條直道和兩條彎道的長度相同.甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲乙兩人分別從A、C兩處同時相向出發(fā)（如圖），則：（1）幾秒后兩人首次相遇？請說出此時他們在跑道上的具體位置.（2）首次相遇后，又經(jīng)過多少時間他們再次相遇？（3）他們第100次相遇時，在哪一段跑道上？         

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