第19講  勾股定理考點·方法·破譯1．會用勾股定理解決簡單問題.2．會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3．勾股定理提示了直角三角形三邊的關(guān)系，對于線段的計算，常可由勾股定理列方程進(jìn)行求解；對于涉及平方關(guān)系的等式證明，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證.經(jīng)典·考題·賞析【例1】 (達(dá)州)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是(    )A．13             B．26                C．47                 D．94【解法指導(dǎo)】 觀察勾股樹，發(fā)現(xiàn)正方形A、B的邊長恰好是一直角三角形相鄰的兩直角邊.此時直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即兩個較小正方形面積之和等于較大正方形的面積，從而正方形E的面積等于正方形A、B、C、D四個面積之和，故選C．【變式題組】01．(安徽)如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形的邊長是___________. 02．(浙江省溫州)在直線l上的依次擺放著七個正方形(如圖所示)，己知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝______.03．(浙江省麗江)如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是(   )A．  B．  C．   D．7  【例2】(青島)如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要_____cm；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要______cm.【解法指導(dǎo)】細(xì)線纏繞時繞過幾個面，則將這幾個面展開后在同一平面內(nèi)利用線段的公理：兩點之間線段最短.畫出線路，然后利用勾股定理解決，應(yīng)填10，.【變式題組】01．(恩施)如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是(    )A．  B．25   C．   D．35       02．(荊州)如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位:cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長為hcm，則h的最小值大約為_____cm.(精確到個位，參考數(shù)據(jù):＝1．4，＝1．7:＝2．2)03．(荊州)若一邊長為40cm的等邊三角形硬紙板剛好能不受損地從用鐵絲圍成的圓形鐵圈中穿過，則鐵圈直徑最小值為_____cm.(鐵絲粗細(xì)忽略不計)【例3】(荊州)如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為NM，則線段CN的長是(    )A．3cm    B．4cm    C．5cm    D．6cm【解法指導(dǎo)】對折問題即對稱問題，設(shè)CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故選C【變式題組】01．在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四邊形ABCD．      02．如圖，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D為BC邊的中點.求S△ABC．    03．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC．   【例4 】（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，直線OB是一次函數(shù)y＝－2x的圖象，點A的坐標(biāo)為(0，2)，在直線OB上找點C，使得△ACO為等腰三角形，求點C坐標(biāo).【解法指導(dǎo)】求C點坐標(biāo)需分類討論.(1)若以O為頂點，OA為腰，則C在以O為圓心，OA的長為半徑的圓與y＝－2x的交點處.(2)若以A為頂點，AO為腰，則C在以A為圓心， AO的長為半徑的圓與y＝－2x的交點處.(3)若以C為頂點，則C在OA的中垂線與y＝－2x的交點處.  【解】⑴若以O為頂點，OA為腰，如圖設(shè)C(t，－2t)，則在Rt△COD中，OC2＝OD2＋CD2   4＝t2＋(－2t)2  5t2＝4  t＝∴C1(，），C2(，）⑵若以A為頂點，AO為腰，如圖，設(shè)C(t，－2t)，在Rt△ACE中AC2＝CE2＋AE2  22＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝ ∴ C3(，)   ⑶若C為頂點，C在OA的中垂線上.∴C4(，1)【變式題組】01．若A（3，2），B為x軸上一點，O為坐標(biāo)原點.若△AOB是等腰三角形.求B點坐標(biāo).     02．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B為y＝2x上一點，若△AOB為等腰三角形.求B點坐標(biāo).    03．如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)，B為y＝2x上一點，若△AOB為直角三角形.求B點坐標(biāo).    【例5】(福建省漳州)幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P，使PA＋PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B交l于點P，則PA＋PB＝A'B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：⑴如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點.連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P，則PB＋PE的最小值是__________；(2)如圖2，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO＝10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.      【解】(1)(2)如圖2，作P關(guān)于OB的對稱點P1，關(guān)于OA的對稱點P2，連接P1P2，交OB于R，交OA于Q，則△PRQ的周長最小，且此時△PRQ的周長為PR＋RQ＋QP＝P1P2．連接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OP22，∴P1P2＝【變式題組】01．(荊門)一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）.⑴求該函數(shù)的解析式；⑵O為坐標(biāo)原點，設(shè)OA 、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo).    02．（四川聯(lián)賽試題)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分別是AB，DC上的點，則折線AFEC長的最小值為____________.03．(陜西)如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是___________.【例6】求＋的最小值.【解法指導(dǎo)】所求的兩個根式之和的最小值，因被開方數(shù)不是完全平方式而無法化簡，用代數(shù)方法求解困難，但被開方數(shù)的特點x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均為平方和結(jié)構(gòu)，由此聯(lián)想到勾股定理，題目就是求以，為斜邊的兩邊之和的最小值，于是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為構(gòu)造圖形問題來解決.【解】如圖，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一動點.設(shè)AE＝x.則BE＝8－x.∴CE＝，DE＝.所以求代數(shù)式最小值問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點E，使CE＋DE值最小.根據(jù)線段公理，連接CD交AB于H，則CD為所求.作CF⊥DB交DB延長線于F.在Rt△CDF中，CD＝＝10.∴所求最小值為10.【變式題組】01.（恩施自治州）如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，設(shè)CD＝x.⑴用含x的代數(shù)式表示AC＋CE的長；⑵請問點C滿足什么條件時，AC＋CE的值最小?  ⑶根據(jù)⑵中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式＋的最小值   02．(咸寧)問題背景:在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)絡(luò)(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)，如圖1所示.這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.⑴請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上______；思維拓展:⑵我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長分別為a、a、a(a＞0)，請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積；探索創(chuàng)新:⑶若△ABC三邊的長分別為、、（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構(gòu)圖法求出這三角形的面積. 【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N.⑴當(dāng)扇形CEF繞點C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖1，求證：MN2 ＝ AM2＋BN2；【思路點撥】考慮MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決.可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連接DN，只需證DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.請你完成證明過程:⑵當(dāng)扇形GEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，關(guān)系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【解法指導(dǎo)】觀察求證的結(jié)論容易發(fā)現(xiàn)MN2＝AM2＋BN2符合勻股定理的結(jié)構(gòu)形式.因此我們設(shè)法構(gòu)造以MN為斜邊的直角三角形.【解】(l)證明:將△ABM沿直線CM對折，得△DCM，連DN.∵△ACM≌△DCM ∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC∵AC＝BC∴CD＝BC∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4在△DCN和△BCN中，CD＝CB∠3＝∠4    ∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DNCN＝CN∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2⑵將△ACM沿直線CM對折，得△GCM，連接GN.∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2∴∠BCN＝∠CGN在△BCN和△GCN中CN＝CN∠BCN＝∠CGN  ∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°，           GN＝BNCB＝CG∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2【變式題組】01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為AB邊的中點，DE⊥DF.求證：EF2＝AE2＋BF2     02．我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.⑴寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱________；⑵如圖1，請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；⑶如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD、DC，∠DCB＝30°.求證：四邊形ABCD是勾股四邊形.     03．(臺州)如圖1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°.△EDF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點M、K.⑴觀察:①如圖2、圖3，當(dāng)∠CDF＝0°或60°時，AM＋CK______MK(填“＞”、“＜”或“＝”).②如圖4，當(dāng)∠CDF＝30°時，AM＋CK______MK（只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如圖1，當(dāng)0°＜∠CDF＜60°時，AM＋CK______MK，證明你所得到的結(jié)論.⑶如果MK2＋CK2＝AM2，請直接寫出∠CDF的度數(shù)和的值.    演練鞏固·反饋提高01．如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AC邊上的高為（     ）A．  B．  C．  D．02．(哈爾濱)如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8cm，把長方形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AF＝cm，則AD的長為(   )A．4cm  B．5cm  C．6cm  D．7cm03．(濱州)已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AD為8，則邊BC的長為(   )A．21    B．15   C．6   D．21或904．在同一平面內(nèi)把邊BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最長邊AB翻折后得到△ABC'，則CC'的長等于(    )A．   B．  C．    D．05．一個三角形三邊長度之比為3:4:5，則這個三角形的三邊上高的之比為(    )A．3:4:5   B．5:4:3    C．20:15:12  D．9:16:2506．(山西)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為(     )A．   B．    C．   D．2       07．(湖州)如圖，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF面積為_____.08．(安順)如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是_______.09．(安徽)長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_______m.10．(濱州)某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為______.
11．(湖州)如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2則S1＋S2的值等于________.12．(呼和浩特)如圖，四邊形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝，則該四邊形的面積是_______.13．已知等腰三角形ABC的底邊AB＝20cm，P是腰AC上一點，且AP＝12cm，BP＝16cm，則腰長是_________.14．(滬州)如圖，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中點，且它關(guān)于AC的對稱點為D′，則BD′＝_______.15．如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，OA＝4，AC⊥x軸，OA的中垂線交x軸于B．求△ABC的周長.       16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其頂角為120°，兩腰長均為4米，現(xiàn)擬定以其中一腰和底重新組成一個三角架，試問將屋架的第三邊改為多少時，新的三角架為直角三角形?    17．(牡丹江)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以原來綠地8m長的邊為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長.    18．如圖A(3，4)，B(a，1)，AB＝5，C、D分別為x軸、y軸上的兩動點.求四邊形ABCD周長的最小值.     19．如圖，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．     20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為三角形內(nèi)一點，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．    培優(yōu)升級?奧賽檢測01．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜邊BC上且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，得到△AFB，連接EF，則下列結(jié)論:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正確的是(      )A．②④   B．①④   C．②③  D．①③02．(四川聯(lián)賽試題)BD是△ABC的中線，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，則AB＝(   )A．   B．   C．   D．603．（江西競賽）若將三條高線長度分別為x、y、z的三角形記為(x，y，z)，現(xiàn)在以下四個三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的個數(shù)為(    )A．1個   B．2個    C．3個    D．4個04．(北京競賽)如圖，ABCD是一張長方形紙片，將AD，BC折起、使A、B兩點重合于CD邊上的P點，然后壓平得折痕EF與GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，則長方形紙片ABCD的面積為（）cm2A．105.6   B．110.4    C．115.2   D．124.805．如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是(     )A．CD、EF、GH  B．AB、CD、EF  C．AB、CD、GH  D．AB、EF、GH      06．(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，過點P向三邊作垂線，垂足分別為S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，則△ABC的面積等于(     )A．  B．  C．  D．

07．(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，當(dāng)P點移動____秒時，PA與腰垂直. 08．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3則BC＝______.09．(黑龍江競賽)小宇同學(xué)在布置班級文化園地時，想從一塊長為20cm，寬為8cm的長方形彩色紙板上剪下一個腰長為10cm的等腰三角形，并使其一個頂點在長方形的一邊上，另兩個頂點落在對邊上，請你幫他計算出所剪下的等腰三角形的底邊長.         
10．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中點，E、F分別是AB，AC上的點，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求.S△DEF    11．如圖①，已知直線y＝－2x＋4與x軸、y軸分別交于點A、C，以OA、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC．⑴求點A、C的坐標(biāo)；⑵將△ABC對折，使得點A與點C重合，折痕交AB于點D，求直線CD的解析式（圖②）；⑶在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點P(除點B外)，使得△APC與△ABC全等，若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.              12．(浙江省義烏)如圖1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點(點P與B不重合)，連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點F.⑴如圖2，當(dāng)BP＝BA時，∠EBF＝_____°，猜想∠QFC＝_______°；⑵如圖l，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；⑶已知線段AB＝，設(shè)BP＝x，點Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.         13．一條筆直的公路l穿過草原，公路邊有一衛(wèi)生站A，距公路30km的地方有一居民點B，A、B之間的距離為60km.一天某司機駕車從衛(wèi)生站送一批急救藥品到居民點.已知汽車在公路上行駛的最快速度是60km/h.在草地上行駛的最快速度是30km/h，問司機應(yīng)以怎樣的路線行駛，所用的行車時間最短?最短時間是多少?       14．是否存在這樣的直角三角形，它的兩條直角邊長為整數(shù)，且它的周長與面積的數(shù)值相等?若存在，求出它的邊長；若不存在，說明理由.             

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