?考點1 比例線段
對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
例題1 下面四組線段中，成比例的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a(chǎn)=2，b=3，c＝3，d=2
【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．
【解析】A、2×5≠3×4，故選項錯誤；
B、1×4＝2×2，故選項正確；
C、4×10≠5×6，故選項錯誤；
D、3×3≠2×2，故選項錯誤．選B．
【小結(jié)】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．

變式1 已知a，b，c，d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，則d的長度為（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四條線段是成比例的線段，根據(jù)成比例線段的定義計算即可．
【解析】因為a，b，c，d是成比例線段，
可得：d=2×63=4cm，選A．
【小結(jié)】此題考查了成比例線段的定義．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例線段的定義．

變式2 若a是2，4，6的第四比例項，則a＝　 ?。蝗魓是4和16的比例中項，則x＝　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)第四比例項的概念，得2：4＝6：a，則a可求；
根據(jù)比例中項的概念，得x2＝4×16，則x可求．
【解析】∵a是2，4，6的第四比例項，∴2：4＝6：a，∴a＝12；
∵x是4和16的比例中項，∴x2＝4×16，解得x＝±8．
【小結(jié)】考查了比例線段，此題的重點是理解第四比例項、比例中項的概念，根據(jù)概念正確寫出比例式．

變式3 已知四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，則a的值為　 　．
【分析】根據(jù)對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
【解析】∵四條線段a，3，a+1，4是成比例線段，
∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a，解得a＝3．
【小結(jié)】本題考查了比例線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例線段的定義．

考點2 黃金分割
黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5?12AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．
例題2 在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么點C叫做線段AB的黃金分割點．若點P是線段MN的黃金分割點，當(dāng)MN＝1時，PM的長是　 　．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN兩種情況，根據(jù)黃金比值計算．
【解析】當(dāng)PM＞PN時，PM=5?12MN=5?12，
當(dāng)PM＜PN時，PM＝MN?5?12MN=3?52，故答案為：5?12或3?52．
【小結(jié)】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是5?12是解題的關(guān)鍵．

變式4 如果點C是線段AB的黃金分割點，那么下列線段比的值不可能是5?12的為（　　）
A．ACBC B．BCAC C．BCAB D．ABBC
【分析】根據(jù)把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（5?12）叫做黃金比作出判斷．
【解析】∵點C是線段AB的黃金分割點，∴AC2＝AB?BC（AC＞BC），
則ACAB=BCAC=5?12；或BC2＝AB?AC（AC＜BC），
則ACBC=BCAB=5?12．故只有ABBC的值不可能是5?12．選D．
【小結(jié)】此題主要考查了黃金分割比的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．
變式5 如圖，已知點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，若S1表示AE為邊長的正方形面積，S2表示以BC為長，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，則S3：S2的值為（　?。?br />
A．5?12 B．5+12 C．3?52 D．3+52
【分析】根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5?12AB，進(jìn)行計算即可．
【解析】如圖，設(shè)AB＝1，

∵點E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點，且AE＞EB，
∴AE＝GF=5?12，∴BE＝FH＝AB﹣AE=3?52，
∴S3：S2＝（GF?FH）：（BC?BE）＝（5?12×3?52）：（1×3?52）=5?12．選A．
【小結(jié)】本題考查了黃金分割、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義．

變式6 古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的一段GN的比例中項，即滿足MGMN=GNMG=5?12，后人把5?12這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是邊BC的兩個“黃金分割”點，則△ADE的面積為（　?。?br />
A．10﹣45 B．35?5 C．5?252 D．20﹣85
【分析】作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BH＝CH=12BC＝2，則根據(jù)勾股定理可計算出AH=5，接著根據(jù)線段的“黃金分割”點的定義得到BE=5?12BC＝25?2，則計算出HE＝25?4，然后根據(jù)三角形面積公式計算．
【解析】作AH⊥BC于H，如圖，
∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32?22=5，
∵D，E是邊BC的兩個“黃金分割”點，∴BE=5?12BC＝2（5?1）＝25?2，
∴HE＝BE﹣BH＝25?2﹣2＝25?4，∴DE＝2HE＝45?8
∴S△ADE=12×（45?8）×5=10﹣45．選A．

【小結(jié)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=5?12AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．

考點3 比例的基本性質(zhì)
解決此類問題通常利用設(shè)k法即可有效解決，注意方程思想以及分類討論思想的靈活運用.
例題3 已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代數(shù)式3a?b+c2a+3b?c的值；
（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式進(jìn)行計算即可得解；
（2）先設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后將其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則3a?b+c2a+3b?c=6k?3k+5k4k+9k?5k=1；
（2）設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），則6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．則a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．
【小結(jié)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡便．

變式7 已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a+43=b+32=c+84，且a+b+c＝12，探索△ABC的形狀．
【分析】令第一個等式等于k，表示出a，b，c，代入第二個等式求出k的值，即可作出判斷．
【解析】設(shè)a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，則△ABC為直角三角形．
【小結(jié)】此題考查了比例的性質(zhì)，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．

變式8 已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k值．
【分析】依據(jù)等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分兩種情況討論，即可得到k的值．
【解析】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴由等比性質(zhì)可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，當(dāng)a+b+c+d≠0時，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
當(dāng)a+b+c+d＝0時，b+c+d＝﹣a，∴k=2ab+c+d=2a?a=?2；
綜上所述，k的值為23或﹣2．
【小結(jié)】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．
變式9 已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【分析】已知等式利用比例的性質(zhì)化簡表示出a+b，a+c，b+c，代入原式計算即可得到結(jié)果．
【解析】當(dāng)a+b+c≠0時，
利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得：a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca=a+b?c+a?b+c?a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此時原式=8abcabc=8；
當(dāng)a+b+c＝0時，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，則原式＝﹣1．
綜上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值為8或﹣1．
【小結(jié)】此題考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

考點4 平行線分線段成比例
平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
例題4 如圖，直線l1∥l2∥l3，AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)；AC與DF交于點O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的長；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．

【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行線分線段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴DEDF=ABAC，即33+6=4AC，解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，∴BECF=OBOC=13，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴OBAB=24=12．
【小結(jié)】考查平行線分線段成比例定理，解題時注意：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．


變式10 如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、D、F和點B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　）

A．103 B．203 C．52 D．152
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理ADDF=BCCE=3，則BC＝3CE，利用BC+CE＝BE＝10可計算出CE長
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF=BCCE=3，∴BC＝3CE，
∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝10，∴CE=52．選C．
【小結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．

變式11 如圖，在△ABC中，AD∥BC，點E在AB邊上，EF∥BC，交AC邊于點F，DE交AC邊于
點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

A．AEBE=AFCF B．AGGF=DGEG C．AGGF=AEEB D．AEAB=AFAC
【分析】由AD∥EF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出對應(yīng)線段成比例，逐一檢查每個選項即可得出正確答案．
【解析】∵EF∥BC∴AEBE=AFCF，∴答案A正確；
根據(jù)合比性質(zhì)，則有AEAE+BE=AFAF+CF 即：AEAB=AFAC，∴答案D正確；
又∵AD∥EF，∴AGGF=DGEG，∴答案B正確；
而AGGF=DGEG=ADEF，∴答案C錯誤．選C．
【小結(jié)】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，把握定理中對應(yīng)線段成比例的“對應(yīng)”兩個字是解決本題的關(guān)鍵．
變式12 已知，在△ABC中，點D為AB上一點，過點D作DE∥BC，DH∥AC分別交AC、BC于點E、H，點F是BC延長線上一點，連接FD交AC于點G，則下列結(jié)論中錯誤的是（　?。?br />
A．ADDB=AEDH B．CFDE=DHCG C．FDFG=ECCG D．CHBC=AEAC
【分析】首先證明四邊形DECH是平行四邊形，再利用平行線分線段成比例定理一一判斷即可．
【解析】∵DE∥BC，DH∥AC，∴四邊形DECH是平行四邊形，∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC=AEDH，故選項A正確，不符合題意，
∵DH∥CG，∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正確，不符合題意，
∵DE∥BC，∴DEBC=AEAC，∴CHBC=AEAC，故D正確，不符合題意，
選B．
【小結(jié)】本題考查平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

考點5 相似三角形的判定
相似三角形的判定方法匯總：
1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角
形與原三角形相似．
3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩
個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．
4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾
角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．
5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這
兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似
例題5 如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格組成的網(wǎng)格，三角形的頂點均在小方格的頂點上，下列四個選項中哪一個陰影部分的三角形與已知△ABC相似（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．
【解析】根據(jù)題意得：AC=12+22=5，AB=12+12=2，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：2：5，
A、三邊之比為1：2：5，選項A符合題意；
B、三邊之比2：5：3，選項B不符合題意；
C、三邊之比為2：5：17，選項C不符合題意；
D、三邊之比為5：5：4，選項D不符合題意．
選A．
【小結(jié)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．

變式13 在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圓規(guī)在AB上確定點D，使△ACD∽△CBD，根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的是
（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可．
【解析】當(dāng)CD是AB的垂線時，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．
A選項中，CD是∠ACB的角平分線，不符合題意；
B選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；
C選項中，CD是AB的垂線，符合題意；
D選項中，CD不與AB垂直，不符合題意；選C．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．

變式14 如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（　?。?br />
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．
【解析】由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ABBC=ADDE=FHAF=22，∴ABAD=BCDE，ABFH=BCAF，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，選A．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
變式15 如圖，點A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標(biāo)不可能是（　?。?br />
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐標(biāo)得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似對各選項進(jìn)行判斷．
【解析】∵點A、B、C的坐標(biāo)分別是（1，7），（1，1），（4，1），∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
當(dāng)E點坐標(biāo)為（4，2），而D（6，1），則CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵ABCD=BCEC=3，∠ABC＝∠ECD，∴△ABC∽△DCE；
當(dāng)E點坐標(biāo)為（6，0），而D（6，1），則ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD=BCED=3，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC；
當(dāng)E點坐標(biāo)為（6，3），而D（6，1），則ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD≠BCED，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC與△ECD不相似；
當(dāng)E點坐標(biāo)為（6，5），而D（6，1），則ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABED=BCCD=32，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC．
選C．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．

考點6 相似三角形的性質(zhì)（周長）
掌握相似三角形周長比等于對應(yīng)邊的比是解題關(guān)鍵.
例題6 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE與△ADC的周長比為（　　）

A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．4：9
【分析】根據(jù)已知條件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根據(jù)三角形相似求得S△ACD=94S△ABE即可求得．
【解析】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，選B．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，不同底等高的三角形面積的求法等，等量代換是本題關(guān)鍵．

變式16 如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE于點G，若BG＝8，則△CEF的周長為（　?。?br />
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先計算出△ABE的周長，然后根據(jù)相似比的知識進(jìn)行解答即可．
【解析】∵在?ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分線交BC于點E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG=AB2?BG2=102?82=6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE周長等于10+10+12＝32，
四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比為5：10＝1：2，∴△CEF周長為16
【小結(jié)】本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形和勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，相似三角形的周長比等于相似比，難度較大．
變式17 如圖，點E是?ABCD的邊AD上的一點，且DEAE=12，連接BE并延長交CD的延長線于點F，若DE＝3，DF＝4，則?ABCD的周長為（　?。?br />
A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得AB，AE，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的周長公式求得結(jié)果．
【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE=FDAB=12，
∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四邊形ABCD的周長為：（8+9）×2＝34．選C．
【小結(jié)】考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答

變式18 如圖，已知平行四邊形ABCD，點E在DC上，DE：EC＝2：1，連接AE交BD于點F，則△DEF與△BAF的周長之比為（　?。?br />
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】可證明△DFE∽△BFA，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比即可得出答案．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3． 選D．
【小結(jié)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，注：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．

考點7 相似三角形的性質(zhì)（面積）
掌握相似三角形面積比是對應(yīng)邊比的平方的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
例題7 如圖，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于點F，且S△EFC＝3S△EFD，則S△ADE：S△ABC的值為（　?。?br />
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【分析】易證△DEF∽△CBF同理可證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例平方即可解題．
【解析】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （兩個三角形等高，面積之比就是底邊之比），
∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，選C．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面積比是對應(yīng)邊比例的平方的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

變式19 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在DA的延長線上，且AE=13AD，連接CE交BD于點F，交AB于點G，則S△BGC：S四邊形ADCG的值是（　?。?br />

A．35 B．53 C．57 D．34
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再證明△AEG∽△BCG，利用相似的性質(zhì)得到S△AEGS△BCG=19，證明△EAG∽△EDC，利用相似比得到S△EAGS△EDC=116，所以S四邊形ADCG＝15S△EAG，然后計算S△BGC：S四邊形ADCG的值．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴S△AEGS△BCG=（AEBC）2＝（AEAD）2＝（13）2=19，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴S△EAGS△EDC=（EAED）2＝（EAEA+AD）2＝（14）2=116，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四邊形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四邊形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．選A．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了平行四邊形的性質(zhì)．

變式20 如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE∥AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△DOE與S△COE的比是（　?。?br />
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【分析】通過證明△DOE∽△COA，可得S△DOES△COA=（ODOC）2=125，可求ODOC=15，即可求解．
【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴S△DOES△COA=（ODOC）2=125，∴ODOC=15，
∴S△DOE與S△COE的比為1：5，選B．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．

變式21 已知如圖，DE是△ABC的中位線，點P是DE的中點，CP的延長線交AB于點Q，那么S△CPE：S△ABC＝　 ?。?br />
【分析】連結(jié)AP并延長交BC于點F，則S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，則S△CPE：S△ABC＝1：8．
【解析】連結(jié)AP并延長交BC于點F，
∵DE是△ABC的中位線，∴E是AC的中點，∴S△CPE＝S△AEP，
∵點P是DE的中點，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8
【小結(jié)】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．

考點8 相似基本模型（A字型）
基礎(chǔ)模型：

A字型（平行） 反A字型（不平行）
例題8 已知：如圖，點D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．
（1）求證：EF∥BD；
（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．

【分析】（1）由平行線分線段成比例可得CDAC=CECB，由CD2＝CF?CA，可得CFCD=CECB，可證EF∥BD；
（2）通過證明△BAD∽△DBE，可得BABD=BDDE，即可得結(jié)論．
【解析】證明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC=CECB，
∵CD2＝CF?CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC?CF＝BC?CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD2＝BA?DE
【小結(jié)】考查相似三角形判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

變式22 如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的長；
（2）求FG的長．

【分析】（1）由EG∥AD可得出△BAD∽△BEF，利用相似三角形的性質(zhì)可求出EB的長；
（2）由EG∥∥BC可得出△AEG∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出EG的長，再結(jié)合FG＝EG﹣EF可求出FG的長．
【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴BEBA=EFAD，即BEBE+6=26，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EGBC=AEAB，即EG8=66+3，∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF=103．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的性質(zhì)，求出EB的長；（2）利用相似三角形的性質(zhì)，求出EG的長．

變式23 如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求CE的長．
（2）在△ABC中，點D，E，Q分別是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．小明認(rèn)為DPBQ=PEQC，你認(rèn)為小明的結(jié)論正確嗎？請說明你的理由．

【分析】（1）證明△ADE∽△ABC，所以ADAD+BD=AEAE+EC，代入數(shù)據(jù)即可求出CE的長度．
（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，所以△ADP∽△ABQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．
（2）結(jié)論正確，理由如下，
在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，
同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ
【小結(jié)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．

變式24 如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，線段AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC=DFCG．
（1）求證：△ADF∽△ACG；
（2）若ADAC=37，求AFFG的值．

【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可證出△ADE∽△ACB；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)再得出∠ADF＝∠C，即可證出△ADF∽△ACG；
（2）由（1）的結(jié)論以及相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．
【解析】（1）證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，
又∵ADAC=DFCG，∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，
∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

考點9 相似基本模型（X字型）
基礎(chǔ)模型：

X字型（平行） 反X字型（不平行）
例題9 如圖，AD與BC交于點O，EF過點O，交AB與點E，交CD與點F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求證：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求證：CF＝DF．

【分析】（1）證明△OAB∽△ODC，可得出結(jié)論；
（2）證得AB∥CD，可得AEDF=OEOF，BECF=OEOF，則結(jié)論得證．
【解析】證明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC=AODO，
∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF=BECF．
∵AE＝BE，∴CF＝DF．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．熟練掌握定理內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．

變式25 如圖：已知?ABCD，過點A的直線交BC的延長線于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的長；
（2）證明：AF2＝FG×FE．

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，證明△EGC∽△EAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可；
（2）分別證明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=ECEB，即CG3=22+4，
解得，CG＝1；
（2）證明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，∴AFFE=DFFB，∴FGFA=AFFE，即AF2＝FG×FE．
【小結(jié)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

變式26 如圖，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值

【分析】證明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，則結(jié)論得出．
【解析】∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AFBF=12，
∵BCCD=2，∴CD=13BD，∴AGCD=32，
∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴GEED=AGCD=32．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．

變式27 如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．
（1）求證：△ABD∽△EBC；
（2）求證：AD2＝BD?DE．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定證明△ABD∽△EBC即可；
（2）由相似三角形的判定證明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．
【解析】證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，
∵BA?BC＝BD?BE．即ABBC=BDBE，∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，
∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝BD?DE．
【小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定方法解答．

考點10 相似基本模型（AX型）
A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
例題10 如圖，△ABC中，D．E分別是AB、AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的長度．

【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，結(jié)合∠DAE＝∠BAC可證出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出DE∥BC，進(jìn)而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出FC的長．
【解析】（1）證明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=13，∴FC＝6．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”證出△ADE∽△ABC；（2）利用相似三角形的性質(zhì)及平行線的判定定理，找出DE∥BC．

變式28 如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．如果CEBE=23，求FEEG的值．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，利用相似三角形的性質(zhì)可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．
【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF=BEDA．
又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE=25?2AE=23×83EF=169EF，
∴FEEG=916．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)，找出AE=83EF及GE=23AE是解題的關(guān)鍵．

變式29 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，M是BC邊的中點，E是邊BA延長線上的一點，連接EM，分別交線段AD于點F、AC于點G．
（1）求證：△AFG∽△CMG；
（2）求證：GFGM=EFEM．

【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，則結(jié)論得證；
（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，證明△AEF∽△BEM，可得出AFBM=EFEM，由BM＝CM，則結(jié)論得出．
【解析】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，
∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；
（2）證明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM
∵AD∥BC，∴△AEF∽△BEM，∴AFBM=EFEM
又∵CM＝BM，∴AFCM=EFEM，∴GFGM=EFEM．
【小結(jié)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．

變式30 如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點E，點F在線段BC上，ABCD=12，BFCF=12．
（1）求證：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．

【分析】（1）只要證明BEED=BFFC=12，即可推出EF∥CD解決問題；
（2）設(shè)△ABE的面積為m．利用相似三角形的性質(zhì)，等高模型求出△BCE，△ECD的面積即可解決問題；
【解析】（1）證明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，
∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF∥CD，∴AB∥EF．
（2）設(shè)△ABE的面積為m．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴S△CDE＝4m，
∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，
∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
【小結(jié)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．

考點11 相似基本模型（作平行線）
解決此類問題的關(guān)鍵是作平行線去構(gòu)造相似三角形從而利用相似三角形的性質(zhì)去解決問題.
基礎(chǔ)模型：

例題11 如圖，△ABC中，D為BC中點，E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，則AFFC為（　?。?br />
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【分析】過D作BF的平行線，交AC邊于G，即：DG∥BF，又D為BC中點可得出：△CDG∽△CBF，即：CDCB=CGCF=12，CG=12FC＝FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=12AG＝FG，所以AF＝FG＝GC，即：AFFC=AFFG+GC=12．

【解析】過D作BF的平行線，交AC邊于G，如下圖所示：
∵D為BC中點，DG∥BF，∴∠CGD＝∠CFB，又∵∠C＝∠C，∴△CDG∽△CBF
∴CGCF=CDCB=12，即：CG=12CF＝FG
又E為AD的中點，BE的延長線交AC于F，DG∥BF
同理可得：△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG=12，即：AF=12AG＝FG
∴AF＝FG＝GC，∴AFFC=AF2AF=12=1：2，選D．
【小結(jié)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于找出條件判斷兩個三角形相似，再運用相似三角形的性質(zhì)求解．
變式31 如圖，D、E分別是△ABC的邊BC、AB上的點，AD、CE相交于點F，AE=15EB，BD=13BC，則CF：EF＝　 ?。?br />
【分析】作EH∥BC，根據(jù)△AEH∽△ABD，得到HEBD=AEAB=16，證明△CFD∽△EFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
【解析】作EH∥BC交AD于H，則△AEH∽△ABD，∴HEBD=AEAB=16，
∵BD=13BC，∴CD＝2BD，∴HECD=112，
∵EH∥BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF=CDHE=12，即CF：EF＝12，

【小結(jié)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握作輔助線構(gòu)造相似三角形的一般方法是解題的關(guān)鍵．

變式32 如圖，AD是△ABC的中線，點E是線段AD上的一點，且AE=13AD，CE交AB于點F．若AF＝2cm，則AB＝　 　cm．

【分析】過A作AG∥BC，交CF的延長線于G，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到AGDC=AEDE=12，進(jìn)而得出BF＝4AF＝8cm，可得AB的長度．

【解析】如圖所示，過A作AG∥BC，交CF的延長線于G，
∵AE=13AD，AG∥BC，∴△AEG∽△DEC，∴AGDC=AEDE=12，
又∵AD是△ABC的中線，∴BC＝2CD，∴AGBC=14，
∵AG∥BC，∴△AFG∽△BFC，∴AFBF=AGBC=14，∴BF＝4AF＝8cm，∴AB＝AF+BF＝10cm，
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，過A作AG∥BC，構(gòu)造相似三角形是解決此題的關(guān)鍵．

變式33 如圖，等邊三角形ABC中，AB＝3，點D是CB延長線上一點，且BD＝1，點E在直線AC上，當(dāng)∠BAD＝∠CDE時，AE的長為　 　．

【分析】分兩種情形分別畫出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝3，∴∠ABD＝120°，

①當(dāng)點E在邊AC上時．作EF∥AB交BC于F，如圖1所示：則△EFC是等邊三角形．
∴∠CFE＝60°，EF＝CF＝CE，∴∠BFE＝120°＝∠ABD，
∵∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DFE，∴ABBD=DFEF，即31=DFEF，∴DF＝3EF，∴DF＝3CF，∴CD＝4CF，
∵BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC+BD＝4，∴CF＝1，∴CE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝2；

②點E在AC的延長線上時．如圖2所示：
∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE，即34=1CE，解得：CE=43，
∴AE＝AC+CE＝3+43=133；
綜上所述，當(dāng)∠BAD＝∠CDE時，AE的長為2或133；
【小結(jié)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．

考點12 相似基本模型（雙垂直型）
直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.

例題12 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（　?。?br />
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【分析】只要證明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可解決問題．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32，∴BCAC=23，選B．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

變式34 如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，ADAB=12，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則S1S2的值等于（　　）

A．116 B．15 C．14 D．125
【分析】根據(jù)已知條件設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC=5a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC求得CE=5a5，AE=45a5，得到CEAE=14，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】∵ADAB=12，∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴AC=5a，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC
∴a2＝CE?5a，4a2＝AE?5a，
∴CE=5a5，AE=45a5，∴CEAE=14，
∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2=116，選A．
【小結(jié)】本題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定，能夠牢記射影定理的內(nèi)容對解決本題起到至關(guān)重要的作用，難度不大．

變式35 邊長為1的正方形ABCD，在BC邊上取一動點E，連接AE，作EF⊥AE，交CD邊于點F，若CF的長為316，則CE的長為　 　．

【分析】由正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠BAE+∠AEB＝90°，結(jié)合∠AEB+∠CEF＝90°可得出∠BAE＝∠CEF，由∠B＝∠C，∠BAE＝∠CEF可證出△ABE∽△ECF，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長．
【解析】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，∴CEBA=CFBE，即CE1=3161?CE，∴CE=14或CE=34．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用“兩角對應(yīng)相等的三角形相似”找出△ABE∽△ECF是解題的關(guān)鍵．

變式36 如圖，AC是矩形ABCD的對角線，過點B作BE⊥AC于點E，BE的延長線交AD于點F，若DF＝EF，BC＝2，則AF的長為　 ?。?br />
【分析】設(shè)AF＝x，所以FD＝2﹣x，由題意可知：EF＝FD＝2﹣x，易證△AFE∽△CBE，所以BE=2(2?x)x，再證明△AFE∽△BFA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出方程求出x的值．
【解析】設(shè)AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC=EFBE，∴x2=2?xBE，∴BE=2(2?x)x，∴BF＝BE+EF=4?x2x，
∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，
∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF?BF，∴x2=4?x2x?（2﹣x），解得：x=5?1，
【小結(jié)】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．
考點13 相似基本模型（手拉手型）
基礎(chǔ)模型：

旋轉(zhuǎn)放縮變換， 圖中必有兩對相似三角形.
例題13 如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（　?。?br />
A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3
【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC與△ADE相似，利用相似三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠DAE，進(jìn)而證明△AEC與△ABD相似，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，選A．
【小結(jié)】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定得出△ABC與△ADE相似．

變式37 如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（　?。?br />
A．10° B．20° C．40° D．無法確定
【分析】證明△ABC∽△ADE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DAE，結(jié)合圖形解答即可．
【解析】ACAE=23，ABAD=34.5=23，BCDE=46=23，∴ACAE=ABAD=BCDE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，
【小結(jié)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．

變式38 如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB與DE交于點O，AB＝4，AC＝3，F(xiàn)是DE的中點，連接BD，BF，若點E是射線CB上的動點，下列結(jié)論：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正確的是（　?。?br />
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【分析】首先證明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再證明∠DBE＝90°，可得②③正確，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷④正確．
【解析】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=OAOE，
∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正確，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正確，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，
∵△ABC∽△ADE，∴DEAE=BCAC=53，∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF=56AE，故④正確，
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴無法判斷△AOD∽△FOB，故①錯誤．選D．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
變式39 已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，點F在DE的延長線上，AD＝AF，AE?CE＝DE?EF．
（1）求證：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE?BD＝EF?AF，求證：AB＝AC．

【分析】（1）由AE?CE＝DE?EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再證∠ADF＝∠C，即可解決
（2）欲證明AB＝AC，利用相似三角形的性質(zhì)證明∠B＝∠C即可；
【解析】證明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，
∵AE?CE＝DE?EF，∴AEDE=EFCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．
（2）∵AE?BD＝EF?AF，∴AEAF=EFBD，
∵AD＝AF，∴AEAD=EFBD，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．
【小結(jié)】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．

考點14 相似基本模型（一線三等角型）
基礎(chǔ)模型：

如圖1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一線三等角）
如圖2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一線三等角）
如圖3，特別地，當(dāng)D時BC中點時：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，F(xiàn)D平分∠EFC.
例題14 如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中點，E是BC上一點，BE=52，∠AED＝∠B，則CE的長為（　?。?br />
A．152 B．223 C．365 D．649
【分析】證明△BAE∽△CED，推出BACE=BECD可得結(jié)論．
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，
∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，
∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，∴6CE=523，∴CE=365，選C．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．

變式40 如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，則△ABC的邊長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可證得△ABP∽△PCD，據(jù)此解答即可，．
【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，
∵BP＝2，CD＝1，∴ABAB?2=21，∴AB＝4，∴△ABC的邊長為4．選B．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△ABP∽△PCD，主要考查了學(xué)生的推理能力和計算能力．

變式41 如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一點，BD＝2，E是BC上一動點，聯(lián)結(jié)DE，并作∠DEF＝∠B，射線EF交線段AC于F．
（1）求證：△DBE∽△ECF；
（2）當(dāng)F是線段AC中點時，求線段BE的長；
（3）聯(lián)結(jié)DF，如果△DEF與△DBE相似，求FC的長．


【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，由三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠DEF＝∠B，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（3）當(dāng)∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF＝2；當(dāng)∠DFE＝∠BED，推出點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，過E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，得到AE是∠BAC的角平分線，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，
∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；
（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，
∵F是線段AC中點，∴CF=12AC＝3，∴25?BE=BE3，∴BE＝2或3；
（3）∵△DEF與△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，
當(dāng)∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，
∵AC＝6，∴CF＝2；
當(dāng)∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，
∴點E在∠BDF與∠DFC的角平分線上，
過E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，連接AE，∴EM＝EG＝EN，
∴AE是∠BAC的角平分線，∴BE＝CE=52，
∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，即252=52CF，∴CF=258．
綜上所述，F(xiàn)C的長為2或258．

【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
變式42 已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上（點E不與點A、B重合），點F在邊AC上，聯(lián)結(jié)DE、DF．
（1）如圖1，當(dāng)∠EDF＝90°時，求證：BE＝AF；
（2）如圖2，當(dāng)∠EDF＝45°時，求證：DE2DF2=BECF．

【分析】（1）連接AD，證△BDE≌△ADF（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）證明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF，得出BECD?BDCF=(DEDF)2，由BD＝CD，即可得出結(jié)論．
【解析】證明：（1）連接AD，如圖1所示：
在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵點D是邊BC的中點，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°
∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．
∴BECD=BDCF=DEDF，∴BECD?BDCF=(DEDF)2，又∵BD＝CD，∴DE2DF2=BECF．

【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．

考點15 相似三角形中的動點問題
例題15 如圖，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止．
（1）求經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25？
（2）經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ABC相似？

【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的25，根據(jù)三角形的面積和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t即可．
【解析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的25，
12?2x?(8?x)=12×10×8×25，解得：x1＝x2＝4，
答：經(jīng)過4秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒，△PCQ與△ABC相似，
因為∠C＝∠C，所以分為兩種情況：
①PCBC=CQAC，2t8=8?t10，解得：t=167；
②PCAC=CQBC，2t10=8?t8，解得：t=4013；
答：經(jīng)過167秒或4013秒時，△PCQ與△ABC相似．
【小結(jié)】本題考查了三角形的面積，直角三角形，相似三角形的判定等知識點，能得出關(guān)于x的方程是解（1）的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解（2）的關(guān)鍵．

變式43 如圖所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接DE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜10），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；
（2）在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；
（2）根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說明即可．
【解析】（1）分別過點D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G
如圖

∴DF∥AG，DFAG=BDAB
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴DF6=10?t10。解得DF=35（10﹣t）
∵S△BDE=12BE?DF＝7.5，∴35（10﹣t）?t＝15，解得t＝5．
（2）存在．理由如下：
①當(dāng)BE＝DE時，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BDBC即t10=10?t16，解得t=5013，
②當(dāng)BD＝DE時，△BDE∽△BAC，BEBC=BDAB即t16=10?t10，解得t=8013．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動點變化過程中形成不同的等腰三角形．
變式44 如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）證明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，當(dāng)點D在BC上運動時（點D不與B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此時BD的長．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)AD＝AE時，則∠1＝∠AED＝45°，得到∠DAE＝90°，則點D與B重合，不合題意舍去；當(dāng)EA＝ED時，如圖1，則∠EAD＝∠1＝45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，則BD＝1；當(dāng)DA＝DE時，如圖2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD為等腰三角形，則DC＝CA=2，于是有BD＝BC﹣DC＝2?2．
【解析】（1）證明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；
（2）當(dāng)AD＝AE時，∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，∴∠1＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°，∴點D與B重合，不合題意舍去；
當(dāng)EA＝ED時，如圖1，∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝1；
當(dāng)DA＝DE時，如圖2，∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，∴DC＝CA=2，∴BD＝BC﹣DC＝2?2，
∴綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，BD的長為1或2?2．

【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，運用相似比進(jìn)行線段的計算；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)；學(xué)會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．

變式45 如圖，已知矩形ABCD中，AB＝4，動點P從點A出發(fā)，沿AD方向以每秒1個單位的速度運動，連接BP，作點A關(guān)于直線BP的對稱點E，設(shè)點P的運動時間為t（s）．
（1）若AD＝6，P僅在邊AD運動，求當(dāng)P，E，C三點在同一直線上時對應(yīng)的t的值．
（2）在動點P在射線AD上運動的過程中，求使點E到直線BC的距離等于3時對應(yīng)的t的值．

【分析】（1）設(shè)AP＝t，則PD＝6﹣t，由點A、E關(guān)于直線BP對稱，得出∠APB＝∠BPE，由平行線性質(zhì)得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果；
（2）①當(dāng)點E在BC的上方，點E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長ME交AD于N，連接PE、BE，則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，AN＝BM=BE2?EM2=7，證出△BME∽△ENP，得出BMEN=MENP，求出NP=377，即可得出結(jié)果；
②當(dāng)點E在BC的下方，點E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長線于H，則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE=BE2?BH2=7，證得△AHE∽△PAB，得出AHAP=HEAB，即可得出結(jié)果．

【解析】（1）設(shè)AP＝t，則PD＝6﹣t，如圖1所示：
∵點A、E關(guān)于直線BP對稱，∴∠APB＝∠BPE，
∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∵P、E、C共線，∴∠BPC＝∠PBC，∴CP＝BC＝AD＝6，
在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，即：42+（6﹣t）2＝62，解得：t＝6﹣25或6+25（不合題意舍去），
∴t＝（6﹣25）s時，P、E、C共線；

（2）①當(dāng)點E在BC的上方，點E到BC的距離為3，作EM⊥BC于M，延長ME交AD于N，連接PE、BE，如圖2所示：
則EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四邊形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM=BE2?EM2=42?32=7，
∵點A、E關(guān)于直線BP對稱，∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，∴∠PEN＝∠EBM，∴△BME∽△ENP，
∴BMEN=MENP，即71=3NP，∴NP=377，∴t＝AP＝AN﹣NP=7?377=477；

②當(dāng)點E在BC的下方，點E到BC的距離為3，作EH⊥AB的延長線于H，如圖3所示：
則BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，
在Rt△BHE中，HE=BE2?BH2=42?32=7，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，∴△AHE∽△PAB，∴AHAP=HEAB，即7AP=74，解得：t＝AP＝47，
綜上所述，t=477或47．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，通過作輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．

考點16 相似三角形中的折疊問題
例題16 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D、E分別在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，將△CDE沿DE折疊，點C恰好落在AB邊上的點F處，若BC＝12，AB＝20，則CD的長為（　?。?br />
A．193 B．254 C．258 D．6
【分析】由對稱性可知CF⊥DE，可得∠CDE＝∠ECF＝∠B，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中點，求得CF＝10，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，進(jìn)而得出CD的長．
【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝20，∴AC=AB2?BC2=202?122=16，
由對稱性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，∴CF＝BF，
同理可得CF＝AF，
∴F是AB的中點，∴CF=12AB＝10，
又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，∴CFCD=CACF，∴CF2＝CD×CA，即102＝CD×16，∴CD=254，選B．
【小結(jié)】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．

變式46 在正方形ABCD中，點E為BC邊的中點，把△ABE沿直線AE折疊，B點落在點B′處，B′B與AE交于點F，連接AB′，DB′，F(xiàn)C．下列結(jié)論：①AB′＝AD；②△FCB′為等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE?AF．其中正確的個數(shù)為（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，可知△ABF與△AB′F關(guān)于AE對稱，即得AB′＝AD；
②連接EB′，根據(jù)E為BC的中點和線段垂直平分線的性質(zhì)，求出∠BB′C為直角三角形；
③假設(shè)∠ADB′＝75°成立，則可計算出∠AB′B＝60°，推知△ABB′為等邊三角形，B′B＝AB＝BC，與B′B＜BC矛盾；
④根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；⑤根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】①∵點B′與點B關(guān)于AE對稱，∴△ABF與△AB′F關(guān)于AE對稱，∴AB＝AB′，
∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正確；
②如圖，連接EB′．則BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．
則∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C為直角三角形．
∵FE為△BCB′的中位線，∴B′C＝2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，∴FEFB'=EB'AB'，即FEFB'=EBAB=12，故FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．
∴△FCB′為等腰直角三角形．故②正確．
③設(shè)∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y(tǒng)度，
則在四邊形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．
又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故③正確．
④∵∠BB′C＝90°，∴BB′＜BC，故④錯誤；
⑤∵∠ABE＝90°，BF⊥AE，∴∠ABE＝∠AFB＝90°，
∵∠BAF＝∠BAF，∴△ABF∽△AEB，∴ABAE=AFAB，∴AB2＝AE?AF；故⑤正確，選C．
【小結(jié)】此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
變式47 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結(jié)論：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正確的是　 ?。ㄌ顚懻_結(jié)論的序號）


【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，根據(jù)折疊得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，AG＝GH，BC＝BF＝10，AB＝BH＝6，根據(jù)勾股定理求出AG＝GH＝3，再逐個判斷即可．
【解析】∵根據(jù)折疊得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，
又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，∴∠EBG=12×90°=45°，∴①正確；
∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴根據(jù)折疊得∠BFE＝∠C＝90°，∴∠ABG+∠BGA＝90°，∠EFD+∠BFA＝90°，
∵∠BGA＞∠BFA，∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB＝∠A＝90°，∠EFB＝∠C＝90°，∴∠GHB＝∠EFB，∴GH∥EF，∴∠EFD＝∠HGF，
根據(jù)已知不能推出∠AGB＝∠HGF，∴∠AGB≠∠EFD，即△DEF和△ABG不全等，∴②錯誤；
∵根據(jù)折疊得：AB＝BH＝6，BC＝BF＝10，∴由勾股定理得：AF=102?62=8，
∴DF＝10﹣8＝2，HF＝10﹣6＝4，
設(shè)AG＝HG＝x，在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2＝GF2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
即AG＝HG＝3，
∴S△ABG=12×AB×AG=12×6×3=9，S△FHG=12×GH×HF=12×3×4=6，∴③錯誤；
∵AG+DF＝3+2＝5，GF＝10﹣3﹣2＝5，∴④正確；故答案為：①④．
【小結(jié)】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識點，能靈活運用定理進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．

變式48 已知，矩形ABCD，點E是AD上一點，將矩形沿BE折疊，點A恰好落在BD上點F處．
（1）如圖1，若AB＝3，AD＝4，求AE的長；
（2）如圖2，若點F恰好是BD的中點，點M是BD上一點，過點M作MN∥BE交AD于點N，連接EM，若MN平分∠EMD，求證：DN?DE＝DM?BM．

【分析】（1）由勾股定理求出BD＝5，證明△DEF∽△DBA，得出比例線段EDBD=EFAB，設(shè)AE＝EF＝x，則DE＝4﹣x，則得出4?x5=x3，解方程求出x即可；
（2）證明△BEM∽△DMN，由相似三角形的性質(zhì)得出DNBM=DMBE，則可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，∴∠EFD＝90°，∴∠EFD＝∠BAD，
∵∠EDF＝∠ADB，∴△DEF∽△DBA，∴EDBD=EFAB，
設(shè)AE＝EF＝x，則DE＝4﹣x，∴4?x5=x3解得x=32，∴AE=32；
（2）證明：∵F為BD的中點，∠A＝∠BFE＝90°，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，
∵M(jìn)N∥BE，∴∠NME＝∠BEM，
又∵M(jìn)N平分∠EMD，∴∠NMD＝∠NME，∴∠NMD＝∠BEM
∴△BEM∽△DMN，∴DNBM=DMBE，∴DNBM=DMDE，∴DN?DE＝DM?BM．
【小結(jié)】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及方程的思想方法是解題的關(guān)鍵

考點17 相似三角形的實際應(yīng)用
解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用相似及方程思想有效解決.
例題17 數(shù)學(xué)實踐小組想利用鏡子的反射測量池塘邊一棵樹的高度AB．測量和計算的部分步驟如下：
①如圖，樹與地面垂直，在地面上的點C處放置一塊鏡子，小明站在BC的延長線上，當(dāng)小明在鏡子中剛好看到樹的頂點A時，測得小明到鏡子的距離CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距離ED＝1.5米；
②將鏡子從點C沿BC的延長線向后移動10米到點F處，小明向后移動到點H處時，小明的眼睛G又剛好在鏡子中看到樹的頂點A，這時測得小明到鏡子的距離FH＝3米；
③計算樹的高度AB；

【分析】根據(jù)題意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性質(zhì)得出AB，BC的長進(jìn)而得出答案．
【解析】設(shè)AB＝x米，BC＝y(tǒng)米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC，∴ABED=BCDC，∴x1.5=y2，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，∴y2=y+103，解得：y＝20，
把y＝20代入x1.5=y2中，得x＝15，
∴樹的高度AB為15米．
【小結(jié)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

變式49 “創(chuàng)新實踐”小組想利用鏡子與皮尺測量大樹AB的高度，因大樹底部有障礙物，無法直接測量到大樹底部的距離．聰明的小穎借鑒《海島算經(jīng)》的測量方法設(shè)計出如圖所示的測量方案：測量者站在點F處，將鏡子放在點M處時，剛好看到大樹的頂端，沿大樹方向向前走2.8米，到達(dá)點D處，將鏡子放在點N處時，剛好看到大樹的頂端（點F，M，D，N，B在同一條直線上）．若測得FM＝1.5米，DN＝1.1米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米，求大樹AB的高度．

【分析】設(shè)NB的長為x米，則MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通過△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性質(zhì)求得x的值，然后結(jié)合CDAB=DNBN求得大樹的高．
【解析】設(shè)NB的長為x米，則MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由題意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，∴1.6AB=1.16.6．解得AB＝9.6．
【小結(jié)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．

變式50 如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

【分析】根據(jù)正方形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”，設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．
【解析】∵四邊形EGFH為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
設(shè)正方形零件的邊長為x mm，則KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，∴EFBC=AKAD，∴x120=80?x80，解得：x＝48．
【小結(jié)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵．

變式51 20世紀(jì)90年代以來，我國戶外廣告行業(yè)取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，戶外廣告裝置多設(shè)立于城市道路、鐵路、公路等主要交通干道邊上，面向密集的車流和人流．某天，小芳走到如圖所示的C處時，看到正對面一條東西走向的筆直公路．上有一輛汽車從東面駛來，到達(dá)Q處時，恰好被公路北側(cè)邊上豎著的一個長12m的廣告牌AB擋住，3s后在P處又重新看到該汽車的全部車身，已知該汽車的行駛速度是21.6km/h，假設(shè)AB∥PQ，公路寬為10m，求小芳所在C處到公路南側(cè)PQ的距離．

【分析】通過證明△CAB∽△CPQ可得126×3=x?10x，可求解．
【解析】設(shè)小芳所在C處到公路南側(cè)PQ的距離為xm，21.6km/h＝21.6×518=6m/s，
∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴ABPQ=x?10x，∴126×3=x?10x，∴x＝30，
∴小芳所在C處到公路南側(cè)PQ的距離為30m．
【小結(jié)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，證明△CAB∽△CPQ是本題的關(guān)鍵．

考點18 作圖—位似變換
掌握畫位似圖形的一般步驟為（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形）．
例題18 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（2，1），B（1，4），C（3，2）．
請解答下列問題：

（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并直接寫出C1點的坐標(biāo)；
（2）以原點O為位似中心，位似比為1：2，在y軸的右側(cè)，畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出C2點的坐標(biāo)；
（3）如果點D（a，b）在線段BC上，請直接寫出經(jīng)過（2）的變化后對應(yīng)點D2的坐標(biāo)．
【分析】（1）依據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可得到△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，進(jìn)而得出C1點的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)原點O為位似中心，位似比為1：2，即可得出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，進(jìn)而得到C2點的坐標(biāo)；
（3）依據(jù)原點O為位似中心，位似比為1：2，即可得出對應(yīng)點D2的坐標(biāo)．
【解析】（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求，C1（﹣3，2）；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，C2（6，4）；
（3）∵原點O為位似中心，位似比為1：2，
∴點D（a，b）的對應(yīng)點D2的坐標(biāo)為（2a，2b）．
【小結(jié)】此題主要考查了利用位似變換進(jìn)行作圖，正確利用位似的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置是解題的關(guān)鍵．

變式52 已知，△ABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，點A，B，C的坐標(biāo)分別為（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1與△ABC是以點P為位似中心的位似圖形．
（1）請畫出點P的位置，并寫出點P的坐標(biāo)　 ??；
（2）以點O為位似中心，在y軸左側(cè)畫出△ABC的位似圖形△A2B2C2，使相似比為1：1，若點M（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則點M在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為　 ?。?br />
【分析】（1）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心的位置；
（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標(biāo)即可．
【解析】（1）如圖所示：點P（0，﹣2）；

（2）如圖所示：△A2B2C2即為所求，點M對應(yīng)點的坐標(biāo)為：（﹣a，﹣b）．
故答案為：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
【小結(jié)】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

變式53 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，給出了格點△ABC（頂點均在正方形網(wǎng)格的格點上），已知點A的坐標(biāo)為（﹣4，3）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1．
（2）以點O為位似中心，在給定網(wǎng)格中畫△A2B2C2，使△ABC與△A2B2C2位似，且點A2坐標(biāo)為（8，﹣6）．
（3）△ABC與△A2B2C2的位似比是　 　．

【分析】（1）直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)得出答案；
（2）直接利用對應(yīng)點的坐標(biāo)變化得出對應(yīng)點位置進(jìn)而得出答案；
（3）直接利用（2）中對應(yīng)點變化進(jìn)而得出位似比．
【解析】（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；

（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求；
（3）△ABC與△A2B2C2的位似比是：1：2．
【小結(jié)】此題主要考查了位似變換以及關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．

變式54 在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；
（2）以點O為位似中心，網(wǎng)格中畫出△A1B1C1位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1相似比為2：1；
（3）設(shè)點P（a，b）為△ABC內(nèi)一點，則依上述兩次變換后點P在△A2B2C2內(nèi)的對應(yīng)點P2的坐標(biāo)是　 ?。?br />
【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可；
（2）利用關(guān)于原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，把點A1、B1、C1的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點即可；
（3）利用（2）中的坐標(biāo)變換規(guī)律求解．
【解析】（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，△A2B2C2為所作；

（3）點P的對應(yīng)點P2的坐標(biāo)是（2a，﹣2b）．
【小結(jié)】本題考查了作圖﹣位似變換：掌握畫位似圖形的一般步驟為（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形）．



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