中考數(shù)學(xué)章節(jié)考點(diǎn)梳理二次函數(shù)章節(jié)涉及的14個(gè)必考點(diǎn)全梳理

這是一份中考數(shù)學(xué)章節(jié)考點(diǎn)梳理二次函數(shù)章節(jié)涉及的14個(gè)必考點(diǎn)全梳理，共69頁(yè)。學(xué)案主要包含了變式7-3等內(nèi)容，歡迎下載使用。
已知函數(shù)：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進(jìn)行分析即可．
【解析】②④是二次函數(shù)，共2個(gè)，故選：B．
【小結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）是二次函數(shù)，注意a≠0這一條件．
下列各式中，一定是二次函數(shù)的有（ ）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y=1x2?3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】整理一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函數(shù)的定義，不是二次函數(shù)；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函數(shù)；
③y=1x2?3x+5，分母中含有自變量，不是二次函數(shù)；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函數(shù)；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四個(gè)自變量，不是二次函數(shù)；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有兩個(gè)自變量，不是二次函數(shù)；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有兩個(gè)自變量，不一定是二次函數(shù)．
∴只有②④一定是二次函數(shù)．故選：B．
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義和二次函數(shù)的一般形式．
若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m＝ ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．
【解析】由題意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零．
函數(shù)y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，則當(dāng)m＝ 時(shí)，它為正比例函數(shù)；當(dāng)m＝ 時(shí)，它為一次函數(shù)；當(dāng)m 時(shí)，它為二次函數(shù)．
【分析】首先解方程，進(jìn)而利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義得出答案．
【解析】m2﹣3m+2＝0，則（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2時(shí)，它為二次函數(shù)；當(dāng)m＝1或2時(shí)，它為一次函數(shù)，當(dāng)m＝1時(shí)，它為正比例函數(shù)；
故答案為：1；1或2；m≠1且m≠2
【小結(jié)】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義，正確解方程是解題關(guān)鍵．
一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象
判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的問(wèn)題關(guān)鍵在于掌握數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)圖象可以逐一去判斷一次函數(shù)及二次函數(shù)的系數(shù)關(guān)系．
一次函數(shù)y＝acx+b與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】先由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)y＝acx+b的圖象相比較看是否一致．
【解析】A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故不合題意；
B、由拋物線可知，a＞0，b＞0，c＞0，則ac＞0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項(xiàng)符合題意；
C、由拋物線可知，a＜0，b＞0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＜0，b＜0，故本選項(xiàng)不合題意；
D、由拋物線可知，a＜0，b＜0，c＞0，則ac＜0，由直線可知，ac＞0，b＞0，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：B．
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)．
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+b（a≠0）與一次函數(shù)y＝ax+b的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口以及對(duì)稱軸與y軸的關(guān)系即可得出a、b的正負(fù)，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，再與函數(shù)圖象進(jìn)行對(duì)比即可得出結(jié)論．
【解析】A、二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，
∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B、∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a＜0，b＜0，
∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
C、二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，
∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故C正確；
∵D、二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a＞0，b＜0，
∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、三、四象限，且與二次函數(shù)交于y軸負(fù)半軸的同一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；
故選：C．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)a、b的正負(fù)確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限是解題的關(guān)鍵．
已知a，b是非零實(shí)數(shù)，|a|＞|b|，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y1＝ax2+bx與一次函數(shù)y2＝ax+b的大致圖象不可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）可以求得它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷a、b的正負(fù)情況，從而可以解答本題．
【解析】y=ax2+bxy=ax+b解得x=?bay=0或x=1y=a+b．
故二次函數(shù)y＝ax2+bx與一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)在x軸上為（?ba，0）或點(diǎn)（1，a+b）．
在A中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＞0，二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，?ba＜0，a+b＞0，故有可能；
在B中，由一次函數(shù)圖象可知a＞0，b＜0，二次函數(shù)圖象知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，則a+b＞0，有可能；
在C中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＜0，二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故選項(xiàng)C有可能；
在D中，由一次函數(shù)圖象可知a＜0，b＞0，二次函數(shù)圖象知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，則a+b＜0，不可能；
故選：D．
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)．
下面所示各圖是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c與一次函數(shù)y＝ax+c的大致圖象．正確的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合要求，從而解答本題．
【解析】令ax2+（a+c）x+c＝ax+c，解得，x1＝0，x2=?ca，
∴二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c與一次函數(shù)y＝ax+c的交點(diǎn)為（0，c），（?ca，0），
選項(xiàng)A中二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函數(shù)y＝ax+c中a＜0，c＞0，不符題意，
選項(xiàng)B中二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函數(shù)y＝ax+c中a＞0，c＜0，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)不符合求得的交點(diǎn)的特點(diǎn)，故選項(xiàng)B不符題意，
選項(xiàng)C中二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函數(shù)y＝ax+c中a＜0，c＞0，交點(diǎn)符合求得的交點(diǎn)的情況，故選項(xiàng)C符合題意，
選項(xiàng)D中二次函數(shù)y＝ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函數(shù)y＝ax+c中a＞0，c＜0，不符題意，
故選：C．
【小結(jié)】本題考查一次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)，需熟悉拋物線的有關(guān)性質(zhì)：拋物線的開(kāi)口向上，則拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越大．
已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】求出拋物線的對(duì)稱軸，求出A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向和增減性，即可求出答案．
【解析】y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），對(duì)稱軸是直線x=??2a2a=1，
即二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1，
即在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，
A點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)是D（3，y1），
∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故選：A．
【小結(jié)】本題考查了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和運(yùn)用，主要考查學(xué)生的觀察能力和分析能力，本題比較典型，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．
已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a＞0）過(guò)A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】由題意可知拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝﹣1，然后根據(jù)點(diǎn)A（﹣2、y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y2）、D（3，y3）離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近可判斷y1、y2、y3大小關(guān)系．．
【解析】拋物線y＝ax2+bx﹣2（a＞0）過(guò)A（﹣2，y1），B（﹣3，y2），C（1，y2），D（3，y3）四點(diǎn)，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=?3+12=?1．
∵|﹣1﹣（﹣2）|＜|1+1|＜|3+1|∴y3＞y2＞y1，故選：D．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題時(shí)，需熟悉拋物線的有關(guān)性質(zhì)：拋物線的開(kāi)口向上，則拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就越大．
若二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c的圖象，過(guò)不同的六點(diǎn)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式可知拋物線開(kāi)口向上，點(diǎn)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得拋物線對(duì)稱軸所處的范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷可得．
【解析】∵二次函數(shù)y＝a2x2﹣bx﹣c的圖象過(guò)點(diǎn)A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1），
∴拋物線的對(duì)稱軸直線x滿足5＜2x+1＜6，即2＜x＜2.5，拋物線的開(kāi)口向上，
∴拋物線上離對(duì)稱軸水平距離越大的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值越大，
∵D（2，y1）、E（2，y2）、F（4，y3），則y2＜y1＜y3，故選：D．
【小結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)題意得到拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向是解題的關(guān)鍵．
已知拋物線y=m2x2﹣mx+c（m＞0）過(guò)兩點(diǎn)A（x0，y0）和B（x1，y1），若x0＜1＜x1，且x0+x1＝3．則y0與y1的大小關(guān)系為（ ）
A．y0＜y1B．y0＝y(tǒng)1C．y0＞y1D．不能確定
【分析】由拋物線解析式可知開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【解析】∵拋物線y=m2x2﹣mx+c（m＞0）中，m＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=??m2×m2=1，
∵x0＜1＜x1，∴A點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，B點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，
若y0＝y(tǒng)1，則x1﹣1＝1﹣x0，此時(shí)x0+x1＝2，不合題意；
若y0＞y1，則x1﹣1＜1﹣x0，此時(shí)x0+x1＜2，不合題意；
若y0＜y1，則x1﹣1＞1﹣x0，此時(shí)x0+x1＞2，符合題意；
故選：A．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，由點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離與函數(shù)值的大小的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二次函數(shù)圖象與幾何變換
解決二次函數(shù)圖象與幾何變換類型題，需要掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化求解更簡(jiǎn)便．
拋物線y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由拋物線y＝﹣x2經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的（ ）
A．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位
【分析】找到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到．
【解析】原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），新拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣3），
∴是拋物線y＝﹣x2向右平移1個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位得到，故選：C．
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
將拋物線y＝x2﹣4x﹣4向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把拋物線y＝x2﹣4x﹣4化為頂點(diǎn)式的形式，再由二次函數(shù)平移的法則即可得出結(jié)論．
【解析】∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴將拋物線y＝x2﹣4x﹣4向左平移3個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．故選：D．
【小結(jié)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則“左加右減，上加下減”是解答此題的關(guān)鍵．
已知二次函數(shù)y＝（x+2）2﹣1向左平移h個(gè)單位，再向下平移k個(gè)單位，得到二次函數(shù)y＝（x+3）2﹣4，則h和k的值分別為（ ）
A．1，3B．3，﹣4C．1，﹣3D．3，﹣3
【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)行解答即可．
【解析】∵拋物線y＝（x+2）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣1），則向左平移h個(gè)單位，再向下平移k個(gè)單位后的坐標(biāo)為：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），∴平移后拋物線的解析式為y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后拋物線的解析式為y＝（x+3）2﹣4．∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，∴h＝1，k＝3，故選：A．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．
將拋物線y＝（x﹣3）（x﹣5）先繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3
【分析】先求出拋物線的解析式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；最后根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的大小和形狀利用頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出即可．
【解析】y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此時(shí)，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，﹣1）．
將該拋物線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣4，1）．再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，1）．
所以此時(shí)拋物線的解析式為：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．故選：A．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點(diǎn)的變化求解更簡(jiǎn)便．
二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系
二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置． 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置．
在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給以下結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】由拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，利用拋物線的對(duì)稱軸方程得到b＝2a＞0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方得到c＜0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用x＝1，a+b+c＝0得到c＝﹣3a，則c+2a＝﹣a，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），則可對(duì)③進(jìn)行判斷；由于x＝﹣1時(shí)，y有最小值，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；利用拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)和判別式的意義可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．
【解析】∵拋物線開(kāi)口向上，∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a=?1，∴b＝2a＞0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正確；
∵x＝1時(shí)，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），
∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，所以③正確；
∵x＝﹣1時(shí)，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m為任意實(shí)數(shù)），
∴a﹣b≤m（am+b）（m為實(shí)數(shù)），所以④錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正確．故選：D．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，①2a+b＝0；②若m為任意實(shí)數(shù)，則a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口方向得a＜0，由拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值a+b+c，即可判斷②；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，所以a﹣b+c＜0，即可判斷③；把b＝﹣2a代入a﹣b+c＜0可對(duì)④進(jìn)行判斷；把a(bǔ)x12+bx1＝ax22+bx2先移項(xiàng)，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，則a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=?ba，然后把b＝﹣2a代入計(jì)算得到x1+x2＝2可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．
【解析】∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=?b2a=1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正確；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴函數(shù)的最大值為a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正確；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（3，0）的左側(cè)，而對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）的右側(cè)，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以③錯(cuò)誤；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正確；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2=?ba，又∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正確．
綜上所述，正確的有①②④⑤共4個(gè)．故選：C．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置． 當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 個(gè)．
【分析】由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b2﹣4ac＞0；有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，則根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（﹣1，2）得a﹣b+c＝2，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a=?1得b＝2a，所以c﹣a＝2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問(wèn)題，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x＝﹣1時(shí)，ax2+bx+c＝2，所以說(shuō)方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
【解析】∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，所以①錯(cuò)誤；
∵頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（﹣3，0）和（﹣2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?b2a=?1，∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正確；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x＝﹣1時(shí)，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．
綜上所述，共有3個(gè)正確結(jié)論，
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握以下性質(zhì)：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開(kāi)口向上；對(duì)稱軸為直線x=?b2a；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2﹣4ac＝0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
函數(shù)y＝x2+bx+c與y＝x的圖象如圖所示，有以上結(jié)論：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④當(dāng)1＜x＜3時(shí)，x2+（b﹣1）x+c＜0．正確的是 （填序號(hào)）
【分析】由函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸無(wú)交點(diǎn)，可得b2﹣4c＜0；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1+b+c＝1；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9+3b+c＝3；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得x2+bx+c＜x，繼而可求得答案．
【解析】∵函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＜0；故①錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1+b+c＝1，故②錯(cuò)誤；又∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正確；
∵當(dāng)1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正確．
故答案為③④．
【小結(jié)】本題考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系
已知函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c+32=0的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)同號(hào)不等實(shí)數(shù)根
【分析】利用函數(shù)圖象平移即可求解．
【解析】函數(shù)y＝ax2+bx+c向上平移32個(gè)單位得到y(tǒng)′＝ax2+bx+c+32，
而y′頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣2+32=?12，故y′＝ax2+bx+c+32與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)在x軸的右側(cè)，
故ax2+bx+c+32=0有兩個(gè)同號(hào)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．
【小結(jié)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，用平移的方法求解是此類題目的基本解法．
已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣3，0）與（1，0）兩點(diǎn)，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，這兩個(gè)整數(shù)根是（ ）
A．﹣2或0B．﹣4或2C．﹣5或3D．﹣6或4
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，可以得到關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的兩個(gè)整數(shù)根，從而可以解答本題．
【解析】∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（﹣3，0）與（1，0）兩點(diǎn)，
∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝ax2+bx+c的兩個(gè)根為﹣3和1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，
又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個(gè)根，其中一個(gè)根是3．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個(gè)根為﹣5，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開(kāi)口向下，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個(gè)整數(shù)根，
∴這兩個(gè)整數(shù)根是﹣4或2，故選：B．
【小結(jié)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的關(guān)系解答．
已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)（x1，0）與（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的兩根為m、n（m＜n），則下列判斷正確的是（ ）
A．m＜n＜x1＜x2B．m＜x1＜x2＜nC．x1+x2＞m+nD．b2﹣4ac≥0
【分析】把方程ax2+bx+c﹣a＝0的兩根為m、n（m＜n），理解為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝a的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n，然后討論a＞0和a＜0，利用圖象可確定m、n、x1、x2的大?。?br>【解析】當(dāng)a＞0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的兩根為m、n，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝a的交點(diǎn)在x軸上方，它們的橫坐標(biāo)分別為m、n，∴m＜x1＜x2＜n；
當(dāng)a＜0，∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的兩根為m、n，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝a的交點(diǎn)在x軸下方，它們的橫坐標(biāo)分別為m、n，∴m＜x1＜x2＜n．
故選：B．
【小結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取c時(shí)，函數(shù)值y等于0，則稱c為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根x3，x4（x3＜x4），則下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞1
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）的圖象以及直線y＝﹣2，根據(jù)圖象即可判斷．
【解析】由題意關(guān)于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根x3，x4（x3＜x4），就是關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）與直線y＝﹣2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
畫(huà)出函數(shù)的圖象草圖如下：
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??102×(?1)=?5，∴x3＜x1＜﹣5，
由圖象可知：0＜x1x3＜1一定成立，故選：A．
【小結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用圖象判斷是解題的關(guān)鍵．
二次函數(shù)與解不等式
二次函數(shù)與不等式（組）：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．
數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，我們可以借助函數(shù)的圖象求某些較為復(fù)雜不等式的解集．比如，求不等式x﹣1＞2x的解集，可以先構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)y1＝x﹣1和y2=2x，再在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖1所示），通過(guò)觀察所畫(huà)函數(shù)的圖象可知：它們交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）兩點(diǎn)，當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞2時(shí)，y1＞y2，由此得到不等式x﹣1＞2x的解集為﹣1＜x＜0或x＞2．
根據(jù)上述說(shuō)明，解答下列問(wèn)題：
（1）要求不等式x2+3x＞x+3的解集，可先構(gòu)造出函數(shù)y1＝x2+3x和函數(shù)y2＝ ；
（2）圖2中已作出了函數(shù)y1＝x2+3x的圖象，請(qǐng)?jiān)谄渲凶鞒龊瘮?shù)y2的圖象；
（3）觀察所作函數(shù)的圖象，求出不等式x2+3x＞x+3的解集．
【分析】（1）由題干材料中的方法可得答案；
（2）根據(jù)y2＝x+3過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）和（1，4），利用兩點(diǎn)確定一條直線畫(huà)出函數(shù)的圖象即可；
（3）根據(jù)（2）中圖象即可得出答案．
【解析】（1）根據(jù)題意可得y2＝x+3；（2）作出函數(shù)y2的圖象如下：
（3）∵由圖可知：函數(shù)y1和y2的圖象交于（1，4）和（﹣3，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x＜﹣3或x＞1時(shí)，y1＞y2，
∴不等式x2+3x＞x+3的解集為x＜﹣3或x＞1．
【小結(jié)】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合并明確函數(shù)與不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）和一次函數(shù)y＝kx+m（k，m為常數(shù)，且k≠0）的圖象如圖所示，交于點(diǎn)M （?32，2）、N （2，﹣2），則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是 ．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，寫(xiě)出一次函數(shù)圖象在拋物線上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解析】當(dāng)?32＜x＜2時(shí)，ax2+bx+c＜kx+m，
所以不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣m＜0的解集為?32＜x＜2．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與不等式（組）：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）與不等式的關(guān)系，利用兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點(diǎn)直觀求解，也可把兩個(gè)函數(shù)解析式列成不等式求解．
如圖，二次函數(shù)y＝（x+2）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣1，0），點(diǎn)B在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，根據(jù)圖象，則滿足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范圍是 ．
【分析】將點(diǎn)A代入拋物線中可求m＝﹣1，則可求拋物線的解析式為y＝x2+4x+3，對(duì)稱軸為x＝﹣2，則滿足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范圍為﹣4≤x≤﹣1．
【解析】拋物線y＝（x+2）2+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴拋物線解析式為y＝x2+4x+3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，3），∴對(duì)稱軸為x＝﹣2，
∵B與C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，3），
∴滿足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范圍為﹣4≤x≤﹣1，
【小結(jié)】考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)解析求法，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2020秋?張家港市期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與一次函數(shù)y＝x的圖象如圖所示，則不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集為 ．
【分析】根據(jù)當(dāng)1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得ax2+bx+c＜x，繼而可求得答案．
【解析】∵當(dāng)1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，
∴ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0．
∴不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集為1＜x＜3，
故答案為1＜x＜3．
【小結(jié)】主要考查二次函數(shù)與不等式（組），此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題
如圖，P是拋物線y＝x2﹣x﹣4在第四象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則四邊形OAPB周長(zhǎng)的最大值為 ．
【分析】設(shè)P（x，x2﹣x﹣4）根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+10．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值即可．
【解析】設(shè)P（x，x2﹣x﹣4），
四邊形OAPB周長(zhǎng)＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣x﹣4）+2x＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，
當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形OAPB周長(zhǎng)有最大值，最大值為10．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
如圖，拋物線y＝x2+5x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P在線段AC上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為 ．
【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再確定C（0，4），則可利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y＝x+4，設(shè)P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．
【解析】當(dāng)y＝0時(shí)，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，則A（﹣4，0），B（﹣1，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+5x+4＝4，則C（0，4），
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得?4k+b=0b=4，解得k=1b=4，
∴直線AC的解析式為y＝x+4，
設(shè)P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），則Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∴當(dāng)t＝﹣2時(shí)，PQ有最大值，最大值為4．故答案為4．
【小結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
如圖，開(kāi)口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)四邊形CABP的面積為S，求S的最大值．
【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣2），再將點(diǎn)C代入，求出a值即可；
（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，利用S四邊形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S關(guān)于m的表達(dá)式，再求最值即可．
【解析】（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），
設(shè)拋物線表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣2），將C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，
∴該拋物線的解析式為：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；
（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，
∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，
∴S＝S四邊形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB
=12×1×4+12×4m+12×2×（﹣2m2+2m+4）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8，
當(dāng)m＝1時(shí)，S最大，最大值為8．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是能將四邊形CABP的面積表示出來(lái)．
如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在軸y上．
（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長(zhǎng)為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．
①求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
②線段PE的長(zhǎng)h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)的x值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？
【分析】（1）因?yàn)橹本€y＝x+m過(guò)點(diǎn)A，將A點(diǎn)坐標(biāo)直接代入解析式即可求得m的值；設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，將（3，4）代入即可．
（2）①由于P和E的橫坐標(biāo)相同，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標(biāo)表達(dá)式，h即為二者之差；根據(jù)P、E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3．
②利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）∵點(diǎn)A（3，4）在直線y＝x+m上，∴4＝3+m．∴m＝1．
設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝a（x﹣1）2．
∵點(diǎn)A（3，4）在二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2的圖象上，∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝（x﹣1）2．即y＝x2﹣2x+1．
（2）①設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yP和yE．
∴PE＝h＝y(tǒng)P﹣yE＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x．
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）．
②存在．∵h(yuǎn)＝﹣（x?32）2+94，
又∵a＝﹣1＜0，∴x=32時(shí)，h的值最大，最大值為94．
【小結(jié)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
二次函數(shù)新定義問(wèn)題
我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫(xiě)出下列五個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝1；
③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；
④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；
⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最大值是4，
A．4B．3C．2D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x＝1，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，因此④也是正確的；從圖象上看，當(dāng)x＜﹣1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x＝1時(shí)的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤不正確；逐個(gè)判斷之后，可得答案．
【解析】①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐標(biāo)都滿足函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正確的；
②從圖象可知圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸可用對(duì)稱軸公式求得是直線x＝1，因此②也是正確的；
③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，③也是正確的；
④函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，④正確
⑤從圖象上看，當(dāng)x＜﹣1或x＞3，函數(shù)值要大于當(dāng)x＝1時(shí)的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正確的；
故選：A．
【小結(jié)】考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，理解“鵲橋”函數(shù)y＝|ax2+bx+c|的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與y＝|ax2+bx+c|與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c之間的關(guān)系；兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)、對(duì)稱性、對(duì)稱軸及最值的求法以及增減性應(yīng)熟練掌握．
定義[a、b、c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝﹣3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（13，83）；②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于32；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在x＞14時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，正確的結(jié)論是 ．
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷后即可確定正確的答案．
【解析】把m＝﹣3代入，得a＝﹣6，b＝4，c＝2，函數(shù)解析式為y＝﹣6x2+4x+2，利用頂點(diǎn)公式可以求出頂點(diǎn)為（13，83），①正確；
函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（?m+12m，0），
當(dāng)m＞0時(shí)，1﹣（?m+12m）=32+12m＞32，②正確；
當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=14?14m＞14，
∴x可能在對(duì)稱軸左側(cè)也可能在對(duì)稱軸右側(cè)，③錯(cuò)誤；
y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝m（2x2﹣x﹣1）+x﹣1，若使函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，m≠0時(shí)，應(yīng)使2x2﹣x﹣1＝0，可得x1＝1，x2=?12，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，當(dāng)x=?12時(shí)，y=?32，則函數(shù)一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）和（?12，?32），④正確．
故答案為：①②④．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記二次函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，這往往是進(jìn)一步研究二次函數(shù)的性質(zhì)的基礎(chǔ)．
對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足y≤M，那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界．例如，函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函數(shù)，其上確界是2，如果函數(shù)y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上確界是n，且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過(guò)2m，則m的取值范圍是（ ）
A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤12
【分析】根據(jù)函數(shù)的上確界和函數(shù)增減性得到﹣2m+1＝n，函數(shù)的最小值為﹣2n+1，根據(jù)m＜n，函數(shù)的最小值不超過(guò)2m，列不等式求解集即可．
【解析】∵在y＝﹣2x+1中，y隨x的增大而減小，∴上確界為﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，
∵函數(shù)的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤12，又∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．
解得m＜13，綜上，m＜13故選：B．
【小結(jié)】本題主要考查了對(duì)定義函數(shù)的理解和一次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用；一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降；能夠正確理解有界函數(shù)和上確界是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問(wèn)題：
小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：
定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
請(qǐng)思考小明的方法解決下面問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．
（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2020的值．
（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【分析】（1）由二次函數(shù)的解析式可得出a1，b1，c1的值，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義可求出a2，b2，c2的值，此問(wèn)得解；
（2）由函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可求出m，n的值，將其代入（m+n）2020即可求出結(jié)論；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)可求出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，由點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式可求出過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式，由兩函數(shù)的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可證出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3函數(shù)可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函數(shù)y＝x2﹣4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，∴m?1=?nn?3=0，解得：m=?2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）證明：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣6）．當(dāng)y＝0時(shí)，2（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
∵點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
設(shè)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
將C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，
過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式為y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
【小結(jié)】本題考查了相反數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、對(duì)稱的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出a2，b2，c2的值；（2）利用“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出m，n的值；（3）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出過(guò)點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)解析式．
二次函數(shù)的應(yīng)用（拋物線形建筑問(wèn)題）
圖中所示的拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面4m時(shí)，水面寬8m．水面上升3米，水面寬度減少多少？下面給出了解決這個(gè)問(wèn)題的兩種建系方法．
方法一如圖1，以上升前的水面所在直線與拋物線左側(cè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，以上升前的水面所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy；
方法二如圖2，以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，
【分析】方法一：根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），設(shè)其解析式為y＝a（x﹣4）2+4，將（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，將點(diǎn)（4，﹣4）代入求得a的值，據(jù)此可得拋物線的解析式，再求出上漲3m后，即y＝﹣1時(shí)x的值即可得．
【解析】方法一、根據(jù)題意知，拋物線與x軸的交點(diǎn)為（0，0）、（8，0），其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
設(shè)解析式為y＝a（x﹣4）2+4，將點(diǎn)（0，0）代入，得：16a+4＝0，解得：a=?14，
則拋物線解析式為y=?14（x﹣4）2+4=?14x2+2x，
當(dāng)y＝3時(shí)，?14x2+2x＝3，解得：x＝2或x＝6，則水面的寬減少了8﹣（6﹣2）＝4（m）．
方法二：由題意知，拋物線過(guò)點(diǎn)（4，﹣4），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，將點(diǎn)（4，﹣4）代入，得：16a＝﹣4，解得：a=?14，
所以拋物線解析式為y=?14x2，
當(dāng)y＝﹣1時(shí)，?14x2＝﹣1，解得：x＝2或x＝﹣2，則水面的寬減少了8﹣4＝4（m）．
【小結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系及熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
如圖，是某市一條河上一座古拱撟的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線拱橋處于正常水位時(shí)水面寬AB為26m，當(dāng)水位上漲1m時(shí)，拋物線拱橋的水面寬CD為24m．現(xiàn)以水面AB所在直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）經(jīng)過(guò)測(cè)算，水面離拱橋頂端1.5m時(shí)為警戒水位．某次洪水到來(lái)時(shí)，小明用儀器測(cè)得水面寬為10m，請(qǐng)你幫助小明算一算，此時(shí)水面是否超過(guò)警戒水位？
【分析】（1）設(shè)拋物線解析式的一般形式，取對(duì)稱軸為y軸，將拋物線的位置特殊化，簡(jiǎn)化拋物線解析式，根據(jù)圖形選取兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解析式；
（2）根據(jù)解析式解決實(shí)際問(wèn)題．
【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵對(duì)稱軸為y軸，∴y=?b2a=0，∴b＝0，
∴y＝ax2+c，由題意得，拋物線過(guò)點(diǎn)（13，0），（12，1），
把 x=13y=0，x=12y=1，代入得 169a+c=0144a+c=1，解得 a=?125c=16925，∴拋物線的解析式為y=?125x2+16925；
（2）由題意得，把x＝5代入y=?125x2+16925=y=?125×25+16925=14425，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（5，14425），∴MH＝OM﹣OH=16925?14425=1m，
∵1m＜1.5m，∴此時(shí)水面超過(guò)警戒水位．
【小結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題時(shí)要根據(jù)題意畫(huà)出圖形找出各點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)解出此題，這是本題的關(guān)鍵．
某坦克部隊(duì)需要經(jīng)過(guò)一個(gè)拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．
（1）以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；
（2）若支柱每米造價(jià)為2萬(wàn)元，求5根支柱的總造價(jià)；
（3）拱橋下面是雙向行車(chē)道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車(chē)道是坦克的行進(jìn)方向，現(xiàn)每輛坦克長(zhǎng)4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計(jì)，試問(wèn)120輛該型號(hào)坦克從剛開(kāi)始進(jìn)入到全部通過(guò)這座長(zhǎng)1000m的拱橋隧道所需最短時(shí)間為多少分鐘？
【分析】（1）根據(jù)題目可知A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式代入可求解．
（2）把x＝5代入可求出支柱的長(zhǎng)度，然后算出總造價(jià)即可．
（3）先求出坦克方隊(duì)的長(zhǎng)，然后算出速度，從而求得通過(guò)隧道的時(shí)間即可．
【解答】【解】（1）設(shè)y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入得a=?350，c＝6．∴y=?350x2+6．
（2）當(dāng)x＝5時(shí)，y=?350×52+6=92，
∴EF＝10?92=112，CD＝10﹣6＝4，
支柱的總造價(jià)為2（2×112+2×10+4）＝70（萬(wàn)元）．
（3）∵坦克的高為3米，令y＝3時(shí)，?350x2+6＝3，解得：x＝±52，
∵7＜52＜8，坦克寬為2米，
∴可以并排3輛坦克行駛，此時(shí)坦克方陣的長(zhǎng)為120÷3×4＝160（米），
坦克的行駛速度為24km/h＝400米/分，
∴通過(guò)隧道的最短時(shí)間為1000+160400=2.9（分）．
【小結(jié)】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，已知OA＝12米，OB＝4米，拋物線頂點(diǎn)D到地面OA的垂直距離為10米，以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）由于隧道較長(zhǎng)，需要在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，使它們到地面的高度相同，如果燈離地面的高度不超過(guò)8米，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？
（3）一輛特殊貨運(yùn)汽車(chē)載著一個(gè)長(zhǎng)方體集裝箱，集裝箱寬為4m，最高處與地面距離為6m，隧道內(nèi)設(shè)雙向行車(chē)道，雙向行車(chē)道間隔距離為0.5m，交通部門(mén)規(guī)定，車(chē)載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5m，才能安全通行，問(wèn)這輛特殊貨車(chē)能否安全通過(guò)隧道？
【分析】（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（6，10），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+10，把點(diǎn)B點(diǎn)代入即可
（2）由圖象可知，高度越高，兩排燈間的距離越近，把y＝8代入（1）所得解析式，求得一元二次方程的兩個(gè)根，它們的差即為答案，
（3）由圖象結(jié)合題意可知，集裝箱與隧道最接近的位置在此坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)為x＝6.25+4，代入（1）所得解析式，判斷是夠大于6.5即可．
【解析】（1）根據(jù)題意，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+10，把點(diǎn)B（0，4）代入得：36a+10＝4，解得：a=?16，
即所求拋物線的解析式為：y=?16（x﹣6）2+10，
（2）由圖象可知，高度越高，兩排等間的距離越近，
把y＝8代入y=?16（x﹣6）2+10得：?16（x﹣6）2+10＝8，
解得：x1＝6+23，x2＝6﹣23，所求最小距離為：x1﹣x2＝43，
答：兩排燈的水平距離最小是43米，
（3）根據(jù)題意，當(dāng)x＝6.25+4＝10.25時(shí)，y=?16（10.25﹣6）2+10=67196＞6.5，∴能安全通過(guò)隧道，
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意并結(jié)合圖象列式求解，難度較大，綜合程度較高．
二次函數(shù)的應(yīng)用（拋物線形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）
周末，小明陪爸爸去打高爾夫求，小明看到爸爸打出的球的飛行路線的形狀如圖，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行路線是一條拋物線．小明測(cè)得小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）的幾組值后，發(fā)現(xiàn)h與t滿足的函數(shù)關(guān)系式是h＝20t﹣5t2．
（1）小球飛行時(shí)間是多少時(shí)達(dá)到最大高度，求最大高度是多少？
（2）小球飛行時(shí)間t在什么范圍時(shí)，飛行高度不低于15m？
【分析】（1）求函數(shù)的最大值即可；
（2）把h≥15代入函數(shù)關(guān)系式，即可求解．
【解析】（1）h＝20t﹣5t2．
∵﹣5＜0，故h有最大值，
當(dāng)t=?202×(?5)=2，此時(shí)h的最大值為20，
∴當(dāng)t＝2s時(shí)，最大高度是20m．
（2）令h≥15，則h＝20t﹣5t2≥15，
解得：1≤t≤3，
∴1≤t≤3時(shí)，飛行高度不低于15m．
【小結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，我們首先要吃透題意，將所求的問(wèn)題對(duì)應(yīng)到函數(shù)中的變量，進(jìn)而求解．
九年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高209m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈距地面3m．
（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式并判斷此球能否準(zhǔn)確投中？
（2）此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲前面1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1m，那么他能否獲得成功？
【分析】（1）觀察函數(shù)圖象可知：拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，209），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，4），籃圈中心的坐標(biāo)是（7，3）．設(shè)拋物線的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證籃圈中心點(diǎn)是否在拋物線上，此題得解；
（2）代入x＝1求出y值，由該值小于3.1可得出蓋帽攔截成功．
【解析】（1）由題意可知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，209），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，4），籃圈中心的坐標(biāo)是（7，3）．
設(shè)拋物線的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，209），∴209=16a+4，解得：a=?19，
∴拋物線解析式為y=?19（x﹣4）2+4．
當(dāng)x＝7時(shí)，y=?19×（7﹣4）2+4＝3，
∴籃圈的中心點(diǎn)在拋物線上，∴能夠投中．
（2）∵當(dāng)x＝1時(shí)，y=?19×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
∴能夠蓋帽攔截成功．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）代入x＝1求出y值．
如圖，在某場(chǎng)足球比賽中，球員甲從球門(mén)底部中心點(diǎn)O的正前方10m處起腳射門(mén)，足球沿拋物線飛向球門(mén)中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為3m時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)足球飛行的水平距離為6m．已知球門(mén)的橫梁高OA為2.44m．
（1）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，問(wèn)此飛行足球能否進(jìn)球門(mén)？（不計(jì)其它情況）
（2）守門(mén)員乙站在距離球門(mén)2m處，他跳起時(shí)手的最大摸高為2.52m，他能阻止球員甲的此次射門(mén)嗎？如果不能，他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門(mén)？
【分析】（1）根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）求出當(dāng)x＝2時(shí)，拋物線的函數(shù)值，與2.52米進(jìn)行比較即可判斷，再利用y＝2.52求出x的值即可得出答案．
【解析】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），
設(shè)拋物線的解析式是：y＝a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3＝0，解得a=?112，
則拋物線是y=?112（x﹣4）2+3，
當(dāng)x＝0時(shí)，y=?112×16+3＝3?43=53＜2.44米，
故能射中球門(mén)；
（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y=?112（2﹣4）2+3=83＞2.52，
∴守門(mén)員乙不能阻止球員甲的此次射門(mén)，
當(dāng)y＝2.52時(shí)，y=?112（x﹣4）2+3＝2.52，解得：x1＝1.6，x2＝6.4（舍去），
∴2﹣1.6＝0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球員甲的射門(mén)．
【小結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求得解析式是關(guān)鍵．
如圖，某足球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)射門(mén)．將足球從離地面0.5m的A處正對(duì)球門(mén)踢出（點(diǎn)A在y軸上），足球的飛行高度y（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2+5t+c，已知足球飛行0.8s時(shí)，離地面的高度為3.5m．
（1）a＝ ?2516 ，c＝ 12 ；
（2）當(dāng)足球飛行的時(shí)間為多少時(shí)，足球離地面最高？最大高度是多少？
（3）若足球飛行的水平距離x（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系x＝10t，已知球門(mén)的高度為2.44m，如果該運(yùn)動(dòng)員正對(duì)球門(mén)射門(mén)時(shí)，離球門(mén)的水平距離為28m，他能否將球直接射入球門(mén)？
【分析】（1）由題意得：函數(shù)y＝at2+5t+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，0.5）（0.8，3.5），代入函數(shù)的表達(dá)式即可求出a，c的值；
（2）利用配方法即可求出足球飛行的時(shí)間以及足球離地面的最大高度；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，把t＝2.8代入解析式求出y的值和2.44m比較大小即可得到結(jié)論．
【解析】（1）由題意得：函數(shù)y＝at2+5t+c的圖象經(jīng)過(guò)（0，0.5）（0.8，3.5），
∴0.5=c3.5=0．82a+5×0.8+c，解得：a=?2516c=12，∴拋物線的解析式為：y=?2516t2+5t+12，
（2）∵y=?2516t2+5t+12，
∴y=?2516（t?85）2+92，∴當(dāng)t=85時(shí)，y最大＝4.5，
∴當(dāng)足球飛行的時(shí)間85s時(shí)，足球離地面最高，最大高度是4.5m；
（3）把x＝28代入x＝10t得t＝2.8，
∴當(dāng)t＝2.8時(shí)，y=?2516×2.82+5×2.8+12=2.25＜2.44，
∴他能將球直接射入球門(mén)．
【小結(jié)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及二次函數(shù)的應(yīng)用，正確求得解析式是解題的關(guān)鍵．
二次函數(shù)的應(yīng)用（面積問(wèn)題）
如圖，某農(nóng)場(chǎng)準(zhǔn)備圍建一個(gè)中間隔有一道籬笆的矩形花圈，現(xiàn)有長(zhǎng)為18米的籬笆，一邊靠墻，若墻長(zhǎng)a＝6米，設(shè)花圃的一邊AB為x米，面積為S米2．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；
（2）若邊BC不小于3米這個(gè)花圃的面積有最大值和最小值嗎？如果有，求出最大值和最小值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意可得S＝x（18﹣3x）化簡(jiǎn)得S＝﹣3x2+18x．
（2）根據(jù)題意得到二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
【解析】（1）S＝（18﹣3x）x＝﹣3x2+18x，18?3x≤63x＜18，∴4≤x＜6；
（2）∵18﹣3x≥3，解得：x≤5，∴4≤x≤5，
S＝﹣3x2+18x＝﹣3（x﹣3）2+27，
∴苗圃園的面積y有最大值，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，S有最大值，最大值是24；
當(dāng)x＝5時(shí)，S有最小值，最小值是15．
【小結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)籬笆長(zhǎng)度找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
某農(nóng)場(chǎng)擬用總長(zhǎng)為60m的建筑材料建三間矩形牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長(zhǎng)為40m），其中間用建筑材料做的墻隔開(kāi)（如圖）．設(shè)三間飼養(yǎng)室平行于墻的一邊合計(jì)用建筑材料x(chóng)m，總占地面積為ym2．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大？最大面積為多少？
【分析】（1）設(shè)飼養(yǎng)室長(zhǎng)為x（m），則寬為14（60﹣x）m，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式即可得，由墻可用長(zhǎng)≤40m可得x的范圍；
（2）把函數(shù)關(guān)系式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】（1）根據(jù)題意得，y＝x?14（60﹣x）=?14x2+15x，
自變量的取值范圍為：0＜x≤40；
（2）∵y=?14x2+15x=?14（x﹣30）2+225，
∴當(dāng)x＝30時(shí)，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大，最大為225（m2）．
【小結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題以后，準(zhǔn)確列出二次函數(shù)關(guān)系式，正確運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)解題．
為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用本庫(kù)的岸堤（岸堤足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為160m的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①、②、③三塊矩形區(qū)域網(wǎng)箱，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，設(shè)BE的長(zhǎng)度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．
（1）則AE＝ m，BC＝ m；（用含字母x的代數(shù)式表示）
（2）求矩形區(qū)域ABCD的面積y的最大值．
【分析】（1）根據(jù)三個(gè)矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE＝2BE，設(shè)BE＝x，則有AE＝2x，BC＝80﹣4x；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時(shí)x的值即可．
【解析】（1）設(shè)BE的長(zhǎng)度為xm，
則AE＝2xm，BC＝（80﹣4x）m，
（2）根據(jù)題意得：y＝3x（80﹣4x）＝﹣12x2+240x＝﹣12（x﹣10）2+1200，
因?yàn)椹?2，所以當(dāng)x＝10時(shí)，y有最大值為1200．
答：矩形區(qū)域ABCD的面積的最大值為1200m2．
【小結(jié)】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長(zhǎng)為a米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開(kāi)．小俊設(shè)計(jì)了如圖甲和乙的兩種方案：
方案甲中AD的長(zhǎng)不超過(guò)墻長(zhǎng)；方案乙中AD的長(zhǎng)大于墻長(zhǎng)．
（1）若a＝6．
①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長(zhǎng)是多少米？
②按圖乙的方案，能?chē)傻木匦位ㄆ缘淖畲竺娣e是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能?chē)擅娣e最大的矩形花圃？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）①設(shè)AB的長(zhǎng)是x米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程；
②列出面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答；
（2）設(shè)AB＝x，能?chē)删匦位ㄆ缘拿娣e為S，根據(jù)題意列出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，再通過(guò)求最值方法解答．
【解析】（1）①設(shè)AB的長(zhǎng)是x米，則AD＝20﹣3x，根據(jù)題意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=53，
當(dāng)x=53時(shí)，AD＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，
②設(shè)BC的長(zhǎng)是x米，矩形花圃的最大面積是y平方米，則AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]=263?23x，
根據(jù)題意得，y＝x（263?23x）=?23x2+263x=?23(x?132)2+1696（x＞6），
∴當(dāng)x=132時(shí)，y有最大值為1696．
答：按圖乙的方案，能?chē)傻木匦位ㄆ缘淖畲竺娣e是1696平方米；
（2）設(shè)BC＝x，能?chē)傻木匦位ㄆ缘拿娣e為S，
按圖甲的方案，S＝x×20?x3=?13x2+203x=?13(x?10)2+1003，
∴在x＝a＜10時(shí)，S的值隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝a的最大值n時(shí)，S的值最大，為S?13(n?10)2+1003；
按圖乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x=?23(x?a+204)2+(a+20)224，
∴當(dāng)x=a+204時(shí)，S的值最大為S=(a+20)224，此時(shí)a取最大值n時(shí)，S的值最大為S=(n+20)224；
∵(n+20)224?[?13（n﹣10）2+1003]=9n2?120n+40024＞0，
∴(n+20)224＞?13(n?10)2+1003，
故第二種方案能?chē)擅娣e最大的矩形花圃．
【小結(jié)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確列出一元二次方程和函數(shù)解析式，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解答．
二次函數(shù)的應(yīng)用（利潤(rùn)問(wèn)題）
小紅經(jīng)營(yíng)的網(wǎng)店以銷(xiāo)售文具為主，其中一款筆記本進(jìn)價(jià)為每本10元，該網(wǎng)店在試銷(xiāo)售期間發(fā)現(xiàn)，每周銷(xiāo)售數(shù)量y（本）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，三對(duì)對(duì)應(yīng)值如下表：
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）通過(guò)與其他網(wǎng)店對(duì)比，小紅將這款筆記本的單價(jià)定為x元（12≤x≤15，且x為整數(shù)），設(shè)每周銷(xiāo)售該款筆記本所獲利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)每周所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意，可以得到w與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以解答本題．
【解析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx+b（k≠0），
代入得：12k+b=50014k+b=400，解得k=?50b=1100，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣50x+1100；
（2）由題意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴當(dāng)x＜16時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x為整數(shù)，
∴當(dāng)x＝15時(shí)，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：銷(xiāo)售單價(jià)為15元時(shí)，每周獲利最大，最大利潤(rùn)是1750元．
【小結(jié)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
新冠肺炎期間，某超市將購(gòu)進(jìn)一批口罩進(jìn)行銷(xiāo)售，已知購(gòu)進(jìn)4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，購(gòu)進(jìn)5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．兩種口罩以相同的售價(jià)銷(xiāo)售，甲口罩的銷(xiāo)量y1（盒）與售價(jià)x（元）之間的關(guān)系為y1＝400﹣8x；當(dāng)售價(jià)為40元時(shí)，乙口罩可銷(xiāo)售100盒，售價(jià)每提高1元，少銷(xiāo)售5盒．
（1）求甲、乙兩種口罩每盒的進(jìn)價(jià)分別為多少元？
（2）當(dāng)乙口罩的售價(jià)為多少元時(shí)，乙口罩的銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大？此時(shí)兩種口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)總和為多少？
（3）已知甲的銷(xiāo)售量不低于乙口罩的銷(xiāo)售量的1415，若使兩種口罩的利潤(rùn)總和最高，此時(shí)的定價(jià)應(yīng)為多少？
【分析】（1）設(shè)甲、乙兩種口罩每盒的進(jìn)價(jià)分別為x元、y元，由題意得方程組，求解即可．
（2）設(shè)乙口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，由題意得關(guān)于x的二次函數(shù)，將其寫(xiě)成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得乙口罩的售價(jià)及此時(shí)乙口罩的最大銷(xiāo)售總利潤(rùn)，然后此時(shí)甲的銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)而求得兩種口罩銷(xiāo)售利潤(rùn)總和．
（3）根據(jù)甲的銷(xiāo)售量不低于乙口罩的銷(xiāo)售量的1415列出不等式，解得x的范圍，再得出兩種口罩的利潤(rùn)總和w總關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得其對(duì)稱軸，從而可得答案．
【解析】（1）設(shè)甲、乙兩種口罩每盒的進(jìn)價(jià)分別為x元、y元，由題意得：4x+6y=2605x+4y=220，解得：x=20y=30．
∴甲、乙兩種口罩每盒的進(jìn)價(jià)分別為20元、30元．
（2）設(shè)乙口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，由題意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]＝﹣5x2+450x﹣9000＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴當(dāng)乙口罩的售價(jià)為45元時(shí)，乙口罩的銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大，為1125元．
當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)為：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此時(shí)兩種口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)總和為：1125+1000＝2125（元）．
∴當(dāng)乙口罩的售價(jià)為45元時(shí)，乙口罩的銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大，此時(shí)兩種口罩的銷(xiāo)售利潤(rùn)總和為2125元．
（3）由題意得：400﹣8x≥1415[100﹣5（x﹣40）]，解得：x≤36，
∵兩種口罩的利潤(rùn)總和w總＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴對(duì)稱軸為：x=50513＞36，
∴當(dāng)x＝36時(shí)，兩種口罩的利潤(rùn)總和最高．
∴若使兩種口罩的利潤(rùn)總和最高，此時(shí)的定價(jià)應(yīng)為36元．
【小結(jié)】本題考查了二元一次方程組、一次函數(shù)、二次函數(shù)及一元一次不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
某服裝廠生產(chǎn)A品種服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x件時(shí)，批發(fā)單價(jià)為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．
（1）當(dāng)100≤x≤300時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ．
（2）某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x（100≤x≤400）件，服裝廠的利潤(rùn)為w元，問(wèn)：x為何值時(shí)，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）當(dāng)x＝200時(shí)，代入y=?110x+110，確定批發(fā)單價(jià)，根據(jù)總價(jià)＝批發(fā)單價(jià)×200，進(jìn)而求出答案；
（3）首先根據(jù)服裝廠獲利w元，當(dāng)100≤x≤300且x為10整數(shù)倍時(shí)，得出w與x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而得出最值，再利用當(dāng)300＜x≤400時(shí)求出最值，進(jìn)而比較得出即可．
【解析】（1）當(dāng)100≤x≤300時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，根
據(jù)題意得出：100k+b=100300k+b=80，解得：k=?110b=110，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=?110x+110，
（2）當(dāng)x＝200時(shí)，y＝﹣20+110＝90，∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付18000元；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)100≤x≤300時(shí)，w＝（?110x+110﹣71）x=?110x2+39x=?110（x﹣195）2+3802.5，
∵批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍，
∴當(dāng)x＝190或200時(shí)，w有最大值是：?110（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②當(dāng)300＜x≤400時(shí)，w＝（80﹣71）x＝9x，
當(dāng)x＝400時(shí)，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批發(fā)A品牌服裝x（100≤x≤400）件時(shí)，x為190元或200元時(shí)，w最大，最大值是3800元．
【小結(jié)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，利用x的取值范圍不同得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
某公司銷(xiāo)售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷(xiāo)售單價(jià)、日銷(xiāo)售量的三組對(duì)應(yīng)數(shù)值如下表：
（1）直接寫(xiě)出y與x的關(guān)系式 ；
（2）求公司銷(xiāo)售該商品獲得的最大日利潤(rùn)；
（3）銷(xiāo)售一段時(shí)間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品銷(xiāo)售單價(jià)不能超過(guò)a元，在日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該商品的日銷(xiāo)售最大利潤(rùn)是1500元，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)題中所給的表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可得其關(guān)系式，也可以根據(jù)關(guān)系直接寫(xiě)出關(guān)系式；
（2）根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以件數(shù)，再利用配方法求得其最值；
（3）根據(jù)題意，列出關(guān)系式，再分類討論求最值，比較得到結(jié)果．
【解析】（1）設(shè)解析式為y＝kx+b，
將（40，80）和（60，60）代入，可得40k+b=8060k+b=60，解得：k=?1b=120，所以y與x的關(guān)系式為y＝﹣x+120，
（2）設(shè)公司銷(xiāo)售該商品獲得的日利潤(rùn)為w元，
w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，
∵x﹣30≥0，﹣x+120≥0，∴30≤x≤120，
∵a＝﹣1＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，∴當(dāng)x＝75時(shí)，w最大＝2025，
答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是75元時(shí)，最大日利潤(rùn)是2025元．
（3）w＝（x﹣30﹣10）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
當(dāng)w最大＝1500時(shí)，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵40≤x≤a，∴有兩種情況，
①a＜80時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝a＝70時(shí)，w最大＝1500，
②a≥80時(shí)，在40≤x≤a范圍內(nèi)w最大＝1600≠1500，∴這種情況不成立，
∴a＝70．
【小結(jié)】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一次函數(shù)解析式的求解，二次函數(shù)的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，注意正確找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題目．
二次函數(shù)的綜合（存在性問(wèn)題）
如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（2，0），B（﹣8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣8）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)F是直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BCF的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形？如果有，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）將A，B，C的坐標(biāo)代入函數(shù)y＝ax2+bx+c即可；
（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，求出直線BC的解析式，設(shè)F（m，12m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），再用含m的代數(shù)式表示出△BCF的面積，用函數(shù)的思想即可推出結(jié)論；
（3）此問(wèn)要分BQ＝BF，QB＝QF，F(xiàn)B＝FQ三種情況進(jìn)行討論，分別用勾股定理可求出m的值，進(jìn)一步寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解析】（1）將A（2，0），B（﹣8，0）C（0，﹣8）代入函數(shù)y＝ax2+bx+c，
得，4a+2b+c=064a?8b+c=00a+0b+c=?8，解得，a=12b=3c=?8，∴拋物線解析式為y=12x2+3x﹣8；
（2）如圖1中，作FN∥y軸交BC于N，
將B（﹣8，0）代入y＝kx﹣8，得，k＝﹣1，∴yBC＝﹣x﹣8，
設(shè)F（m，12m2+3m﹣8），則N（m，﹣m﹣8），
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC=12FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（12m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，
∴當(dāng)m＝﹣4時(shí)，△FBC的面積有最大值，此時(shí)F（﹣4，﹣12），∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是F（﹣4，﹣12）；
（3）存在點(diǎn)Q（0，m），使得△BFQ為等腰三角形，理由如下：
①如圖2﹣1，當(dāng)BQ＝BF時(shí)，由題意可列，82+m2＝（8﹣4）2+122，解得，m1＝46，m2＝﹣46，
∴Q1（0，46），Q2（0，﹣46）；
②如圖2﹣2，當(dāng)QB＝QF時(shí)，由題意可列，82+m2＝（m+12）2+42，解題，m＝﹣4，∴Q3（0，﹣4）；
③如圖2﹣3，當(dāng)FB＝FQ時(shí)，由題意可列，（8﹣4）2+122＝（m+12）2+42，解得，m1＝0，m2＝﹣24，
∴Q4（0，0），Q5（0，﹣24）；
設(shè)直線BF的解析式為y＝kx+b，
將B（﹣8，0），F(xiàn)（﹣4，﹣12）代入，得?8k+b=0?4k+b=?12，解得，k＝﹣3，b＝﹣24，∴yBF＝﹣3x﹣24，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣24，∴點(diǎn)B，F(xiàn)，Q重合，故Q5舍去，
∴點(diǎn)Q有坐標(biāo)為（0，46）或（0，﹣46）或（0，﹣4）或（0，0）．
【小結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形的最大面積，等腰三角形的存在性等，解題關(guān)鍵是要注意分討論思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）與點(diǎn)C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求該二次函數(shù)的解析式；
（3）若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，AB．請(qǐng)問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得△BDP面積恰好等于△ADB的面積？若存在請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，再確定B（0，﹣4）；
（2）利用（1）可以得到答案；
（3）連接OP，如圖，設(shè)P（m，14m2?32m﹣4）（0＜m＜8），利用S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD=12×3×（?14m2+32m+4）+12×4×m?12×3×4=12×5×4得到關(guān)于m的方程，然后解方程求出m可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得4a?2b?4=064a+8b?4=0，解得a=14b=?32，
∴拋物線的解析式為y=14x2?32x﹣4；當(dāng)x＝0時(shí)，y=14x2?32x﹣4＝﹣4，則B（0，﹣4），
（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=14x2?32x﹣4；
（3）存在．∵y=14x2?32x﹣4=14（x﹣3）2?254，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，∴D（3，0）．
由（1）知，B（0，﹣4）．連接OP，如圖，設(shè)P（m，14m2?32m﹣4）（0＜m＜8），
∵S△PBD＝S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=12×5×4＝10，
而△BDP的面積恰好等于△ADB的面積，∴12×3×（?14m2+32m+4）+12×4×m?12×3×4＝10，
整理得3m2﹣34m+80＝0，解得m1=103，m2＝8（舍去），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（103，?569）．
【小結(jié)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式和二次函數(shù)性質(zhì)．
如圖，拋物線過(guò)A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2，點(diǎn)P（m，n）是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．
（1）求直線AD及拋物線的解析式；
（2）求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？
（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)）R，使得P、Q、D、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣3過(guò)A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出拋物線的解析式，點(diǎn)D在拋物線上且橫坐標(biāo)為﹣2，可求點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求直線AD的解析式；
（2）點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)橫坐標(biāo)為m時(shí)，相應(yīng)的縱坐標(biāo)可以根據(jù)解析式表示出來(lái)，而PQ的長(zhǎng)l就是P點(diǎn)、Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，于是可以得到l與m的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的最值，可求m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)，PQ的最大值也能求出；
（3）使P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可以分兩種情況：一是PQ為一邊時(shí)，點(diǎn)R必在直線x＝﹣2上，再根據(jù)PQ為最大值以下的整數(shù)值，得到PQ的整數(shù)值，在直線x＝﹣2上可以找到點(diǎn)R的位置，確定點(diǎn)R的坐標(biāo)，得出在點(diǎn)D上方存在，在點(diǎn)D下方也存在；二是PQ為一條對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，PQ與DR互相平分，此時(shí)R與C 重合．
【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）
代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c=09a?3b+c=0c=?3，解得：a=1b=2c=?3，∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D（﹣2，﹣3），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：k+b=0?2k+b=?3 解得：k=1b=?1，
∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；
因此直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵點(diǎn)P在直線AD上，Q拋物線上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）
∴PQ的長(zhǎng)l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴當(dāng)m=??1?1×2=12時(shí)，PQ的長(zhǎng)l最大＝﹣（?12）2﹣（?12）+2=94．
答：線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式為：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
當(dāng)m=?12時(shí)，PQ最長(zhǎng)，最大值為94．
（3）①若PQ為平行四邊形的一邊，則R一定在直線x＝﹣2上，如圖：
∵PQ的長(zhǎng)為0＜PQ≤94的整數(shù)，∴PQ＝1或PQ＝2，
當(dāng)PQ＝1時(shí)，則DR＝1，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R1（﹣2，﹣2），在點(diǎn)D下方有R2（﹣2，﹣4）；
當(dāng)PQ＝2時(shí)，則DR＝2，此時(shí)，在點(diǎn)D上方有R3（﹣2，﹣1），在點(diǎn)D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ為平行四邊形的一條對(duì)角線，則PQ與DR互相平分，
當(dāng)PQ＝1時(shí)，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此時(shí)x不是整數(shù)，
當(dāng)PQ＝2時(shí)，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此時(shí)x1＝﹣1，x2＝0；當(dāng)x1＝﹣1，R與點(diǎn)C重合，即R5（0，﹣3），當(dāng)x2＝0；此時(shí)R6（2，﹣1）
綜上，符合條件點(diǎn)R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），
R6（2，﹣1）．
【小結(jié)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，應(yīng)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，點(diǎn)E為直線BC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)F，問(wèn)是否存在點(diǎn)E使△DEF為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）可設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，把C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式；
（2）根據(jù)題意可分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，可知DF∥x軸，則可求得E點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，可求得直線AD解析式，聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，代入直線BC可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【解析】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴可設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
把C（0，3）代入可得a（0﹣2）2﹣1＝3，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
（2）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+3，把B（3，0）代入得：3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，
由（1）可知拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，此時(shí)y＝﹣2+3＝1，∴D（2，1），∴AD2＝2，AC2＝10，CD2＝8，
∵AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，
由題意知EF∥y軸，則∠FED＝∠OCB≠90°，
∴△DEF為直角三角形，分∠DFE＝90°和∠EDF＝90°兩種情況，
①當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，即DF∥x軸，則D、F的縱坐標(biāo)相同，∴F點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)F在拋物線上，∴x2﹣4x+3＝1，解得x＝2±2，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2±2，
∵點(diǎn)E在直線BC上，∴當(dāng)x＝2+2時(shí)，y＝﹣x+3＝1?2，
當(dāng)x＝2?2時(shí)，y＝﹣x+3＝1+2，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2+2，1?2）或（2?2，1+2）；
②當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，且∠ADC＝90°，∴點(diǎn)F在直線AD上，
∵A（1，0），D（2，1），∴直線AD解析式為y＝x﹣1，∴直線AD與拋物線的交點(diǎn)即為F點(diǎn)，
聯(lián)立直線AD與拋物線解析式有x2﹣4x+3＝x﹣1，解得x＝1或x＝4，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣x+3＝2，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x+3＝﹣1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（4，﹣1），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)E，其坐標(biāo)為（2+2，1?2）或（2?2，1+2）或（1，2）或（4，﹣1）．
【小結(jié)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，直角三角形的判定及性質(zhì)，方程思想及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中注意拋物線三種形式的解析式的靈活運(yùn)用，在（2）中確定出點(diǎn)E的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
銷(xiāo)售單價(jià)x（元）
12
14
16
每周的銷(xiāo)售量y（本）
500
400
300
銷(xiāo)售單價(jià)x（元）
40
60
80
日銷(xiāo)售量y（件）
80
60
40