下列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2?3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
【解析】一元二次方程只有④，共1個(gè)，故選：A．
【小結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
關(guān)于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m＝（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可知，最高次數(shù)為2且二次項(xiàng)的系數(shù)不為0，即|m|＝2，且m+2≠0，解出m的值即可．
【解析】由題意可知：|m|＝2，且m+2≠0，
所以m＝±2且m≠﹣2．
所以m＝2．
故選：B．
【小結(jié)】本題考查一元二次方程的定義，要注意系數(shù)不為0，這是比較容易漏掉的條件．
若關(guān)于x的方程(a?1)xa2+1?7＝0是一元二次方程，則a＝ ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得到由此可以求得a的值．
【解析】∵關(guān)于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．
已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，該方程為一元二次方程？
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，該方程為一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定義可得關(guān)于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定義可利關(guān)于m的方程，可求得m的值．
【解析】（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即當(dāng)m≠±1時(shí)，方程為一元二次方程；
（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0為一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即當(dāng)m為﹣1時(shí)，方程為一元一次方程．
【小結(jié)】本題主要考查方程的定義，掌握一元一次方程、一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
將一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．﹣4，2B．4x，﹣2C．﹣4x，2D．3x2，2
【分析】首先把﹣4x移到等號(hào)左邊，把右邊化為0，然后再確定答案．
【解析】∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
則3x2﹣4x+2＝0
則一次項(xiàng)是﹣4x，常數(shù)項(xiàng)是2，
故選：C．
【小結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)鍵是掌握任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
已知一元二次方程﹣5x2+16x+3＝0，若把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，且使得方程根不變的是（ ）
A．5x2+16x+3＝0B．5x2﹣16x﹣3＝0
C．5x2+16x﹣3＝0D．5x2﹣16x+3＝0
【分析】本題主要是考查的移項(xiàng)的問題，移項(xiàng)的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)一：在等式的左右兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，所得結(jié)果仍然是等式．因此注意移項(xiàng)時(shí)要變號(hào)．
【解析】方程﹣5x2+16x+3＝0的二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，得5x2﹣16x﹣3＝0．故選：B．
【小結(jié)】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）．
關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項(xiàng)是0，則m的值（ ）
A．1B．1或2C．2D．±1
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）中a、b、c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．
【解析】由題意，得m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0，解得m＝2，故選：C．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
已知M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)），若存在x使得M＝N，則a，b，c的值可以分別為（ ）
A．1，﹣1，0B．1，0，﹣1C．0，1，﹣1D．0，﹣1，1
【分析】把M與N代入M＝N中，整理為一般形式，判斷方程有解即可得到結(jié)果．
【解析】由M＝2x2﹣2x+1，N＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)），且M＝N，
得到2x2﹣2x+1＝ax2+bx+c，即（a﹣2）x2+（b+2）x+c﹣1＝0，
則a，b，c的值可以分別為0，﹣1，1，即﹣2x2+x＝0，方程有解，故選：D．
【小結(jié)】此題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握其一般形式是解本題的關(guān)鍵．
一元二次方程的解
一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.
若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個(gè)根，則2020+2a﹣2b的值為（ ）
A．2018B．2020C．2022D．2024
【分析】把x＝﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可．
【解析】∵把x＝﹣1代入ax2+bx﹣1＝0得：a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，∴2014+2a﹣2b＝2020+2（a﹣b）＝2020+2＝2022．故選：C．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的解．解題時(shí)，逆用一元二次方程解的定義易得出所求式子的值，在解題時(shí)要重視解題思路的逆向分析．
a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2020的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2+a＝1，再把﹣2a2﹣2a+2020變形為﹣2（a2+a）+2020，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解析】∵a是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，
∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．故選：A．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程解．
若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則﹣a3+2a+2020的值為（ ）
A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣2019
【分析】先把a(bǔ)代入對(duì)已知進(jìn)行變形，再利用整體代入法求解．
【解析】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，
∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故選：C．
【小結(jié)】考查了一元二次方程的解的知識(shí)，解題關(guān)鍵是把a(bǔ)的值代入原方程，從中獲取代數(shù)式a2﹣1的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值．
已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式m2﹣2017m+2018m2+1+3的值等于 ．
【分析】利用m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個(gè)根得到m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，利用整體代入的方法得到原式＝m+1m+2，然后通分后再利用整體代入的方法計(jì)算．
【解析】∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一個(gè)根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，
∴m2﹣2017m+2018m2+1+3＝2018m﹣1﹣2017m+20182018m+3＝m+1m+2=m2+1m+2=2018mm+2＝2020．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解
解一元二次方程（指定方法）
解決此類問題需熟練掌握直接開方法、配方法、公式法、因式分解法的步驟.
用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接開平方法） （2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程變形后，利用平方根的定義開方即可求出解；
（2）方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方即可求出解；
（3）方程整理為一般形式，找出a，b，c的值，當(dāng)根的判別式大于等于0時(shí)，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左邊提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．
【解析】（1）方程變形得：（x﹣1）2＝9，開方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程變形得：x2?52x=?12，配方得：x2?52x+2516=（x?54）2=1716，
開方得：x?54=±174，則x1=5+174，x2=5?174；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，這里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，∴x=1±52，則x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2．
【小結(jié)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各自解法是解本題的關(guān)鍵．
解下列方程：
（1）（y﹣2）（y﹣3）＝12；
（2）4（x+3）2＝25（x﹣1）2；
（3）2x2+3x﹣1＝0（請(qǐng)用配方法解）．
【分析】（1）根據(jù)因式分解法即可求出答案．
（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．
（3）根據(jù)配方法即可求出答案．
【解析】（1）∵（y﹣2）（y﹣3）＝12，
∴y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y＝6或y＝﹣1．
（2）∵4（x+3）2＝25（x﹣1）2，
∴4（x+3）2﹣25（x﹣1）2＝0，
∴[2（x+3）﹣5（x﹣1）][2（x+3）+5（x﹣1）]＝0，
∴（﹣3x+11）（7x+1）＝0，
∴x=113或x=?17．
（3）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴x2+32x?12=0，
∴x2+32x+916=1716，
∴（x+34）2=1716，
∴x=?3±174．
【小結(jié)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
按指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣4＝0（配方法）；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0（因式分解法）
【分析】（1）方程兩邊都除以2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移動(dòng)右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解；
（2）將方程整理后，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解
【解析】（1）2x2﹣5x﹣4＝0，
變形得：x2?52x＝2，
配方得：x2?52x+2516=5716，即（x?54）2=5716，
開方得：x?54=±574，
則x1=5+574，x2=5?574；
（2）3（x﹣2）+x2﹣2x＝0，
變形得：3（x﹣2）+x（x﹣2）＝0，即（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
【小結(jié)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法及配方法，利用因式分解法解方程時(shí)，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解．
用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
【分析】（1）將y﹣3看做整體，利用因式分解法求解可得；
（2）先整理為一般式，再利用公式法求解可得．
【解析】（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，則y﹣2＝0或y﹣1＝0，解得y＝2或y＝1；
（2）方程整理為一般式得x2﹣3x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣8，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣8）＝41＞0，則x=3±412．
【小結(jié)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
解一元二次方程（換元法）
換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值為（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
【分析】設(shè)x2﹣2x+1＝a，則（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝化為a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判斷即可．
【解析】設(shè)x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，
當(dāng)a＝﹣3時(shí)，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程無解；
當(dāng)a＝1時(shí)，x2﹣2x+1＝1，
此時(shí)方程有解，
故選：D．
【小結(jié)】本題考查了用換元法解一元二次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．
已知實(shí)數(shù)x滿足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，則代數(shù)式x2﹣x+2020的值為 ．
【分析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．
【解析】令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x?12）2?14≥?14，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案為：2023．
【小結(jié)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．
基本事實(shí)：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通過因式分解化為（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事實(shí)得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解為x＝3或x＝﹣2．
（1）試?yán)蒙鲜龌臼聦?shí)，解方程：3x2﹣x＝0；
（2）若實(shí)數(shù)m、n滿足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．
【分析】（1）利用材料中的因式分解法解該方程；
（2）設(shè)t＝m2+n2（t≥0），將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解該方程求得t的值即可．
【解析】（1）由原方程，得x（3x﹣1）＝0
∴x＝0或3x﹣1＝0
解得：x1＝0，x2=13；
（2）t＝m2+n2（t≥0），則由原方程，得t（t﹣1）﹣6＝0．
整理，得（t﹣3）（t+2）＝0．
所以t＝3或t＝﹣2（舍去）．
即m2+n2的值是3．
【小結(jié)】本題主要考查了因式分解法和換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．
例：用換元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．
解：設(shè)x2﹣4x＝y(tǒng)
原式＝（y+1）（y+2）﹣12
＝y(tǒng)2+3y﹣10
＝（y+5）（y﹣2）
＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）
（1）請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8進(jìn)行因式分解；
（2）憑你的數(shù)感，大膽嘗試解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．
【分析】（1）根據(jù)材料，用換元法進(jìn)行分解因式；
（2）設(shè)t＝x2﹣2x．將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，通過解方程求得t的值；然后解關(guān)于x的一元二次方程即可．
【解析】（1）設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)，
原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8
＝y(tǒng)2﹣3y﹣18
＝（y﹣6）（y+3）
＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；
（2）設(shè)t＝x2﹣2x．則（t+1）（t﹣3）＝0．
解得t＝﹣1或t＝3．
當(dāng)t＝﹣1時(shí)，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．解得x1＝x2＝1．
當(dāng)t＝3時(shí)，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．
解得x3＝3，x4＝﹣1．
綜上所述，原方程的解為x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
【小結(jié)】本題主要考查了換元法和因式分解法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．
根的判別式
根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
關(guān)于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定
【分析】先計(jì)算判別式，再進(jìn)行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【解析】△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）＝k2﹣6k+9﹣4+4k＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．
【小結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
關(guān)于x的方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)a＝0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根 B．當(dāng)a＝﹣1時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．當(dāng)a＝1時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．當(dāng)a≠0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
【分析】直接利用方程解的定義根的判別式分析求出即可．
【解析】A、當(dāng)a＝0時(shí)，方程為x﹣1＝0，解得x＝1，
故當(dāng)a＝0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；不符合題意；
B、當(dāng)a＝﹣1時(shí)，關(guān)于x的方程為﹣x2+2x﹣1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，∴當(dāng)a＝﹣1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意；
C、當(dāng)a＝1時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣1＝0，故當(dāng)a＝1時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；
D、當(dāng)a≠0時(shí)，△＝（1﹣a）2+4a＝（1+a）2≥0，
∴當(dāng)a≠0時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意，故選：C．
【小結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的定義，根的判別式，正確把握其定義是解題關(guān)鍵．
若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣2ax+a＝6有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（ ）
A．a(chǎn)＞0B．a(chǎn)＞0且a≠2C．a(chǎn)＞32D．a(chǎn)＞32且a≠2
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解析】根據(jù)題意得a﹣2≠0且△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）×（a﹣6）＞0，
解得a＞32且a≠2．故選：D．
【小結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
若整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，且關(guān)于x的不等式組a?x＜0x+2≤12(x+7)有解且最多有6個(gè)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根據(jù)根的判別式和一元二次方程的定義求出a的范圍，再求出不等式組的解集，再根據(jù)題意得出a的值，最后得出選項(xiàng)即可．
【解析】∵整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝（2a）2﹣4（a+2）（a﹣1）≥0且a+2≠0，
解得：a≤2且a≠﹣2，
∵關(guān)于x的不等式組a?x＜0x+2≤12(x+7)有解且最多有6個(gè)整數(shù)解，
∴解不等式組a?x＜0x+2≤12(x+7)得：a＜x≤3，
∴a可以為2，1，0，﹣1，﹣3，共5個(gè)，故選：C．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的定義，一元一次不等式組的整數(shù)解和根的判別式等知識(shí)點(diǎn)，能求出a的范圍和不等式組的范圍是解此題的關(guān)鍵．
根的判別式（三角形的邊）
等腰三角形的一邊長(zhǎng)是3，另兩邊的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0的兩個(gè)根，則k的值為（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【分析】當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)，將x＝3代入原一元二次方程可求出k的值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝3符合題意；當(dāng)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出根的判別式△＝0，解之可得出k值，將k值代入原方程可求出方程的解，利用較小兩邊之和大于第三邊可得出k＝4符合題意．
【解析】當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)，將x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3，
當(dāng)k＝3時(shí)，原方程為x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∵1+3＝4，4＞3，
∴k＝3符合題意；
當(dāng)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，關(guān)于x的方程x2﹣4x+k＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，
當(dāng)k＝4時(shí)，原方程為x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
∵2+2＝4，4＞3，
∴k＝4符合題意．
∴k的值為3或4．
故選：C．
【小結(jié)】本題考查了根的判別式、一元二次方程的解、等腰三角形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系，分3為腰長(zhǎng)及3為底邊長(zhǎng)兩種情況，求出k值是解題的關(guān)鍵．
已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的兩個(gè)根，則k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】當(dāng)m＝4或n＝4時(shí)，即x＝4，代入方程即可得到結(jié)論，當(dāng)m＝n時(shí)，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到結(jié)論．
【解析】∵m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長(zhǎng)，
∴當(dāng)m＝4或n＝4時(shí)，即x＝4，
∴方程為42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
當(dāng)m＝n時(shí)，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
綜上所述，k的值等于6或7，
故選：B．
【小結(jié)】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
已知：關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)為1，另兩邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】（1）先計(jì)算出△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和根的判別式的意義判斷方程根的情況；
（2）依題意有△＝0，則k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后計(jì)算三角形周長(zhǎng)．
【答案】（1）證明：△＝（k+2）2﹣4×2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：依題意有△＝（k﹣2）2＝0，則k＝2，
方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
故△ABC的周長(zhǎng)＝2+2+1＝5．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：①當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．
已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng)．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．
【分析】（1）將x＝﹣1代入方程中，化簡(jiǎn)即可得出b＝c，即可得出結(jié)論；
（2）利用一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）先判斷出a＝b＝c，再代入化簡(jiǎn)即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出結(jié)論．
【解析】（1）△ABC是等腰三角形，
理由：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，
∴b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴a＝b＝c，
∴原方程可化為：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：這個(gè)一元二次方程的根為x1＝0，x2＝﹣1．
【小結(jié)】此題主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，解本題的關(guān)鍵是建立方程．
根與系數(shù)關(guān)系（求代數(shù)式的值）
根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的兩根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1?x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；
（2）求x1﹣x2的值．
【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1?x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x1?x2，利用因式分解得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），然后利用整體代入的方法計(jì)算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±(x1+x2)2?4x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解析】（1）x1+x2＝4，x1?x2＝2，
1x1+1x2=x1+x2x1?x2=42=2；
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案為4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±(x1?x2)2=(x1+x2)2?4x1x2=±42?4×2=±22．
【小結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+β2+αβ的值為（ ）
A．10B．9C．7D．5
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整體代入的方法計(jì)算．
【解析】根據(jù)題意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）＝7．
故選：C．
【小結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．
已知a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣3b+2020的值是（ ）
A．2016B．2020C．2025D．2034
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出a2+3a＝5，a+b＝﹣3，再代入計(jì)算即可求解．
【解析】∵a，b是方程x2+3x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a2+3a＝5，a+b＝﹣3，
則a2﹣3b+2020＝a2+3a﹣3（a+b）+2020＝5+9+2020＝2034．
故選：D．
【小結(jié)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用，題目非常典型，是中考中一個(gè)熱點(diǎn)問題．
設(shè)m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+2m+n的值為 ．
【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以變?yōu)閙2+m+m+n，把前面的值代入即可求出結(jié)果
【解析】∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝﹣1，
并且m2+m﹣1001＝0，
∴m2+m＝1001，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．
故答案為：1000．
【小結(jié)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
根與系數(shù)關(guān)系（構(gòu)造方程求值）
已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，其滿足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0．求實(shí)數(shù)a的所有可能值．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝﹣3a+1，x1?x2＝2a2﹣1，結(jié)合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，分別將a1＝3，a2=?335代入原方程，取使得根的判別式△≥0的a值即可得出結(jié)論．
【解析】∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+3ax﹣x+2a2＝1的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣3a+1，x1?x2＝2a2﹣1．
∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，即3x12﹣10x1?x2+x22+80＝0，
∴3（x1+x2）2﹣16x1?x2+80＝0，
∴3（﹣3a+1）2﹣16（2a2﹣1）+80＝0，
整理，得：5a2+18a﹣99＝0，
∴a1＝3，a2=?335．
當(dāng)a＝3時(shí)，原方程為x2+8x+17＝0，
∵△＝82﹣4×1×17＝﹣4＜0，
∴此時(shí)原方程無解，不符合題意，舍去；
當(dāng)a=?335時(shí)，原方程為x2?1045x+215325=0，
∵△＝（?1045）2﹣4×1×215325=220425＞0，
∴符合題意．
∴實(shí)數(shù)a的值為?335．
【小結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）+80＝0，找出關(guān)于a的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)△≥0建立不等式即可求解；
（2）先提取公因式對(duì)等式變形為x1x2[(x1+x2)2?2x1x2]=24，再結(jié)合韋達(dá)定理求解即可．
【解析】（1）由題意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范圍是：k≥2．
故答案為：k≥2．
（2）由題意得：x13x2+x1x23=x1x2[(x1+x2)2?2x1x2]=24，
由韋達(dá)定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值為k＝3．
故答案為：k＝3．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+12k2﹣2＝0．
（1）求證：無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，據(jù)此可得答案；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，從而列出關(guān)于k的方程，解之可得答案．
【解析】（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（12k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵無論k為何實(shí)數(shù)，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴無論k為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2k+1，x1x2=12k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（12k2﹣2）＝9，
化簡(jiǎn)得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
【小結(jié)】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根分別為x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2=?ba，x1x2=ca可得利用上述結(jié)論來解答下列問題：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)根為m，n，則m+n＝ ，mn＝ ；
（2）若m，n為x2﹣px+q＝0的兩個(gè)根，且m+n＝﹣3，mn＝4，則p＝ ，q＝ ；
（3）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n，mn的值；
（2）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合m+n＝﹣3，mn＝4，可求出p，q的值；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k，結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2可得出關(guān)于k的一元二次方程，利用公式法解該方程即可得出k值，再將k值分別代入原方程中，驗(yàn)證根的判別式是否大于等于0．
【解析】（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)根為m，n，∴m+n=12，mn=?12．故答案為：12；?12．
（2）∵m，n為x2﹣px+q＝0的兩個(gè)根，且m+n＝﹣3，mn＝4，∴p＝﹣3，q＝4．故答案為：﹣3；4．
（3）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k=4±(?4)2?4×1×32，∴k1＝3，k2＝1．
當(dāng)k＝3時(shí)，原方程為x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，∴k＝3符合題意；
當(dāng)k＝1時(shí)，原方程為x2+1＝0，
∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，∴k＝1不符合題意，舍去．∴k的值為3．
【小結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“x1+x2=?ba，x1x2=ca”；（2）牢記“x1+x2=?ba，x1x2=ca”；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，找出關(guān)于k的一元二次方程．
一元二次方程的應(yīng)用（傳播問題）
某種病毒傳播非?？?，如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81個(gè)人被感染．
（1）請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人？
（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過700人？
【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，根據(jù)一個(gè)人被感染經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81個(gè)人被感染，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)3輪感染后被感染的人數(shù)＝2輪感染后被感染的人數(shù)×（1+8），即可求出3輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與700進(jìn)行比較后即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，
依題意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合題意，舍去）．
答：每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染8個(gè)人．
（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．
答：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過700人．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻開始持續(xù)蔓延，這是對(duì)人類的考驗(yàn)，將對(duì)全球造成巨大影響．新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同）．求：
（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？
（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有多少人患?。?br>【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)×（1+12），即可求出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，
依題意，得：1+x+x（1+x）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去）．
答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了12個(gè)人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患?。?br>【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了嚴(yán)重的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)損失，其中一個(gè)原因是新冠肺炎病毒傳播速度非?？欤粋€(gè)人如果感染某種病毒，經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達(dá)到64人．
（1）求這種病毒每輪傳播中一個(gè)人平均感染多少人？
（2）按照上面的傳播速度，如果傳播得不到控制，經(jīng)過三輪傳播后一共有多少人被感染？
【分析】（1）設(shè)一個(gè)人平均感染x人，根據(jù)經(jīng)過了兩輪的傳播后被感染的總?cè)藬?shù)將達(dá)到64人，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）將x＝7代入（x+1）3中即可求出結(jié)論．
【答案】（1）解：設(shè)一個(gè)人平均感染x人，可列方程：1+x+（1+x）x＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（舍去）．
故這種病毒每輪傳播中一個(gè)人平均感染7人；
（2）（7+1）3＝512（人）
答：經(jīng)過三輪傳播后一共有512人被感染．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個(gè)傳播者就可以稱為“超級(jí)傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．
（1）經(jīng)過計(jì)算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級(jí)傳播者”嗎？寫出過程．
（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？
【分析】（1）設(shè)每人每輪傳染x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，將其正值與10比較后即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)經(jīng)過3輪傳染后病毒攜帶者的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后病毒攜帶者的人數(shù)×（1+每人每輪傳染的人數(shù)），即可求出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)每人每輪傳染x人，
依題意，得：1+x+（1+x）?x＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合題意，舍去），
∵12＞10，∴最初的這名病毒攜帶者是“超級(jí)傳播者”，
（2）169×（1+12）＝2197（人），
答：若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有2197人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程的應(yīng)用（面積問題）
如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計(jì)劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，試求該矩形荒地的長(zhǎng)．
【分析】設(shè)B地塊的邊長(zhǎng)為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．
【解析】設(shè)B地塊的邊長(zhǎng)為xm，
根據(jù)題意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符題意，舍去），∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的長(zhǎng)為26m．
【小結(jié)】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．
如圖，某旅游景點(diǎn)要在長(zhǎng)、寬分別為10米、6米的矩形水池內(nèi)部建一個(gè)與矩形的邊互相平行的正方形觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行的且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長(zhǎng)的14（每條道路的一側(cè)均與正方形觀賞亭的一邊在同一直線上），若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的25，求道路的寬度．
【分析】設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的25，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)道路的寬為x米，
依題意，得：x（10﹣4x）+x（6﹣4x）+（4x）2=25×10×6，整理，得：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合題意，舍去）．答：道路的寬為1米．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
有長(zhǎng)為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10m），圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的矩形花圃，設(shè)花圃的一邊AB為xm，面積為ym2．
（1）用含有x的代數(shù)式表示y．
（2）如果要圍成面積為63m2的花圃，AB的長(zhǎng)是多少？
（3）能圍成面積為72m2的花圃嗎！如果能，請(qǐng)求出AB的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用矩形面積公式建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）把y＝63代入函數(shù)解析式，求自變量的值，由于是實(shí)際問題，自變量的值也要受到限制；
（3）把y＝72代入函數(shù)解析式，求自變量的值，然后檢驗(yàn)即可得出結(jié)論．
【解析】（1）由題意得：
y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．
（2）當(dāng)y＝63時(shí)，﹣3x2+30x＝63．
解此方程得x1＝7，x2＝3．
當(dāng)x＝7時(shí)，30﹣3x＝9＜10，符合題意；
當(dāng)x＝3時(shí)，30﹣3x＝21＞10，不符合題意，舍去；
∴當(dāng)AB的長(zhǎng)為7m時(shí)，花圃的面積為63m2．
（3）不能圍成面積為72m2的花圃．理由如下：
如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解此方程得x1＝4，x2＝6，
當(dāng)x＝4時(shí)，30﹣3x＝18，不合題意舍去；
當(dāng)x＝6時(shí)，30﹣3x＝12，不合題意舍去；
故不能圍成面積為72m2的花圃．
【小結(jié)】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題目的條件，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
一塊長(zhǎng)30cm，寬12cm的矩形鐵皮，
（1）如圖1，在鐵皮的四角各切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作成一個(gè)底面積為144cm2的無蓋方盒，如果設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則可列方程為 ．
（2）由于實(shí)際需要，計(jì)劃制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，為了合理使用材料，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如圖2的裁剪方案，空白部分為裁剪下來的邊角料，其中左側(cè)兩個(gè)空白部分為正方形，問能否折出底面積為104cm2的有蓋盒子（盒蓋與盒底的大小形狀完全相同）？如果能，請(qǐng)求出盒子的體積；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則折成的方盒的底面為長(zhǎng)（30﹣2x）cm，寬為（12﹣2x）cm的矩形，根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此問得解；
（2）設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為ycm，則折成的長(zhǎng)方體盒子的底面為長(zhǎng)（302?y）cm，寬為（12﹣2y）cm的矩形，根據(jù)矩形的面積公式，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其較小值，再利用長(zhǎng)方體的體積公式即可求出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則折成的方盒的底面為長(zhǎng)（30﹣2x）cm，寬為（12﹣2x）cm的矩形，
依題意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
故答案為：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．
（2）設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為ycm，則折成的長(zhǎng)方體盒子的底面為長(zhǎng)（302?y）cm，寬為（12﹣2y）cm的矩形，
依題意，得：（302?y）（12﹣2y）＝104，
整理，得：y2﹣21y+38＝0，
解得：y1＝2，y2＝19（不合題意，舍去），
∴盒子的體積＝104×2＝208（cm3）．
答：能折出底面積為104cm2的有蓋盒子，盒子的體積為208m3．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程的應(yīng)用（增長(zhǎng)率問題）
隨著全球疫情的爆發(fā)，醫(yī)療物資的極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以應(yīng)對(duì)疫情，某工廠及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)500萬個(gè)，第三天生產(chǎn)720萬個(gè)，若每天增長(zhǎng)的百分率相同．試回答下列問題：
（1）求每天增長(zhǎng)的百分率；
（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是1500萬個(gè)/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少50萬個(gè)/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬件，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？
【分析】（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)開工第一天及第三天的產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500﹣50m）萬件/天，根據(jù)每天生產(chǎn)口罩6500萬件，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率為x，
依題意，得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：每天增長(zhǎng)的百分率為20%；
（2）設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（1500﹣50m）萬件/天，
依題意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，
解得：m1＝4，m2＝25．
又∵在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，
∴m＝4．
答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
）甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，商場(chǎng)確定其售價(jià)為每件40元．
（1）若現(xiàn)在需進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，預(yù)備從原來的每件40元進(jìn)行兩次調(diào)價(jià)，已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元．若該商品兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；
（2）經(jīng)調(diào)查，該商品每降價(jià)0.2元，即可多銷售10件．已知甲商品售價(jià)40元時(shí)每月可銷售500件，若該商場(chǎng)希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴(kuò)大銷售量，則該商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上應(yīng)如何調(diào)整？
【分析】（1）設(shè)調(diào)價(jià)百分率為x，根據(jù)售價(jià)從原來每件40元經(jīng)兩次調(diào)價(jià)后調(diào)至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根據(jù)已知條件求出多售的件數(shù)，根據(jù)該商場(chǎng)希望該商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可．
【解析】（1）設(shè)這種商品平均降價(jià)率是x，依題意得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；答：這個(gè)降價(jià)率為10%；
（2）設(shè)降價(jià)y元，則多銷售y÷0.2×10＝50y件，
根據(jù)題意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，解得：y＝0（舍去）或y＝10，
答：該商品在原售價(jià)的基礎(chǔ)上，再降低10元．
【小結(jié)】考查一元二次方程的應(yīng)用；求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2＝b．
為抗擊新型肺炎疫情，某服裝廠及時(shí)引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)10萬件，第三天生產(chǎn)14.4萬件，若每天增長(zhǎng)的百分率相同．試回答下列問題：
（1）求每天增長(zhǎng)的百分率；
（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是20萬件/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少2萬件/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩60萬件，在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？
【分析】（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率為x，根據(jù)開工第一天及第三天的產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（20﹣2m）萬件/天，根據(jù)每天生產(chǎn)口罩60萬件，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)每天增長(zhǎng)的百分率為x，依題意，得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：每天增長(zhǎng)的百分率為20%．
（2）設(shè)應(yīng)該增加m條生產(chǎn)線，則每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能為（20﹣2m）萬件/天，
依題意，得：（1+m）（20﹣2m）＝60，整理，得：m1＝4，m2＝5．
又∵在增加產(chǎn)能同時(shí)又要節(jié)省投入，∴m＝4．答：應(yīng)該增加4條生產(chǎn)線．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，計(jì)劃到2020年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到6萬座，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座．
（1）按照計(jì)劃，求2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率；
（2）若2023年保持前兩年5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率不變，到2023年底，全省5G基站數(shù)量能否超過25萬座？
【分析】（1）設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年及2022年底全省5G基站的數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)2023年底全省5G基站的數(shù)量＝2022年底全省5G基站的數(shù)量×（1+增長(zhǎng)率），即可求出2023年底全省5G基站的數(shù)量，再與29萬座比較后即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：6×（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合題意，舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長(zhǎng)率為70%．
（2）17.34×（1+70%）＝29.478（萬座），
∵29.478＞25，∴到2023年底，全省5G基站數(shù)量能超過25萬座．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程的應(yīng)用（利潤(rùn)問題）
某水果連鎖店將進(jìn)貨價(jià)為20元/千克的某種熱帶水果現(xiàn)在以25元/千克的價(jià)格售出，每日能售出40千克．
（1）現(xiàn)在每日的銷售利潤(rùn)為 元．
（2）調(diào)查表明：售價(jià)在25元/千克～32元/千克范圍內(nèi)，這種熱帶水果的售價(jià)每千克上漲1元，其銷售量就減少2千克，若要使每日的銷售利潤(rùn)為300元，售價(jià)應(yīng)為多少元/千克？
【分析】（1）根據(jù)每日的銷售利潤(rùn)＝每千克的利潤(rùn)×日銷售量，即可求出結(jié)論；
（2）設(shè)每千克上漲x元，則售價(jià)為（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，根據(jù)每日的銷售利潤(rùn)為300元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）（25﹣20）×40＝200（元）．故答案為：200．
（2）設(shè)每千克上漲x元，則售價(jià)為（25+x）元/千克，每日可售出（40﹣2x）千克，
依題意，得：（25+x﹣20）（40﹣2x）＝300，整理，得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，
當(dāng)x＝5時(shí)，25+x＝30，符合題意；當(dāng)x＝10時(shí)，25+x＝35＞32，不合題意，舍去．
答：售價(jià)應(yīng)為30元/千克．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40）．
（1）請(qǐng)用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)；
（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤(rùn)為900元．
①求該商品的售價(jià)；
②為了支持“抗疫”行動(dòng)，李晨決定每銷售一件該工藝品便通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)自動(dòng)向某救助基金會(huì)捐款0.5元，求李晨每天通過銷售該工藝品捐款的數(shù)額．
【分析】（1）由該商品的售價(jià)結(jié)合售價(jià)每降低1元就會(huì)多售出3件，即可得出每天售出該工藝品的件數(shù)；
（2）①根據(jù)總利潤(rùn)＝每件工藝品的利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；
②根據(jù)每天通過銷售該工藝品面捐款的數(shù)額＝0.5×每天銷售的數(shù)量，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40），且當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，
∴每天能售出該工藝品的件數(shù)為60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．
（2）①依題意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50（不合題意，舍去）．
答：該商品的售價(jià)為30元/件．
②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．
答：李晨每天通過銷售該工藝品捐款的數(shù)額為45元．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：這種襯衫的售價(jià)每降低1元，平均每天能多售出2件，設(shè)每件襯衫降價(jià)x元．
（1）降價(jià)后，每件襯衫的利潤(rùn)為 元，平均每天的銷量為 件；（用含x的式子表示）
（2）為了擴(kuò)大銷售，盡快滅少庫存，商場(chǎng)決定采取降價(jià)措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？
【分析】（1）根據(jù)“這種襯衫的售價(jià)每降低1元時(shí)，平均每天能多售出2件”結(jié)合每件襯衫的原利潤(rùn)及降價(jià)x元，即可得出降價(jià)后每件襯衫的利潤(rùn)及銷量；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵每件襯衫降價(jià)x元，∴每件襯衫的利潤(rùn)為（50﹣x）元，銷量為（20+2x）件．
故答案為：（50﹣x）；（20+2x）．
（2）依題意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．
∵為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫存，∴x＝30．
答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)30元．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
悠悠食品店的A、B兩種菜品，每份成本均為14元，售價(jià)分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營(yíng)業(yè)額共為1120元，總利潤(rùn)為280元．
（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？
（2）該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低A種菜品的售價(jià)，同時(shí)提高B種菜品的售價(jià)，售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種菜品售價(jià)每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價(jià)每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售的總份數(shù)不變，這兩種菜品一天的總利潤(rùn)是316元．求A種菜品每天銷售多少份？
【分析】（1）由A種菜和B種菜每天的營(yíng)業(yè)額為1120和總利潤(rùn)為280建立方程組即可；
（2）設(shè)A種菜品售價(jià)降0.5a元，即每天賣（20+a）份，則B種菜品賣（40﹣a）份，每份售價(jià)提高0.5a元，最后建立利潤(rùn)與賣出的份數(shù)的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論．
【答案】（1）設(shè)該店每天賣出A、B兩種菜品分別為x份、y份，
根據(jù)題意得，(20?14)x+(18?14)y=28020x+18y=1120． 解得：x=20y=40．
答：該店每天賣出這兩種菜品共60份．
（2）設(shè)A種菜品售價(jià)降0.5a元，即每天賣（20+a）份，則B種菜品賣（40﹣a）份，每份售價(jià)提高0.5a元．
（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）＝316．
即a2﹣12a+36＝0,a1＝a2＝6
答：A種菜品每天銷售26份．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．
一元二次方程的應(yīng)用（動(dòng)點(diǎn)問題）
如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，問：
（1）經(jīng)過幾秒后，△PBQ的面積等于8cm2？
（2）經(jīng)過幾秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm？
【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△PBQ的面積等于8cm2，則BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，利用三角形的面積公式結(jié)合△PBQ的面積等于8cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm，則BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，利用勾股定理結(jié)合P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△PBQ的面積等于8cm2，則BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依題意，得：12（6﹣x）×2x＝8，
化簡(jiǎn)，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：經(jīng)過2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2．
（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm，則BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依題意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（53）2，
化簡(jiǎn)，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1=175，y2＝﹣1（不合題意，舍去）．
答：經(jīng)過175秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是53cm．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于210cm？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于7cm2？請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)PQ＝210利用勾股定理BP2+BQ2＝PQ2，求出即可；
（2）由（1）得，當(dāng)△PQB的面積等于7cm2，然后利用根的判別式判斷方程根的情況即可；
【答案】（1）設(shè)x秒后，PQ＝210
BP＝5﹣x BQ＝2x
∵BP2+BQ2＝PQ2
∴（5﹣x）2+（2x）2＝（210）2
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去）
∴3秒后，PQ的長(zhǎng)度等于210；
（2）△PQB的面積不能等于7cm2，原因如下：
設(shè)t秒后，PB＝5﹣t QB＝2t
又∵S△PQB=12×BP×QB＝7
12×（5﹣t）×2t＝7
∴t2﹣5t+7＝0
△＝52﹣4×1×7＝25﹣28＝﹣3＜0
∴方程沒有實(shí)數(shù)根
∴△PQB的面積不能等于7cm2．
【小結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面積等于7m2”，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
如圖等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PR∥BC、PQ∥AC分別交AC、BC于R、Q．問：
（1）平行四邊形PQCR面積能否為7？如果能，請(qǐng)求出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間；如不能，請(qǐng)說明理由；
（2）平行四邊形PQCR面積能否為16？能為20嗎？如果能，請(qǐng)求分別出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間；如不能，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)x個(gè)單位時(shí)，?PQCR的面積等于7，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的面積公式可列方程求解；
（2）利用（1）中的方法建立方程，進(jìn)一步解方程，根據(jù)方程根的情況判定即可．
【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)x個(gè)單位時(shí)，?PQCR的面積等于7，依題意有
12×82?12x2?12（8﹣x）2＝7，
解得：x1＝1，x2＝7．
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間是12或72秒
答：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)12或72秒時(shí)，?PQCR的面積等于7cm2．
（2）由題意得
12×82?12x2?12（8﹣x）2＝16
解得：x1＝x2＝4，
此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：42=2（秒）
12×82?12x2?12（8﹣x）2＝20，
此方程無解．
所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)移動(dòng)2秒時(shí)，?PQCR的面積等于16．不存在PQCR的面積等于20．
【小結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，利用三角形和平行四邊形的面積得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
如圖所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，點(diǎn)P，Q之間的距離為6cm？
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，使△PBQ的面積等于8cm2？
（3）若P點(diǎn)沿射線AB方向從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿射線CB方向從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，幾秒后，△PBQ的面積為1cm2？
【分析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)P，Q之間的距離為6cm，根據(jù)勾股定理列式求解即可；
（2）設(shè)經(jīng)過y秒，使△PBQ的面積等于8cm2，由三角形的面積公式列式并求解即可；
（3）分三種情況列方程求解即可：①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上；②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上；點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上．
【解析】（1）設(shè)經(jīng)過x秒，點(diǎn)P，Q之間的距離為6cm，
則AP＝x（cm），QB＝2x（cm），
∵AB＝6cm，BC＝8cm
∴PB＝（6﹣x）（cm），
∵在△ABC中，∠B＝90°
∴由勾股定理得：（6﹣x）2+（2x）2＝6
化簡(jiǎn)得：5x2﹣12x+30＝0
∵△＝（﹣12）2﹣4×5×30＝144﹣600＜0
∴點(diǎn)P，Q之間的距離不可能為6cm．
（2）設(shè)經(jīng)過x秒，使△PBQ的面積等于8cm2，由題意得：
12（6﹣x）?2x＝8
解得：x1＝2，x2＝4
檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)x1，x2均符合題意
∴經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積等于8cm2．
（3）①點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CB上
設(shè)經(jīng)過m秒，0＜m≤4，依題意有
12（6﹣m）（8﹣2m）＝1
∴m2﹣10m+23＝0
解得；m1＝5+2（舍），m2＝5?2
∴m＝5?2符合題意；
②點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在射線CB上
設(shè)經(jīng)過n秒，4＜n≤6，依題意有
12（6﹣n）（2n﹣8）＝1
∴n2﹣10n+25＝0
解得n1＝n2＝5
∴n＝5符合題意；
③點(diǎn)P在射線AB上，點(diǎn)Q在射線CB上
設(shè)經(jīng)過k秒，k＞6，依題意有
12（k﹣6）（2k﹣8）＝1
解得k1＝5+2，k2＝5?2（舍）
∴k＝5+2符合題意；
∴經(jīng)過（5?2）秒，5秒，（5+2）秒后，△PBQ的面積為1cm2．
【小結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、分類討論以及找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

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