?2023年河北省邢臺市威縣三中中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題（有16個小題。1～10小題各3分；11～16小題各2分，共42分）.
1．（3分）如圖，要在直線l上找一點，使它到點A，B的距離之和最小，則該點的位置（　?。?br />
A．在點C處 B．在點D處 C．在點E處 D．不能確定
2．（3分）下列計算正確的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．2a2+3a2＝6a4
C．a(chǎn)2?a6＝a8 D．a(chǎn)6÷a3＝a2
3．（3分）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（　?。?br />
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
4．（3分）為了簡化計算，算式可以化為（　?。?br /> A．﹣3×4﹣×4 B．﹣3×4+×4 C．﹣3×4+ D．﹣3﹣×4
5．（3分）如圖是某校七年級二班參加課外興趣小組人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，你認(rèn)為哪一個興趣小組參加人數(shù)最多的是（　?。?br />
A．唱歌 B．繪畫 C．編程 D．舞蹈
6．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（　?。?br /> A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
7．（3分）葉綠體DNA最早發(fā)現(xiàn)于衣藻葉綠體，長約米．把用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．5×10﹣5 B．5×10﹣6 C．2×10﹣5 D．2×10﹣6
8．（3分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，甲、乙、丙三人分別對該幾何體的三視圖進行了描述，其中正確的是（　?。?br /> 甲：主視圖是軸對稱圖形；
乙：左視圖是軸對稱圖形；
丙：俯視圖是中心對稱圖形．

A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙
9．（3分）如果a，b是101的兩個平方根，那么a+2ab+b的值是（　　）
A．0 B．101 C．202 D．﹣202
10．（3分）嘉嘉自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形．”并將自己的證明過程與同學(xué)淇淇交流．
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
淇淇看完后認(rèn)為這個題目需要補充一個條件才能證明．下列正確的是（　?。?br />
A．題目嚴(yán)謹(jǐn)，不用添加條件
B．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：OA＝OB
C．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：AD∥BC
D．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：AB⊥BC
11．（2分）如果x＞y＞1，那么的值是（　?。?br /> A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．不確定
12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（　?。?br />
A．2 B．4 C．4.5 D．5
13．（2分）如圖，嘉嘉和淇淇住在同一單元樓，他們想測量對面大樓的高度（MN）．嘉嘉在窗臺B處測得對面大樓頂部N的仰角∠1的度數(shù)，淇淇在窗臺C在處測得大樓底部M的俯角∠2的度數(shù)，且∠1＝∠2．已知A，B，C三點共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，則對面大樓的高是（　?。?br />
A．76m B．80m C．82m D．90m
14．（2分）題目：“如圖，A，B，C是⊙O上的點，且∠ACB＝140°．在這個圖中，寫出僅用無刻度的直尺能畫出的圓周角度數(shù)．”甲答：140°，乙答：40°，丙答：90°，則下列判斷正確的是（　　）

A．只有甲答的對
B．甲、乙答案合在一起才完整
C．三人答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起也不完整
15．（2分）某商店有一款商品，每件進價為100元，標(biāo)價為150元，現(xiàn)準(zhǔn)備打折銷售．若要保證利潤率不低于5%，設(shè)打x折銷售，則下列正確的是（　　）
A．依題意得150x﹣100≥5%×100
B．依題意得150×﹣100≥5%×150
C．該商品最少打7折
D．該商品最多打7折
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，過點B作直線l∥AC，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，直線CA'，CB'與直線l不平行時分別交l于點D，E．對于下列結(jié)論，判斷正確的是（　?。?br /> 結(jié)論Ⅰ：當(dāng)點A'與點D重合時，∠ACA'＝60°；
結(jié)論Ⅱ：線段DE長度的最小值是2．

A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對
二、填空題（本大題共3個小題，每小題3分，共9分。其中18小題第一空2分，第二空1分；19小題每空1分）
17．（3分）不透明袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是 　 ?。?br /> 18．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．過點O作BD的垂線，交BA延長線于點E，交AD于點F，交BC于點N．若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）＝　 　；
（2）AF的長為 　 　．

19．（3分）如圖，在3×3網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中有16個格點，已知雙曲線L：y＝（k＞0，x＞0）．
（1）若雙曲線L經(jīng)過點D，則點A，B，C在L上的是 　 ??；
（2）若L將這16個格點分布在它兩側(cè)，每側(cè)各8個點，則k的取值范圍 　 ??；
（3）若L經(jīng)過點D，已知點P（n，n），過點P作x軸的平行線交L于點M，過點P作y軸的平行線交L于點N，設(shè)線段PM，PN與雙曲線上M，N之間的部分圍成的區(qū)域為圖象G（不包含邊界），當(dāng)圖象G內(nèi)只有1個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）時，n的取值范圍是 　 　．

三、解答題（本大題共7個小題，共69分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（9分）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有六個點A，B，C，D，E，F(xiàn)，相鄰兩點之間的距離均為m（m為正整數(shù)），點B表示的數(shù)為﹣4，設(shè)這六個點表示的數(shù)之和為n．
（1）點F表示的數(shù)為 　 ?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）；
（2）已知點F表示的數(shù)是8，求n的值．

21．（9分）發(fā)現(xiàn) 兩個差為2的正整數(shù)的積與1的和總是一個正整數(shù)的平方．
驗證 （1）8×6+1是正整數(shù) 　 　的平方；
（2）設(shè)較小的一個正整數(shù)為n，寫出這兩個正整數(shù)的積與1的和，并說明它是個正整數(shù)的平方；
延伸 兩個差為4的正偶數(shù)，設(shè)較小的數(shù)為2k（k為正整數(shù)），若它們的積與常數(shù)a的和是一個正整數(shù)的平方，求a的值．
22．（9分）某學(xué)校從九年級學(xué)生中任意選取40人，隨機分成甲、乙兩個小組進行“引體向上”體能測試，根據(jù)測試成績繪制出統(tǒng)計表和如圖所示的統(tǒng)計圖（成績均為整數(shù)，滿分為10分）
甲組成績統(tǒng)計表
成績/分
7
8
9
10
人數(shù)/人
1
9
5
5

（1）m＝　 　，甲組成績的眾數(shù) 　 　乙組成績的眾數(shù)（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求甲組的平均成績；
（3）這40個學(xué)生成績的中位數(shù)是 　 ?。?br /> （4）計算出甲組成績的方差為0.81，乙組成績的方差為0.75，則成績更加穩(wěn)定的是 　 　組（填“甲”或“乙”）．
23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；
（2）若⊙O的半徑是（1）中求得的半徑，且∠M＝∠D，求劣弧的長．

24．（10分）在一條筆直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B兩地之間．甲、乙兩車同時出發(fā)勻速行駛，甲車從C地出發(fā)先到A地接人（接人時間忽略不計），然后原路原速到達B地停止行駛；乙車從B地出發(fā)經(jīng)過C地到達A地后停止．兩車之間的距離y（千米）與乙車行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）A，B兩地之間的距離為 　 　千米，甲車的速度為 　 　千米/時，a＝　 　；
（2）求PD所在直線的函數(shù)解析式；
（3）直接寫出甲、乙兩車之間的距離不超過180千米時的時長．

25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝，M為邊AB的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連接PM．作點A關(guān)于直線PM的對稱點A'，連接A'P，A'M．設(shè)點P的運動時間為t秒．
（1）點C到邊AB的距離為 　 　；
（2）用含t的代數(shù)式表示點P到邊AB的距離；
（3）連接A'C，當(dāng)線段A'C最短時，求△CPA'的面積；
（4）直接寫出點A'在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長．
26．（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣5，0）兩點，與y軸交于點C．P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點C與點P之間的部分（包含端點）記為圖象G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m符合什么條件時，圖象G的最大值與最小值的差為4？
（3）將線段AB先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段A'B'．若拋物線y＝﹣x2+bx+c平移后與線段A'B'有兩個交點，且這兩個交點恰好將線段A'B'三等分，求拋物線平移的最短路程；
（4）當(dāng)m＜0時，若圖象G與平行于x軸的直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．



參考答案
一、選擇題（本大題有16個小題。1～10小題各3分；11～16小題各2分，共42分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）如圖，要在直線l上找一點，使它到點A，B的距離之和最小，則該點的位置（　?。?br />
A．在點C處 B．在點D處 C．在點E處 D．不能確定
【分析】根據(jù)兩點之間，線段最短知：連接AB，即可得到結(jié)論．
解：連接AB交直線l于點D，
則該點的位置在點D處．
故選：B．
【點評】本題考查了線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短，熟練掌握線段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）下列計算正確的是（　?。?br /> A．2a+3b＝5ab B．2a2+3a2＝6a4
C．a(chǎn)2?a6＝a8 D．a(chǎn)6÷a3＝a2
【分析】根據(jù)合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的除法法則解決此題．
解：A．根據(jù)合并同類項法則，2a+3b≠5ab，那么A錯誤，故A不符合題意．
B．根據(jù)合并同類項法則，2a2+3a2＝5a2，那么B錯誤，故B不符合題意．
C．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，a2?a6＝a8，那么C正確，故C符合題意．
D．根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，a6÷a3＝a3，那么D錯誤，故D不符合題意．
故選：C．
【點評】本題主要考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的除法法則是解決本題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，已知∠1＝90°，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的是（　?。?br />
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
【分析】根據(jù)平行線的判定逐項分析即可得到結(jié)論．
解：A．由∠2＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項不符合題意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定兩枕木平行，故該選項不符合題意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴兩條鐵軌平行，故該選項符合題意；
D．由∠5＝90°不能判定兩條鐵軌平行，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．
4．（3分）為了簡化計算，算式可以化為（　?。?br /> A．﹣3×4﹣×4 B．﹣3×4+×4 C．﹣3×4+ D．﹣3﹣×4
【分析】根據(jù)乘法分配律即可求解．
解：為了簡化計算，算式可以化為（﹣3﹣）×4＝﹣3×4﹣×4．
故選：A．
【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
5．（3分）如圖是某校七年級二班參加課外興趣小組人數(shù)的扇形統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，你認(rèn)為哪一個興趣小組參加人數(shù)最多的是（　　）

A．唱歌 B．繪畫 C．編程 D．舞蹈
【分析】求出所占比例最多的就是興趣小組參加人數(shù)最多的．
解：由扇形統(tǒng)計圖可以看出，編程占的百分比為×100%＝25%，
所以唱歌占的百分比為100%﹣28%﹣17%﹣25%＝30%．
所以唱歌的參加人數(shù)最多．
故選：A．
【點評】本題主要考查對于扇形統(tǒng)計圖的應(yīng)用以及數(shù)據(jù)的計算．
6．（3分）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情況是（　?。?br /> A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝8＞0，進而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：C．
【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）葉綠體DNA最早發(fā)現(xiàn)于衣藻葉綠體，長約米．把用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．5×10﹣5 B．5×10﹣6 C．2×10﹣5 D．2×10﹣6
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
解：＝0.00005＝5×10﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵是要正確確定a的值以及n的值．
8．（3分）如圖是由大小相同的小正方體搭成的幾何體，甲、乙、丙三人分別對該幾何體的三視圖進行了描述，其中正確的是（　?。?br /> 甲：主視圖是軸對稱圖形；
乙：左視圖是軸對稱圖形；
丙：俯視圖是中心對稱圖形．

A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，再根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義可得答案．
解：如圖所示：左視圖是軸對稱圖形．

故主視圖不是軸對稱圖形，故甲說法錯誤；
左視圖是軸對稱圖形，故乙說法正確；
俯視圖是中心對稱圖形，故丙說法正確．
所以說法正確的有乙和丙．
故選：D．
【點評】此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，以及學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．
9．（3分）如果a，b是101的兩個平方根，那么a+2ab+b的值是（　　）
A．0 B．101 C．202 D．﹣202
【分析】根據(jù)平方根的定義解決此題．
解：由題意得，a+b＝0，ab＝﹣101．
∴a+2ab+b＝0﹣202＝﹣202．
故選：D．
【點評】本題主要考查平方根，熟練掌握平方根的定義以及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
10．（3分）嘉嘉自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形．”并將自己的證明過程與同學(xué)淇淇交流．
證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形．
淇淇看完后認(rèn)為這個題目需要補充一個條件才能證明．下列正確的是（　　）

A．題目嚴(yán)謹(jǐn)，不用添加條件
B．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：OA＝OB
C．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：AD∥BC
D．題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補充：AB⊥BC
【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進行分析推理．
解：贊成嘉嘉的說法，補充條件：AD∥BC，證明如下：
∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵∠AOB＝∠COB＝90°，BO＝BO，
∴△ABO≌△CBO（ASA），
∴AB＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四邊形ABCD是菱形．
故選：C．

【點評】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）如果x＞y＞1，那么的值是（　　）
A．正數(shù) B．負數(shù) C．零 D．不確定
【分析】首先將代數(shù)式通分化簡，然后根據(jù)已知條件結(jié)合乘除法的符號法則，得出結(jié)果．
解：∵x＞y＞1，
∴y﹣x＜0，x﹣1＞0，
∴
＝﹣
＝＜0．
故選：B．
【點評】本題考查了分式的加減，正確掌握分式的運算法則是關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（　　）

A．2 B．4 C．4.5 D．5
【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半可以求得AF的長．
解：設(shè)AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六邊形ABCDEF的邊長為4，
故選：B．
【點評】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
13．（2分）如圖，嘉嘉和淇淇住在同一單元樓，他們想測量對面大樓的高度（MN）．嘉嘉在窗臺B處測得對面大樓頂部N的仰角∠1的度數(shù)，淇淇在窗臺C在處測得大樓底部M的俯角∠2的度數(shù)，且∠1＝∠2．已知A，B，C三點共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，則對面大樓的高是（　　）

A．76m B．80m C．82m D．90m
【分析】過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，可得四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，可以證明△BFN≌△CEM，得NF＝EM＝49，進而可得商業(yè)大廈的高MN．
解：如圖，過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F，

∴∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵CA⊥AM，NM⊥AM，
∴四邊形AMEC和四邊形AMFB均為矩形，
∴CE＝BF，ME＝AC，
∵∠1＝∠2，
∴△BFN≌△CEM（ASA），
∴NF＝EM＝31+18＝49（m），
由矩形性質(zhì)可知：EF＝CB＝18m，
∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．
答：對面大樓的高MN為80m．
故選：B．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義，構(gòu)造全等三角形解決問題．
14．（2分）題目：“如圖，A，B，C是⊙O上的點，且∠ACB＝140°．在這個圖中，寫出僅用無刻度的直尺能畫出的圓周角度數(shù)．”甲答：140°，乙答：40°，丙答：90°，則下列判斷正確的是（　?。?br />
A．只有甲答的對
B．甲、乙答案合在一起才完整
C．三人答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起也不完整
【分析】作直徑AD，連接AB、BD，在上取點E，連接AE、BE，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠ABD＝90°，∠AEB＝∠ACB＝140°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝40°，接著利用互余可計算出∠BAD＝50°，從而可對各選項進行判斷．
解：作直徑AD，連接AB、BD，在上取點E，連接AE、BE，如圖，
∵AD為直徑，
∴∠ABD＝90°，
∵四邊形ACBD為⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣140°＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵∠AEB和∠AEC都對，
∴∠AEB＝∠ACB＝140°，
綜上所述，僅用無刻度的直尺能畫出的圓周角有∠AEB、∠ABD、∠ADB、∠BAD，它們的度數(shù)分別為140°，90°，40°，50°．
故選：D．

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
15．（2分）某商店有一款商品，每件進價為100元，標(biāo)價為150元，現(xiàn)準(zhǔn)備打折銷售．若要保證利潤率不低于5%，設(shè)打x折銷售，則下列正確的是（　?。?br /> A．依題意得150x﹣100≥5%×100
B．依題意得150×﹣100≥5%×150
C．該商品最少打7折
D．該商品最多打7折
【分析】根據(jù)題意可得不等關(guān)系：標(biāo)價×打折﹣進價≥利潤，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式即可．
解：根據(jù)題意得：150×﹣100≥100×5%，
解得：x≥7，
則最多打7折．
故選：D．
【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關(guān)系．
16．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，過點B作直線l∥AC，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，直線CA'，CB'與直線l不平行時分別交l于點D，E．對于下列結(jié)論，判斷正確的是（　　）
結(jié)論Ⅰ：當(dāng)點A'與點D重合時，∠ACA'＝60°；
結(jié)論Ⅱ：線段DE長度的最小值是2．

A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ不對Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對Ⅱ不對
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝A'C＝2，求出∠A'CB的度數(shù)為 30°，可判斷結(jié)論Ⅰ正確；由直角三角形的性質(zhì)可得CF＝DE，即CF的值最小時，DE有最小值，即可判斷結(jié)論Ⅱ．
解：如圖1，

∵將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，
∴AC＝A'C＝2，
∵cos∠A'CB＝，
∴∠A'CB的度數(shù)為 30°，
∴∠ACA'＝90°﹣∠A'CB＝60°，
故結(jié)論Ⅰ正確；
取DE中點F，連接CF，如圖2，

∵點F是Rt△CDE斜邊DE的中點，
∴CF＝DE，
即CF的值最小時，DE有最小值，
∴當(dāng)點F與點B重合時，CF的值最小，
∴DE的最小值為2，
∴結(jié)論Ⅱ正確．
故選：A．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共3個小題，每小題3分，共9分。其中18小題第一空2分，第二空1分；19小題每空1分）
17．（3分）不透明袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是 　?。?br /> 【分析】一共有5個球，2黑3白，黑球占總數(shù)的，因此可求出隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率．
解：袋子中裝有2個黑球、3個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是＝，
故答案為：．
【點評】本題考查概率公式，理解概率的定義是正確解答的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O．過點O作BD的垂線，交BA延長線于點E，交AD于點F，交BC于點N．若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）＝　??；
（2）AF的長為 　2?。?br />
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到FO＝NO，則EF＝OF＝ON，結(jié)論可求；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理求得線段BN的長度，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠FAO＝∠NCO．
在△AFO和△CNO中，
，
∴△AFO≌△CNO（ASA），
∴FO＝NO，
∵EF＝OF，
∴EF＝OF＝ON，
∴．
故答案為：；
（2）∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBN，
∴．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝OD＝BD＝3．
∵∠CBD＝30°，NO⊥BO，
∴cos∠CBD＝，
∴，
∴BN＝6．
∴，
∴AF＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）如圖，在3×3網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中有16個格點，已知雙曲線L：y＝（k＞0，x＞0）．
（1）若雙曲線L經(jīng)過點D，則點A，B，C在L上的是 　B??；
（2）若L將這16個格點分布在它兩側(cè)，每側(cè)各8個點，則k的取值范圍 　1＜k＜2；　；
（3）若L經(jīng)過點D，已知點P（n，n），過點P作x軸的平行線交L于點M，過點P作y軸的平行線交L于點N，設(shè)線段PM，PN與雙曲線上M，N之間的部分圍成的區(qū)域為圖象G（不包含邊界），當(dāng)圖象G內(nèi)只有1個整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）時，n的取值范圍是 　0＜n≤1或4≤n＜5?。?br />
【分析】（1）將點D的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，求得k的值，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可判斷；
（2）根據(jù)題意畫出圖象，根據(jù)圖象即可求解；
（3）當(dāng)圖象G內(nèi)只有1個整數(shù)點時，除了點M外還有點N，即可求解．
解：（1）將點D的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式得：3＝，解得k＝6，
∵A（2，2），B（3，2），C（3，1），且3×2＝6，
∴點B在L上，
故答案為：B；
（2）若L將這16個格點分布在它兩側(cè)，每側(cè)各8個點，則k的取值范圍是1＜k＜2，
故答案為：1＜k＜2；
（3）
當(dāng)圖象G內(nèi)只有1個整數(shù)點時，則整數(shù)點為（2，2）或（3，3）
∴n的取值范圍為：0＜n≤1或4≤n＜5．
故答案為：0＜n≤1或4≤n＜5．

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是能利用函數(shù)圖象有關(guān)解決問題．
三、解答題（本大題共7個小題，共69分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（9分）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有六個點A，B，C，D，E，F(xiàn)，相鄰兩點之間的距離均為m（m為正整數(shù)），點B表示的數(shù)為﹣4，設(shè)這六個點表示的數(shù)之和為n．
（1）點F表示的數(shù)為 　﹣4+4m?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）；
（2）已知點F表示的數(shù)是8，求n的值．

【分析】（1）根據(jù)點B表示的數(shù)為﹣4，相鄰兩點之間的距離均為m（m為正整數(shù)），即可得到點F表示的數(shù)；
（2）根據(jù)BF的長度求單位長度，寫出點A，B，C，D，E，F(xiàn)分別對應(yīng)的數(shù)，求和即可．
解：（1）∵點B表示的數(shù)為﹣4，相鄰兩點之間的距離均為m（m為正整數(shù)），
∴點F表示的數(shù)為﹣4+4m．
故答案為：﹣4+4m；
（2）BF＝8﹣（﹣4）＝12，
m＝12÷4＝3；
∴點A，B，C，D，E，F(xiàn)分別對應(yīng)的數(shù)為：﹣7，﹣4，﹣1，2，5，8，
∴n＝﹣7+（﹣4）+（﹣1）+2+5+8＝3．
【點評】本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，根據(jù)BF的長度求單位長度是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）發(fā)現(xiàn) 兩個差為2的正整數(shù)的積與1的和總是一個正整數(shù)的平方．
驗證 （1）8×6+1是正整數(shù) 　7　的平方；
（2）設(shè)較小的一個正整數(shù)為n，寫出這兩個正整數(shù)的積與1的和，并說明它是個正整數(shù)的平方；
延伸 兩個差為4的正偶數(shù)，設(shè)較小的數(shù)為2k（k為正整數(shù)），若它們的積與常數(shù)a的和是一個正整數(shù)的平方，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)乘方的定義解決此題．
（2）根據(jù)完全平方公式解決此題．
解：（1）8×6+1＝49＝72．
故答案為：7．
（2）由題意得，另一個較大的正整數(shù)為n+2，這兩個正整數(shù)的積與1的和為n（n+2）+1．
∴n（n+2）+1＝n2+2n+1＝（n+1）2．
延伸：若這個較小的正偶數(shù)為2k，則較大的正偶數(shù)為2k+4．
∴2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a．
∵[2（k+1）]2＝4k2+8k+4．
∴a＝4．
【點評】本題主要考查乘方、完全平方公式，熟練掌握乘方的定義、完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．
22．（9分）某學(xué)校從九年級學(xué)生中任意選取40人，隨機分成甲、乙兩個小組進行“引體向上”體能測試，根據(jù)測試成績繪制出統(tǒng)計表和如圖所示的統(tǒng)計圖（成績均為整數(shù)，滿分為10分）
甲組成績統(tǒng)計表
成績/分
7
8
9
10
人數(shù)/人
1
9
5
5

（1）m＝　3　，甲組成績的眾數(shù) ?。健∫医M成績的眾數(shù)（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）求甲組的平均成績；
（3）這40個學(xué)生成績的中位數(shù)是 　8??；
（4）計算出甲組成績的方差為0.81，乙組成績的方差為0.75，則成績更加穩(wěn)定的是 　乙　組（填“甲”或“乙”）．
【分析】（1）用總?cè)藬?shù)減去其他成績的人數(shù)，求出m；再根據(jù)眾數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法解答即可；
（3）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；
（4）先求出乙組的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式求出乙組的方差，然后進行比較，即可得出答案．
解：（1）由題意可得：1+9+5+5+2+9+6+m＝40，解得m＝3；
甲組成績的眾數(shù)為8，乙組成績的眾數(shù)為8，所以“甲組成績的眾數(shù)＝乙組成績的眾數(shù)”．
故答案為：3；＝；
（2）甲組的平均成績?yōu)椋骸粒?×1+8×9+9×5+10×5）＝8.7；
（3）把這40個學(xué)生成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是8、8，故中位數(shù)為＝8．
故答案為：8；
（4）＝×（7×2+8×9+9×6+10×3）＝8.5，
s2乙＝×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；
∵，
∴乙組的成績更加穩(wěn)定．
故答案為：乙．
【點評】此題考查了加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，解題的關(guān)鍵是正確理解統(tǒng)計圖．
23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑；
（2）若⊙O的半徑是（1）中求得的半徑，且∠M＝∠D，求劣弧的長．

【分析】（1）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理，由AB⊥CD得到DE＝CD＝8，在Rt△ODE中，利用勾股定理得（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，所以⊙O的半徑為10；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，則2∠B+∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D+∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度數(shù)，即可得出∠COD的度數(shù)，根據(jù)弧長的計算公式即可得到結(jié)論．
解：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝×16＝8，
在Rt△ODE中，OE＝OB﹣BE＝r﹣4，OD＝r，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（r﹣4）2+82＝r2，解得r＝10，
∴⊙O的半徑為10；
（2）如圖，連接OC，

∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B+∠M＝2∠B，
∵∠DOE+∠D＝90°，
∴2∠B+∠D＝90°，
∵∠B＝∠D，
∴2∠D+∠D＝90°，
∴∠D＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴劣弧的長為＝π．
【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，弧長的計算等，運用方程思想是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）在一條筆直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B兩地之間．甲、乙兩車同時出發(fā)勻速行駛，甲車從C地出發(fā)先到A地接人（接人時間忽略不計），然后原路原速到達B地停止行駛；乙車從B地出發(fā)經(jīng)過C地到達A地后停止．兩車之間的距離y（千米）與乙車行駛時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）A，B兩地之間的距離為 　400　千米，甲車的速度為 　100　千米/時，a＝　4.5??；
（2）求PD所在直線的函數(shù)解析式；
（3）直接寫出甲、乙兩車之間的距離不超過180千米時的時長．

【分析】（1）根據(jù)圖象可知A，B兩地之間的距離，設(shè)甲車的速度為v甲，乙車的速度為v乙，根據(jù)兩車同向而行時，0.5小時的路程差為10千米，兩車相向而行時，2小時的路程和為360千米，列二元一次方程組即可；
（2）待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）待定系數(shù)法求出NP所在直線的解析式，分情況討論：①兩車相遇之前相距180千米，②兩車相遇之后相距180千米，進一步求出甲、乙兩車之間的距離不超過180千米時的時長即可．
解：（1）由圖象可知，A，B兩地之間的距離為400千米，
設(shè)甲車的速度為v甲，乙車的速度為v乙，
根據(jù)題意，，
解得，
根據(jù)題意，得100（a﹣0.5）＝400，
解得a＝4.5，
故答案為：400，100，4.5；
（2）設(shè)PD所在直線的解析式為y＝mx+n（m≠0，m，n為常數(shù)），
代入點（2.5，0），（4.5，360），
得，
解得，
∴PD所在直線的函數(shù)解析式為y＝180x﹣450；
（3）設(shè)NP所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），
代入點（0.5，360），（2.5，0），
得，
解得，
∴NP所在直線的解析式為y＝﹣180x+450，
①兩車相遇之前相距180千米，
得﹣180x+450＝180，
解得x＝1.5；
②兩車相遇之后相距180千米，
得180x﹣450＝180，
解得x＝3.5，
3.5﹣1.5＝2（小時），
∴甲、乙兩車之間的距離不超過180千米時的時長為2小時．
【點評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，理解圖象上各點的含義并求出相應(yīng)的解析式是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝，M為邊AB的中點．動點P從點A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒個單位長度的速度向終點B運動，連接PM．作點A關(guān)于直線PM的對稱點A'，連接A'P，A'M．設(shè)點P的運動時間為t秒．
（1）點C到邊AB的距離為 　3??；
（2）用含t的代數(shù)式表示點P到邊AB的距離；
（3）連接A'C，當(dāng)線段A'C最短時，求△CPA'的面積；
（4）直接寫出點A'在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長．
【分析】（1）如圖1中，連接CM，利用勾股定理求解；
（2）分兩種情形：點P在線段CM上，點P在線段BM上，分別求解即可；
（3）如圖3中，過點P作PJ⊥AM于點J，PK⊥CM于點K．由MA＝MA′＝2，CM＝3，推出當(dāng)點A′落在CM上時，CA′的長最小，求出PK的長，可得結(jié)論；
（4）求出兩種特殊位置：點A′兩種AC或BC上的時間t，可得結(jié)論．
解：（1）如圖1中，連接CM．

∵CA＝CB＝，AM＝BM＝2，
∴CM⊥AB，
∴CM＝＝＝3．
故答案為：3；
（2）如圖1中，當(dāng)點P在線段AC上時，過點P作PH⊥AB于點H．
由題意AP＝t，
∵PH∥CM，
∴∠APH＝∠ACM，
∴cos∠APH＝cos∠ACM＝，
∴PH＝PA?cos∠APH＝3t．
如圖2中，當(dāng)點P在線段AC上時，過點P作PH⊥AB于點H．

同法可得PH＝PB?cos∠BPH＝（2﹣t）×＝6﹣3t．
綜上所述，點P到邊AB的距離＝；
（3）如圖3中，過點P作PJ⊥AM于點J，PK⊥CM于點K．

∵MA＝MA′＝2，CM＝3，
∴當(dāng)點A′落在CM上時，CA′的長最小，
∵∠PMA＝∠PMK＝45°，PJ⊥AM，PK⊥CM，
∴PJ＝PK，
∵∠PJM＝90°，
∴∠PMJ＝∠JPM＝45°，
∴PJ＝JM，
設(shè)AJ＝2m，則PJ＝JM＝3m，
∵AM＝AJ+JM，
∴5m＝2，
∴m＝，
∴PK＝PJ＝，
∵CA′＝CM﹣MA′＝3﹣2＝1，
∴△CPA′的面積＝?CA′?PK＝×1×＝；
（4）如圖4﹣1中，當(dāng)點A′落在AC上時，MP⊥AC．

∵∠A＝∠A，∠APM＝∠AMC＝90°，
∴△APM∽△AMC，
∴AM2＝AP?AC，
∴AP＝＝，
∴此時t＝÷＝．
如圖4﹣2中，當(dāng)點A′落在CB上時，連接AA′．

∵MA＝MA′＝MB，
∴∠AA′B＝90°，
∴AA′⊥CB，
∵A，A′關(guān)于PM對稱，
∴AA′⊥PM，
∴PM∥BC，
∵AM＝BM，
∴AP＝PC＝，
∴t＝，
觀察圖形可知，點A'在△ABC區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長＝﹣＝（s）．
【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會性質(zhì)特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．
26．（12分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣5，0）兩點，與y軸交于點C．P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點P的橫坐標(biāo)為m，拋物線上點C與點P之間的部分（包含端點）記為圖象G．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m符合什么條件時，圖象G的最大值與最小值的差為4？
（3）將線段AB先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到線段A'B'．若拋物線y＝﹣x2+bx+c平移后與線段A'B'有兩個交點，且這兩個交點恰好將線段A'B'三等分，求拋物線平移的最短路程；
（4）當(dāng)m＜0時，若圖象G與平行于x軸的直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)點P與點C的位置，結(jié)合圖象分類討論即可；
（3）求出線段A'B'的三等分點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可得拋物線平移后的解析式，從而可得平移前，后兩頂點之間的距離，即可得到答案；
（4）直線y＝﹣2m+3經(jīng)過C點時，直線與圖象G有兩個交點，再結(jié)合圖象，確定m的取值即可．
解：（1）將A（1，0），B（﹣5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）在y＝﹣x2﹣4x+5中，令x＝0，則y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴拋物線的頂點為（﹣2，9），
當(dāng)y＝5時，﹣x2﹣4x+5＝5，
∴x＝0或x＝﹣4，
當(dāng)m≤﹣4時，圖象G的最大值為9，最小值為﹣m2﹣4m+5，
∴9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝4，
解得m＝0或m＝﹣4，
∴m＝﹣4時，圖象G的最大值與最小值的差為4；
當(dāng)﹣4＜m≤﹣2時，圖象G的最大值為9，最小值為5，
∴圖象G的最大值與最小值的差為4；
當(dāng)﹣2＜m＜0時，圖象G的最大值為﹣m2﹣4m+5，最小值為5，
∴﹣m2﹣4m+5﹣5＝4，
解得m＝﹣2（舍去）；
當(dāng)m＞0時，圖象G的最大值為5，最小值為﹣m2﹣4m+5，
∴5﹣（﹣m2﹣4m+5）＝4，
解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2（舍去）；
綜上所述：﹣4≤m≤﹣2或m＝2﹣2時，圖象G的最大值與最小值的差為4；
（3）∵A（1，0），B（﹣5，0），
∴將線段AB先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度可得A'（0，5），B'（﹣6，5），
∴線段A'B'的兩個三等分點坐標(biāo)為（﹣4，5），（﹣2，5），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣h）2+k，
∵拋物線y＝﹣x2﹣4x+5平移后與線段A'B'有兩個交點，且這兩個交點恰好將線段A'B'三等分，
∴，
解得，
∴平移后的拋物線解析式為y＝﹣（x+3）2+6，其頂點為（﹣3，6），
而拋物線y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9的頂點為（﹣2，9），
∴平移前，后拋物線的頂點之間的距離為＝，
∴拋物線平移的最短路程為；
（4）當(dāng)﹣2m+3＝5時，m＝﹣1，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點C，如圖：

當(dāng)﹣2m+3＝﹣m2﹣4m+5時，m＝﹣﹣1，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有兩個公共點，如圖：

當(dāng)﹣2m+3＝9時，m＝﹣3，此時圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點，
綜上所述：當(dāng)m＝﹣3或﹣﹣1＜m≤﹣1時，圖象G與直線y＝﹣2m+3有且只有一個公共點．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．

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