?【贏在中考·黃金八卷】備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)全真模擬卷
（永州、益陽、湘西土家族苗族自治州專用）
第一模擬
（本卷共26小題，滿分150分，考試用時120分鐘）
一、單選題(共40分)
1．(本題4分)的相反數(shù)是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化簡，然后根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：∵，的相反數(shù)是．
∴的相反數(shù)是．
故選：C．
【點睛】本題考查了絕對值和相反數(shù)的意義，熟練掌握意義是解答本題的關(guān)鍵．
2．(本題4分)古典園林中的窗戶是中國傳統(tǒng)建筑裝飾的重要組成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗戶圖案中，是中心對稱圖形的是（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
【詳解】解：選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
3．(本題4分)2022年11月13日，第十四屆中國國際航空航天博覽會在珠海圓滿落幕，本屆航展參展規(guī)模遠(yuǎn)超預(yù)期、參展展品全領(lǐng)域覆蓋、商貿(mào)交流活動成效顯著.航展6天，共簽訂總值超過398億美元的合作協(xié)議書，39800000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法解答即可．
【詳解】解：；
故選：C．
【點睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．(本題4分)將一個大正方體的一角截去一個小正方體，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（???）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)俯視圖的畫法畫出它的俯視圖即可．
【詳解】解：這個幾何體的俯視圖為：

故選：C．
【點睛】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的定義，掌握簡單幾何體的三視圖的畫法及形狀是正確解答的前提．
5．(本題4分)下列運算正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)整式的運算法則依次判斷即可.
【詳解】A.是一個完全平方式，結(jié)果應(yīng)該為，故A選項錯誤，不符合題意.
B.是冪的乘方，結(jié)果應(yīng)該為，故B選正確，符合題意.
C.是合并同類項，結(jié)果應(yīng)該為，故C選項錯誤，不符合題意.????
D.是同底數(shù)冪相除，結(jié)果應(yīng)該為，故D選項錯誤，不符合題意.
故答案為：B
【點睛】本題主要考查了整式的運算，熟練掌握完全平方公式，冪的乘方，同底數(shù)冪相除，合并同類項的法則是解題的關(guān)鍵.
6．(本題4分)一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：2，5，x，y??，2x，11，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)都是7，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（??）
A．2 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義可以先求出x，y的值，進(jìn)而就可以確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
【詳解】∵一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：2，5，x，y，2x，11的平均數(shù)與中位數(shù)都是7，
∴平均數(shù)為（2+5+x+y+2x+11）=7
中位數(shù)為：（x+y）=7，
解得y=9，x=5，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是5．
故選：B．
【點睛】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的定義，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．
7．(本題4分)下列四個命題中，是真命題的是（????）
A．對角線相等的四邊形是矩形 B．三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角
C．兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ) D．平行于同一條直線的兩條直線平行
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的判定方法、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．對角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，故A不符合題意；
B．三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角，原命題是假命題，故B不符合題意；
C．兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題是假命題，故C不符合題意；
D．平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理．
8．(本題4分)如圖，直線被一組平行線所截，則下列比例式正確的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】只需要證明得到，即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，，
故選C．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟知相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．
9．(本題4分)如圖，平行四邊形ABCD中，，．，E是邊AD上且，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則的最小值是（??????）

A． B． C． D．10
【答案】A
【分析】如圖，取AB的中點N，連接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延長線于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠GNB=60°，點G的運動軌跡是射線NG，由 “SAS”可證△EGN?△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取AB的中點N，連接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延長線于H，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=BD，
∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵點N是AB的中點，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等邊三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF?△NEG（SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴點G的運動軌跡是射線NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN?△BGN（SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，
∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH==1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值為
故選：A．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
10．(本題4分)已知點和直線，求點P到直線的距離d可用公式計算．根據(jù)以上材料解決下面問題：如圖，的圓心C的坐標(biāo)為，半徑為1，直線l的表達(dá)式為，P是直線l上的動點，Q是上的動點，則的最小值是（????）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】過點C作直線l的垂線，交于點Q，交直線l于點P，此時PQ的值最小，利用公式計算即可.
【詳解】過點C作直線l的垂線，交于點Q，交直線l于點P，此時PQ的值最小，如圖，
∵點C到直線l的距離，半徑為1，
∴的最小值是，
故選：B.

【點睛】此題考查公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)，正確理解公式中的各字母的含義，確定點P與點Q最小時的位置是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(共32分)
11．(本題4分)函數(shù)的定義域是________.
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件列出不等式即可求解．
【詳解】解：依題意得，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，掌握二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
12．(本題4分)將分解因式的結(jié)果為______．
【答案】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．
【詳解】解：


【點睛】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
13．(本題4分)方程組的解為_____．
【答案】
【分析】根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可．
【詳解】解：
①得：③，
②+③得：，
解得：，
將代入①得：，
解得，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練運用消元方法是解題的關(guān)鍵．
14．(本題4分)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則________．
【答案】2
【分析】利用判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的方程即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得：，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程（）的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
15．(本題4分)已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側(cè)面積為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可求出圓錐底面周長，然后利用扇形面積公式即可求出圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：圓錐的底面周長為：，
∴圓錐側(cè)面展開圖的弧長為：，
∵圓錐的母線長，
∴圓錐側(cè)面展開圖的半徑為：，
∴圓錐側(cè)面積為：，
故答案為：．
【點睛】本題考查圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是熟練運用圓錐的相關(guān)計算公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
16．(本題4分)如圖，若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象恒有兩個不同的交點，則常數(shù)的取值范圍是______．

【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象即可確定m的取值范圍．
【詳解】解：分段函數(shù)的圖象如圖：

故要使直線（m為常數(shù)）與函數(shù)的圖象恒有兩個不同的交點，
常數(shù)m的取值范圍為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象．通過數(shù)形結(jié)合的方法找到滿足條件的m的范圍即可．
17．(本題4分)如圖，已知在中，，，，正方形的頂點G、F分別在、上，點D、E在斜邊上，那么正方形的邊長為______．

【答案】6
【分析】根據(jù)，，結(jié)合勾股定理求出和的長度，過點C作于點M，交于點N，根據(jù)相似三角形高的比等于相似比即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴根據(jù)勾股定理可得：，
即，解得：，（舍），
∴，，
過點C作于點M，交于點N，

∵，
∴，
即，解得：，
∵四邊形為正方形，
∴，即，
∴，
∴，
設(shè)正方形邊長為y，
∵，，，
∴，，
∴，即，
，解得：，
∴正方形的邊長為6．
故答案為：6．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形等知識；正確作出輔助線、靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．(本題4分)如圖，的兩個頂點、在上，的半徑為2，，，若動點在上運動，，則的取值范圍是______．

【答案】
【分析】連接，作，且，連接，，，證明得到，再根據(jù)勾股定理求得，然后根據(jù)兩點之間線段最短求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，作，且，連接，，，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
在中，，
根據(jù)兩點之間線段最短得，
∴，
故答案為：．

【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短、等角的余角相等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求解是解答的關(guān)鍵．

三、解答題(共78分)
19．(本題8分)計算：．
【答案】
【分析】先分別進(jìn)行立方根、特殊角的正弦值、絕對值和零指數(shù)冪的運算，再加減運算即可求解．
【詳解】解：


．
【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及立方根、特殊角的正弦值、絕對值和零指數(shù)冪，熟練掌握運算法則并正確求解是解答的關(guān)鍵．
20．(本題8分)先化簡，再求值：，其中．
【答案】，12
【分析】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結(jié)果，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入計算即可求出值．
【詳解】解：



∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【點睛】本題考查了完全平方公式、非負(fù)數(shù)的和為0、及整式的化簡求值．解決本題的關(guān)鍵是利用非負(fù)數(shù)的和為0確定a、b的值．
21．(本題8分)為了測量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂A測得C處的俯角為45°，D處的俯角為30°，乙在山下測得C，D之間的距離為400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直線上，求山高AB．（可能用到的數(shù)據(jù)：1.414，1.732）

【答案】山高AB為546.4米
【分析】設(shè)AB=x，然后根據(jù)等腰直角三角形以及特殊角銳角三角函數(shù)的值即可求出答案．
【詳解】設(shè)AB＝x，
由題意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴AB＝BC＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+400，
在Rt△ADB中，
∴，
∴，
解得：.
∴山高AB為546.4米.
【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)以及一元一次方程的解法，本題屬于中等題型．
22．(本題10分)為有效落實國家“雙減”政策，某中學(xué)通過設(shè)計科學(xué)化作業(yè)，達(dá)到控制作業(yè)總量，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的目的，學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生平均每天寫作業(yè)所用的時間，以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．
學(xué)生平均每天寫作業(yè)時間分組統(tǒng)計表：
組別
寫作業(yè)時間x
人數(shù)
A

m
B

10
C

n
D

14
E

4


請結(jié)合圖表完成下列問題：
(1)在統(tǒng)計表中，______，______；
(2)扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為______；
(3)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
(4)若該校共有5000名學(xué)生，如果平均每天寫作業(yè)時間在1.5小時以內(nèi)，說明作業(yè)量對該生比較適中，請你估算這所學(xué)校作業(yè)量適中的學(xué)生人數(shù)．
【答案】(1)2，20；
(2)
(3)答案見解析
(4)3200人

【分析】（1）根據(jù)“組別”的頻數(shù)和所占的百分比可求出調(diào)查總數(shù)，進(jìn)而求出、的值；
（2）求出“組”所占的百分比，即可求出相應(yīng)的圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)頻數(shù)即可補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（4）求出樣本中平均每天作業(yè)時間在1.5小時以內(nèi)的人數(shù)所占調(diào)查人數(shù)的百分比，即可估計總體中的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的人數(shù)．
【詳解】（1）解：（人，（人，
（人，
故答案為：2，20；
（2）解：，
故答案為：；
（3）解：補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

（4）解：（人．
答：這所學(xué)校作業(yè)量適中的學(xué)生人數(shù)約為3200人．
【點睛】本題考查了頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
23．(本題10分)如圖，中，M為的中點，為的平分線，于D．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2)14

【分析】（1）延長，交于點E，通過證明≌，得到，，進(jìn)而得到為的中位線，即可得證；
（2）利用勾股定理得到線段的長度，再結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出線段的長度．
【詳解】（1）解：如圖，延長，交于點E，

∵平分，
∴，
在與中，

∴≌，
∴，，
即點D為線段的中點，
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的定義及性質(zhì)，根據(jù)題目的提示，正確做出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
24．(本題10分)綜合與實踐
問題情境：“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學(xué)為了落實雙減政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動，開設(shè)了書法社團(tuán)，計劃為學(xué)生購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套．已知某文化用品店每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價比B型號的“文房四寶”的標(biāo)價高30%，若按標(biāo)價購買需花費4300元，其中購買B型號“文房四寶”花費3000元．

問題解決：
(1)求每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價．
(2)若經(jīng)過與店主協(xié)商，考慮到購買較多，店主同意該中學(xué)按A型號“文房四寶”九折，B型號“文房四寶”八折的優(yōu)惠價購入，則購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費多少元？
(3)一段時間后，由于傳統(tǒng)文化廣受關(guān)注，另一所學(xué)校想要購入A，B兩種型號“文房四寶”共100套，店主繼續(xù)以（2）中的折扣價進(jìn)行銷售，已知A，B兩種型號的“文房四寶”每套進(jìn)價分別為67元和50元，若通過此單生意，該店獲利不低于3800元，則該校至少買了多少套A型“文房四寶”？
【答案】(1)100
(2)3570
(3)40

【分析】（1）設(shè)每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價為x元，則每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價為元，根據(jù)購買A，B兩種型號“文房四寶”共40套．列出分式方程，即可求解；
（2）算出打折后A型號的“文房四寶”需花費和打折后B型號的“文房四寶”需花費，即可求出總費用；
（3）該校購買了y套A型“文房四寶”，則購買了套B型“文房四寶”，根據(jù)該店獲利不低于3800元，列出不等式，即可求解．
【詳解】（1）設(shè)每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價為x元，則每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價為元．
根據(jù)題意得：

解得：
經(jīng)檢驗：是分式方程的解
答：每套B型號的“文房四寶”的標(biāo)價為100元．
（2）由（1）得：每套A型號的“文房四寶”的標(biāo)價為130元，
∴購買A型號的“文房四寶”共（套），
購買B型號的“文房四寶”共（套）
打折后，A型號的“文房四寶”需花費：（元）
打折后，B型號的“文房四寶”需花費：（元）
∴購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費（元）
答：購買原定數(shù)量的A，B型號“文房四寶”共需花費3570元
（3）由（2）得：打折后每套A型號的“文房四寶”的售價為：（元）
打折后每套B型號的“文房四寶”的售價為：（元）
設(shè)該校購買了y套A型“文房四寶”，則購買了套B型“文房四寶”，
由題意得：
解得：
答：該校至少買了40套A型“文房四寶”．
【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到等量關(guān)系或者不等關(guān)系，列出方程和不等式．
25．(本題12分)如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經(jīng)過、兩點，與軸的另一交點為點，頂點為點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)直線與拋物線兩交點的橫坐標(biāo)分別為，，是否存在值使得，若存在，求的值；若不存在，說明理由；
(3)在拋物線的對稱軸上有一點，連接、，當(dāng)時，求點坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)不存在值，使得,理由見解析
(3)，或

【分析】（1）在中，求出，，用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為；
（2）由，得，，而，即得或，當(dāng)時， ，當(dāng)時，，即可知不存在值，使得；
（3）設(shè)拋物線對稱軸交軸于，過作于，由可得，拋物線對稱軸為直線，由，，知是等腰直角三角形，設(shè)，可得，解得，從而可得，即得，或．
【詳解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：不存在值，使得，理由如下：
由得：，
整理得，
直線與拋物線兩交點的橫坐標(biāo)分別為，，
，為的兩個實數(shù)解，
，，
，
，即，
解得或，
當(dāng)時，一元二次方程，根的判別式，
此時方程無實數(shù)解，即直線與拋物線無交點，
不符合題意，舍去，
當(dāng)時，一元二次方程，根的判別式，
此時方程無實數(shù)解，即直線與拋物線無交點，
不符合題意，舍去，
不存在值，使得；
（3）解：設(shè)拋物線對稱軸交軸于，過作于，如圖：

由可得，拋物線對稱軸為直線，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
設(shè)，則，
，
，，
在中，，
，
解得，
，
，
，或．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理解決問題．
26．(本題12分)如圖1，在中，，是上一點（不與點，重合），過點作于點，連接并延長交的外接圓于點，連接，，．
???
(1)求證：．
(2)若，求證：．
(3)如圖2，，．
①若，求的長．
②求的最大值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)①；②

【分析】（1）由等弧所對的圓周角相等得，由余角的性質(zhì)得，進(jìn)而可證結(jié)論成立；
（2）通過證明，得，由補(bǔ)角的性質(zhì)可證，等量代換得，進(jìn)而可證；
（3）①由，結(jié)合勾股定理求出和，由得，設(shè)，利用求出，再利用勾股定理即可求出的長；
②通過證明，可得，設(shè)，表示出和，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）①∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴A，C，P，D四點共圓，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時，取得最大值．
【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的知識，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)，相似三角形的判定，以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．



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