?2023年陜西省榆林市榆陽區(qū)中考數(shù)學模擬試卷（一）
一、選擇題（共7小題，每小題3分，計21分，每小題只有一個選項是符合題意的）
1．﹣3的絕對值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
2．如圖，直線a∥b，且a，b被直線c所截．若∠1＝52°，則∠2的大小為（　?。?br />
A．28° B．52° C．128° D．138°
3．計算：（﹣3x）?＝（　?。?br /> A． B． C． D．x2y3
4．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)＞﹣b D．﹣a＞b
5．一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）與一次函數(shù)y＝2x+1關于y軸對稱，則一次函數(shù)y＝kx+b的表達式為（　?。?br /> A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，連接OA、OB，∠BAO＝70°，則∠D＝（　　）

A．40° B．60° C．45° D．30°
7．已知拋物線y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
2
﹣1
﹣1
2
7
下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線x＝1；③b2﹣4ac＞0；④拋物線與x軸的兩個交點間的距離是4；⑤若A（5，y1），B（6，y2）是拋物線上兩點，則y1＞y2.其中正確的個數(shù)是（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）
8．計算：﹣2﹣1＝　 ?。?br /> 9．劉徽是中國古代卓越的數(shù)學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．如圖，已知⊙O的半徑為2，則⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積為 　 　．

10．如圖是用火柴棒拼出的一系列圖形，第一個圖形有4根火柴棒，第二個圖形有7根火柴棒，第三個圖形有10根火柴棒，按照這樣的規(guī)律，第n個圖形共有 　 　根火柴棒．

11．如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是 　 ?。▽懗鲆粋€即可）

12．在平面直角坐標系中，點A（a，2）在反比例函數(shù)的圖象上，點A關于x軸的對稱點B在反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為 　 　．
13．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，AB＝4，點M在BC上，且BM＝1，點N是CD上一動點，則MN+ON的最小值為 　 ?。?br />
三、解答題（共14小題，計81分.解答應寫出過程）
14．計算：．
15．解不等式組：．
16．解方程：．
17．如圖，AD是△ABC的角平分線，請用尺規(guī)作圖法，在△ABC的內(nèi)部找一點P，使得點P到△ABC的三邊距離均相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

18．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，求證：∠ABD＝∠ACE．

19．泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格．
20．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DFE關于點O成中心對稱，△ABC與△DFE的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．
（1）在圖中畫出點O的位置；
（2）將FE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到FE'，求線段FE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．

21．近年來，西安的各個旅游景區(qū)紛紛結(jié)合自身特色推出了景區(qū)文旅演藝．“結(jié)伴成長”實踐小組的同學為完成實踐活動決定去觀看關于古城西安的歷史文化表演，他們各自要從A．夢回大唐，B．長恨歌，C．駝鈴傳奇，D．西安千古情這四個演出中隨機選擇一個，小組同學決定用轉(zhuǎn)盤游戲來選擇．如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，指針固定不動，轉(zhuǎn)盤被分成了大小相同的4個扇形，并在每個扇形區(qū)域分別標上A，B，C，D．（若指針落在分界線上，當作指向右邊的扇形區(qū)域）
（1）若轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤20次，其中有6次指針落在A區(qū)域，求這20次指針落在A區(qū)域的頻率；
（2）游戲規(guī)則：小組中每人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪個區(qū)域就去觀看相應的演出．請用樹狀圖或列表法求小組中甲同學和乙同學觀看不同演出的概率．

22．如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對某公園的摩天輪的高度PQ進行測量，她先在D處豎立一根高1米的標桿CD，沿QD后退，恰好退到點B處看到標桿頂端C和摩天輪底端Q在一條直線上，繼續(xù)后退又在E處測得摩天輪頂端P的仰角∠PEQ＝38.8°，小敏的眼睛到地面的距離AB＝1.6米，BD＝6米，EB＝21.5米，已知點E，B，D，Q在一條水平線上，AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，求摩天輪的高PQ．（參考數(shù)據(jù)：tan38.8°≈0.80）

23．2023年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，是鞏固拓展脫貧攻堅成果同鄉(xiāng)村振興有效銜接的關鍵之年，為穩(wěn)步推進鄉(xiāng)村建設，某地推廣魔芋種植并邀請相關農(nóng)業(yè)技術人員來指導當?shù)鼐用穹N植，小林家種植魔芋，并利用魔芋開發(fā)出A，B兩種產(chǎn)品，其售價和成本如表所示：
商品
A產(chǎn)品
B產(chǎn)品
成本（元/袋）
8
15
售價（元/袋）
12
20
（1）已知第一季度A，B兩種產(chǎn)品共銷售2000袋，獲利9200元．求小林家第一季度銷售A產(chǎn)品多少袋；
（2）根據(jù)之前的銷售情況，估計第二季度還能由如表中的價格銷售兩種產(chǎn)品共3600袋，其中A產(chǎn)品的銷售量不多于1000袋．假設第二季度，銷售A產(chǎn)品為a袋，銷售這兩種產(chǎn)品獲得總利潤為w元，求出w與a之間的函數(shù)關系式，并求出第二季度，小林家銷售這兩種產(chǎn)品至少獲得總利潤多少元．
24．教育部日前印發(fā)《教育系統(tǒng)關于新時代學習弘揚雷鋒精神深入開展學雷鋒活動的實施方案》，方案提出，將雷鋒精神深度融入學校教育教學和人才培養(yǎng)的全過程、各方面．為弘揚雷鋒精神，某校開展了志愿者服務活動，活動項目有“強國有我”“公共法律服務”“愛心送溫暖”“青春護航”“綠色出行”五項，活動期間，隨機抽取了部分學生，對其參加志愿者服務情況進行調(diào)查．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，被調(diào)查的每名學生最少的參與了1項，最多的參與了5項，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）本次調(diào)查是 　 　調(diào)查（選填“抽樣”或“全面”），所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的眾數(shù)是 　 　，中位數(shù)是 　 ??；
（2）求所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的平均數(shù)；
（3）該校共有學生1200人，估計其中參與了4項或5項活動的學生共有多少人？

25．如圖，BP為⊙O的直徑，點A為PB延長線上一點，點C是⊙O上一點，過點C作CE⊥BO交BO于點D，交⊙O于點E，連接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的長度．

26．如圖，拋物線y＝﹣x+3與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），直線l：y＝x+b經(jīng)過點A，且直線l與y軸交于點C．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點P是拋物線上的動點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，分別與直線l交于點D、E，是否存在點P，使得△PDE與△OCA相似，且△PDE與△OCA的相似比為2：1，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

27．問題探究
（1）將一副直角三角尺按圖①所示的方式擺放，使這兩個直角三角尺的直角頂點重合在點O處．則∠AOC和∠BOD的關系是 　 ?。唬ㄟx填“互補”或“互余”）
（2）如圖②，在△ABC中，點A到BC的距離等于2BC，∠B＝45°，AC＝，求△ABC的面積；
問題解決
（3）如圖③，有一個平面圖形為四邊形ABCD的庭院，其中CD＝6米，BC＝2AD＝36米，CD⊥BC，∠ADC＝150°．現(xiàn)設計者要在庭院中修建一個亭子P，并分別從四個頂點向亭子P處鋪四條石板路，把四邊形ABCD分成四個小三角形．根據(jù)設計要求△APD是等邊三角形，在△PAB區(qū)域修建一個小型池塘，其余區(qū)域種植花卉或景觀綠植．請你幫助設計者算出小型池塘△PAB的面積．



參考答案
一、選擇題（共7小題，每小題3分，計21分，每小題只有一個選項是符合題意的）
1．﹣3的絕對值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根據(jù)一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)即可求解．
解：﹣3的絕對值是3．
故選：A．
【點評】本題考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a 的絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當a是零時，a的絕對值是零．
2．如圖，直線a∥b，且a，b被直線c所截．若∠1＝52°，則∠2的大小為（　?。?br />
A．28° B．52° C．128° D．138°
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3的度數(shù)，進而可得出結(jié)論．
解：∵直線a∥b，∠1＝52°，
∴∠3＝∠1＝52°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．
故選：C．

【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等是解題的關鍵．
3．計算：（﹣3x）?＝（　?。?br /> A． B． C． D．x2y3
【分析】根據(jù)單項式乘單項式運算性質(zhì)：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式，即可得出答案．
解：原式＝﹣x3y2．
故選：A．
【點評】此題主要考查了單項式乘單項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
4．實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)＞﹣b D．﹣a＞b
【分析】根據(jù)圖示，可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，據(jù)此逐項判斷即可．
解：根據(jù)圖示，可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∵﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，
∴選項A不符合題意；

∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴選項B不符合題意；

∵0＜b＜1，
∴﹣1＜﹣b＜0，
又∵﹣2＜a＜﹣1，
∴a＜﹣b，
∴選項C不符合題意；

∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
又∵0＜b＜1，
∴﹣a＞b
∴選項D符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，要熟練掌握．
5．一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）與一次函數(shù)y＝2x+1關于y軸對稱，則一次函數(shù)y＝kx+b的表達式為（　?。?br /> A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
【分析】直接根據(jù)平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的特點得出答案．
解：一次函數(shù)y＝2x+1，則與該一次函數(shù)的圖象關于y軸對稱的一次函數(shù)的表達式為：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．
故選：B．
【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知點關于y軸對稱的特點是解題的關鍵．
6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，連接OA、OB，∠BAO＝70°，則∠D＝（　?。?br />
A．40° B．60° C．45° D．30°
【分析】連接OC，由圓周角定理得到∠D＝∠AOC，由圓心角，弧，弦的關系得到∠AOB＝∠AOC，于是得到∠D＝∠AOB，即可得到答案．
解：連接OC，

∵AB＝BC，
∴＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
∵∠D＝∠AOC，
∴∠D＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝70°，
∴∠AOB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠D＝∠AOB＝40°．
故選：A．
【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，涉及到圓周角定理，圓心角，弧，弦的關系，根據(jù)題意作出輔助線，構造出圓心角是解題的關鍵．
7．已知拋物線y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：
x
﹣1
0
2
3
4
y
2
﹣1
﹣1
2
7
下列結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線x＝1；③b2﹣4ac＞0；④拋物線與x軸的兩個交點間的距離是4；⑤若A（5，y1），B（6，y2）是拋物線上兩點，則y1＞y2.其中正確的個數(shù)是（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由拋物線經(jīng)過（0，﹣1），（2，﹣1）可得拋物線的對稱軸，由x＞2時，y隨x的增大而增大可得拋物線開口方向，由拋物線經(jīng)過（2，﹣1），（3，2）及拋物線的對稱性可得拋物線與x軸的交點個數(shù)，由拋物線經(jīng)過（﹣1，2），（3，2）可判斷拋物線與x軸的交點距離小于4，進而求解．
解：∵拋物線經(jīng)過（0，﹣1），（2，﹣1），
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，②正確．
由表格可得x＞2時，y隨x的增大而增大，
∴拋物線開口向上，①正確．
由拋物線經(jīng)過（2，﹣1），（3，2）及拋物線的對稱性可得拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2﹣4ac＞0，③正確．
∵（﹣1，2），（3，2）在拋物線上且距離為4，
∴拋物線與x軸的兩個交點間的距離小于4，④不正確．
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴x＞1時，y隨x的增大而增大，
∵5＜6，
∴y1＜y2，⑤不正確．
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．
二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）
8．計算：﹣2﹣1＝　1?。?br /> 【分析】本題涉及二次根式化簡、負整數(shù)指數(shù)冪兩個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．
解：﹣2﹣1
＝2﹣
＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、二次根式等考點的運算．
9．劉徽是中國古代卓越的數(shù)學家之一，他在《九章算術》中提出了“割圓術”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積．如圖，已知⊙O的半徑為2，則⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的面積為 　6?。?br />
【分析】連接OA、OB，根據(jù)正多邊形和圓的關系可判斷出△OAB為等邊三角形，過點O作OM⊥AB于點M，再利用勾股定理即可求出OM長，進而可求出△AOB的面積，最后利用⊙O的面積約為6S△AOB即可計算出結(jié)果．
解：如圖，連接OA、OB，
由題意可得：∠AOB＝360÷6＝60°，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AB＝2，
過點O作OM⊥AB于點M，則AM＝BM＝1，
在Rt△AOM中，OM＝＝，
∴S△AOB＝，
∴⊙O的面積約為：6S△AOB＝6．
故答案為：6．

【點評】本題主要考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，正確應用正六邊形的性質(zhì)是解題關鍵．
10．如圖是用火柴棒拼出的一系列圖形，第一個圖形有4根火柴棒，第二個圖形有7根火柴棒，第三個圖形有10根火柴棒，按照這樣的規(guī)律，第n個圖形共有 　（3n+1）　根火柴棒．

【分析】先找出前三個圖形中的火柴棒的數(shù)數(shù)方法，找出規(guī)律．
解：第一個圖形有1+3＝4根火柴棒，
第二個圖形有1+2×3＝7根火柴棒，
第三個圖形有1+3×3＝10根火柴棒，
……
第n個圖形共有 （3n+1）根火柴棒，
故答案為：（3n+1）．
【點評】本題考查了圖形的變換類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．
11．如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是 　AB＝AD（答案不唯一）?。▽懗鲆粋€即可）

【分析】由平移的性質(zhì)得AB∥DE，AB＝DE，則四邊形ABED是平行四邊形，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．
解：這個條件可以是 AB＝AD，理由如下：
由平移的性質(zhì)得：AB∥DE，AB＝DE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB＝AD，
∴平行四邊形ABED是菱形，
故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和平移的性質(zhì)是解題的關鍵．
12．在平面直角坐標系中，點A（a，2）在反比例函數(shù)的圖象上，點A關于x軸的對稱點B在反比例函數(shù)的圖象上，則m的值為 　﹣8　．
【分析】把A（a，2）代入，可求得A（4，2），根據(jù)關于x軸的對稱點的坐標特點可得B（4，﹣2），然后再把B點坐標代入y＝可得m的值．
解：∵點A（a，2）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴2＝，
解得：a＝4，
∴A（4，2），
∵點A與點B關于x軸對稱，
∴B（4，﹣2），
∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，
∴﹣2＝，
解得：m＝﹣8．
故答案為：﹣8．
【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標，以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，關鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能使解析式左右相等．
13．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，AB＝4，點M在BC上，且BM＝1，點N是CD上一動點，則MN+ON的最小值為 　?。?br />
【分析】作O關于CD的對稱點E，連接EM交CD于N，則此時，MN+ON的值最小，且MN+ON的最小值為EM的長，過點E作EF⊥BC于F，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
解：作O關于CD的對稱點E，OE與CD交于G，
連接EM交CD于N，
則此時，MN+ON的值最小，且MN+ON的最小值為EM的長，
過點E作EF⊥BC于F，
則∠OGC＝∠F＝∠GCF＝90°，
∴四邊形GEFC是矩形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD＝OC，AC⊥BD，
∴OG＝CG，
∴四邊形GEFC是正方形，
∴EF＝CF＝CG＝CD＝2，
∵BM＝1，
∴CM＝3，
∴MF＝5，
∴ME＝＝＝，
故答案為：．

【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，勾股定理，正方形的性質(zhì)，正確地直線輔助線是解題的關鍵．
三、解答題（共14小題，計81分.解答應寫出過程）
14．計算：．
【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．
解：原式＝﹣2×2+﹣1
＝﹣4+﹣1
＝﹣5+．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵．
15．解不等式組：．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
解：，
由①得：x≤6，
由②得：x＜﹣，
則不等式組的解集為x．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．
16．解方程：．
【分析】方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3）得出x﹣3+（x+3）（x﹣3）＝（x﹣1）（x+3），求出方程的解，再進行檢驗即可．
解：，
方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3），得x﹣3+（x+3）（x﹣3）＝（x﹣1）（x+3），
解得：x＝﹣9，
檢驗：當x＝﹣9時，（x+3）（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣9是分式方程的解，
即分式方程的解是x＝﹣9．
【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關鍵．
17．如圖，AD是△ABC的角平分線，請用尺規(guī)作圖法，在△ABC的內(nèi)部找一點P，使得點P到△ABC的三邊距離均相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】作∠ABC的角平分線BE交AD于點P，點P即為所求．
解：如圖，點P即為所求．
理由：三角形的角平分線的交點到三邊距離相等．

【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
18．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，求證：∠ABD＝∠ACE．

【分析】根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
19．泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%，該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元．求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格．
【分析】設第一次購進A種茶的價格為x元/盒，B種茶的價格為y元/盒，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．
解：設第一次購進A種茶的價格為x元/盒，B種茶的價格為y元/盒，
依題意得：，
解得：．
答：第一次購進A種茶的價格為100元/盒，B種茶的價格為150元/盒．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
20．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DFE關于點O成中心對稱，△ABC與△DFE的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．
（1）在圖中畫出點O的位置；
（2）將FE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到FE'，求線段FE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積（結(jié)果保留π）．

【分析】（1）連接AD，BF，CE，交點即為點O．
（2）利用扇形面積公式計算即可．
解：（1）如圖，點O即為所求.
（2）由勾股定理得，EF＝＝，
∴線段FE在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為＝．

【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、中心對稱、扇形面積公式，熟練掌握中心對稱的性質(zhì)以及扇形面積公式是解答本題的關鍵．
21．近年來，西安的各個旅游景區(qū)紛紛結(jié)合自身特色推出了景區(qū)文旅演藝．“結(jié)伴成長”實踐小組的同學為完成實踐活動決定去觀看關于古城西安的歷史文化表演，他們各自要從A．夢回大唐，B．長恨歌，C．駝鈴傳奇，D．西安千古情這四個演出中隨機選擇一個，小組同學決定用轉(zhuǎn)盤游戲來選擇．如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，指針固定不動，轉(zhuǎn)盤被分成了大小相同的4個扇形，并在每個扇形區(qū)域分別標上A，B，C，D．（若指針落在分界線上，當作指向右邊的扇形區(qū)域）
（1）若轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤20次，其中有6次指針落在A區(qū)域，求這20次指針落在A區(qū)域的頻率；
（2）游戲規(guī)則：小組中每人轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪個區(qū)域就去觀看相應的演出．請用樹狀圖或列表法求小組中甲同學和乙同學觀看不同演出的概率．

【分析】（1）直接利用頻率公式計算即可．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和小組中甲同學和乙同學觀看不同演出的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）這20次指針落在A區(qū)域的頻率為＝＝0.3．
（2）畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結(jié)果，其中小組中甲同學和乙同學觀看不同演出的結(jié)果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC，共12種，
∴小組中甲同學和乙同學觀看不同演出的概率為＝．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．
22．如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對某公園的摩天輪的高度PQ進行測量，她先在D處豎立一根高1米的標桿CD，沿QD后退，恰好退到點B處看到標桿頂端C和摩天輪底端Q在一條直線上，繼續(xù)后退又在E處測得摩天輪頂端P的仰角∠PEQ＝38.8°，小敏的眼睛到地面的距離AB＝1.6米，BD＝6米，EB＝21.5米，已知點E，B，D，Q在一條水平線上，AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，求摩天輪的高PQ．（參考數(shù)據(jù)：tan38.8°≈0.80）

【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ABQ＝∠CDQ＝∠PQE＝90°，然后證明A字模型相似三角形△ABQ∽△CDQ，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BQ的長，進而可求出EQ的長，最后在Rt△EPQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算，即可解答．
解：∵AB⊥EQ，CD⊥EQ，PQ⊥EQ，
∴∠ABQ＝∠CDQ＝∠PQE＝90°，
∵∠CQD＝∠AQB，
∴△ABQ∽△CDQ，
∴＝，
∴＝，
解得：BQ＝16米，
∵EB＝21.5米，
∴EQ＝EB+BQ＝37.5（米），
在Rt△EPQ中，∠PEQ＝38.8°，
∴PQ＝EQ?tan38.8°≈37.5×0.8＝30（米），
∴摩天輪的高PQ約為30米．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．
23．2023年是全面貫徹落實黨的二十大精神的開局之年，是鞏固拓展脫貧攻堅成果同鄉(xiāng)村振興有效銜接的關鍵之年，為穩(wěn)步推進鄉(xiāng)村建設，某地推廣魔芋種植并邀請相關農(nóng)業(yè)技術人員來指導當?shù)鼐用穹N植，小林家種植魔芋，并利用魔芋開發(fā)出A，B兩種產(chǎn)品，其售價和成本如表所示：
商品
A產(chǎn)品
B產(chǎn)品
成本（元/袋）
8
15
售價（元/袋）
12
20
（1）已知第一季度A，B兩種產(chǎn)品共銷售2000袋，獲利9200元．求小林家第一季度銷售A產(chǎn)品多少袋；
（2）根據(jù)之前的銷售情況，估計第二季度還能由如表中的價格銷售兩種產(chǎn)品共3600袋，其中A產(chǎn)品的銷售量不多于1000袋．假設第二季度，銷售A產(chǎn)品為a袋，銷售這兩種產(chǎn)品獲得總利潤為w元，求出w與a之間的函數(shù)關系式，并求出第二季度，小林家銷售這兩種產(chǎn)品至少獲得總利潤多少元．
【分析】（1）設小林家第一季度銷售A產(chǎn)品x袋，根據(jù)獲利9200元列方程可解得答案；
（2）列出函數(shù)關系式，再根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
解：（1）設小林家第一季度銷售A產(chǎn)品x袋，
根據(jù)題意得：（12﹣8）x+（20﹣15）（2000﹣x）＝9200，
解得x＝800，
∴小林家第一季度銷售A產(chǎn)品800袋；
（2）根據(jù)題意得：
w＝（12﹣8）a+（20﹣15）（3600﹣a）＝﹣a+18000，
∵A產(chǎn)品的銷售量不多于1000袋，
∴a≤1000，
∴當a＝1000時，w取最小值，最小值為﹣1000+18000＝17000（元），
答：w與a之間的函數(shù)關系式為w＝﹣a+18000，第二季度，小林家銷售這兩種產(chǎn)品至少獲得總利潤17000元．
【點評】本題考查一次函數(shù)，一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程和函數(shù)關系式．
24．教育部日前印發(fā)《教育系統(tǒng)關于新時代學習弘揚雷鋒精神深入開展學雷鋒活動的實施方案》，方案提出，將雷鋒精神深度融入學校教育教學和人才培養(yǎng)的全過程、各方面．為弘揚雷鋒精神，某校開展了志愿者服務活動，活動項目有“強國有我”“公共法律服務”“愛心送溫暖”“青春護航”“綠色出行”五項，活動期間，隨機抽取了部分學生，對其參加志愿者服務情況進行調(diào)查．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，被調(diào)查的每名學生最少的參與了1項，最多的參與了5項，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）本次調(diào)查是 　抽樣　調(diào)查（選填“抽樣”或“全面”），所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的眾數(shù)是 　4　，中位數(shù)是 　3?。?br /> （2）求所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的平均數(shù)；
（3）該校共有學生1200人，估計其中參與了4項或5項活動的學生共有多少人？

【分析】（1）分別根據(jù)抽樣調(diào)查的定義，眾數(shù)的定義以及中位數(shù)的定義解答即可；
（2）根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法解答即可；
（3）用1200乘樣本中與了4項或5項活動的學生所占百分比即可．
解：（1）由題意可知，本次調(diào)查是抽樣調(diào)查；
所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的眾數(shù)是4；
中位數(shù)是3；
故答案為：抽樣；4；3；
（2）＝3.3（項），
答：所調(diào)查學生參加活動項目數(shù)量的平均數(shù)為3.3；
（3）1200×＝552（人）．
答：估計參與了4項或5項活動的學生大約有552人．
【點評】本題主要考查折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，根據(jù)折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得出解題所需的數(shù)據(jù)是解題的關鍵．
25．如圖，BP為⊙O的直徑，點A為PB延長線上一點，點C是⊙O上一點，過點C作CE⊥BO交BO于點D，交⊙O于點E，連接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．
（1）求證：AC為⊙O的切線；
（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的長度．

【分析】（1）連接OC、PC，根據(jù)圓周角定理得到∠BCP＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)推出∠BCE＝∠P，結(jié)合題意及等腰三角形的性質(zhì)推出∠ACB＝∠PCO，等量代換求出∠ACO＝90°，則AC⊥OC，根據(jù)切線的判定定理即可得解；
（2）根據(jù)垂徑定理推出CE＝2CD，設OD＝x，則OC＝1+x，根據(jù)勾股定理求出CD2＝OC2﹣OD2＝2x+1，CB2＝CB2＝2x+2，AC2＝2x+17，OA2＝AC2+OC2，進而求出x＝，即OD＝，CD2＝2，CD＝，據(jù)此求解即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC、PC，

∵BP為⊙O的直徑，
∴∠BCP＝90°，
∴∠CBP+∠P＝90°，
∵CE⊥BO交BO于點D，
∴∠BCE+∠CBP＝90°，
∴∠BCE＝∠P，
∵OC＝OP，
∴∠P＝∠PCO，
∵∠ACB＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠PCO，
∵∠BCO+∠PCO＝90°，
∴∠ACB+∠BCO＝∠ACO＝90°，
∴AC⊥OC，
∵OC是⊙O的半徑，
∴AC為⊙O的切線；
（2）解：∵CE⊥BO，
∴CE＝2CD，
設OD＝x，則OC＝OB＝BD+OD＝1+x，
在Rt△CDO中，CD2＝OC2﹣OD2＝（1+x）2﹣x2＝2x+1，
在Rt△CDB中，CB2＝CD2+BD2，
∴CB2＝2x+1+12＝2x+2，
在Rt△CDA中，AC2＝CD2+AD2，
∴AC2＝2x+1+（3+1）2＝2x+17，
在Rt△AOC中，OA2＝AC2+OC2，
∴（x+4）2＝2x+17+（1+x）2，
∴x＝，
即OD＝，
∴CD2＝2×+1＝2，
∴CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴CE＝2CD＝2．
【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理，熟記切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理是解題的關鍵．
26．如圖，拋物線y＝﹣x+3與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），直線l：y＝x+b經(jīng)過點A，且直線l與y軸交于點C．
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點P是拋物線上的動點，過點P分別作x軸，y軸的垂線，分別與直線l交于點D、E，是否存在點P，使得△PDE與△OCA相似，且△PDE與△OCA的相似比為2：1，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

【分析】（1）拋物線y＝﹣x2+x+3，令x＝0可得點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式，令y＝0，即可解決問題；
（2）證明△PDE∽△OAC，由△PDE與△OAC的相似比為2：1得＝2，設P（m，﹣m2+m+3），則PD＝|m+1+m2﹣m﹣3|＝2，解方程即可解決問題．
解：（1）拋物線y＝﹣x2+x+3，令y＝0得，0＝﹣x2+x+3，
解得x1＝3，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0）、B（3，0），
將A（﹣2，0）代入直線l：y＝x+b得×（﹣2）+b＝0，
∴b＝1，
∴直線l：y＝x+1，
令x＝0，得y＝1，
∴點C（0，1）；
（2）如圖，

∵PE⊥y軸，
∴PE∥x軸，
∴∠PED＝∠OAC，
∵PE⊥y軸，PD⊥x軸，
∴PD⊥PE，
∴∠EPD＝∠AOC＝90°，
∴△PDE∽△OAC，
∵△PDE與△OAC的相似比為2：1，
∴＝2，
設P（m，﹣m2+m+3），則D（m，m+1），
∴PD＝|m+1+m2﹣m﹣3|＝|m2﹣2|＝2，
解得m＝±2或0，
∴存在，點P的坐標為（2，﹣1）或（﹣2，﹣﹣1）或（0，3）．
【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了坐標與圖形性質(zhì)，拋物線與x軸的交點，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關鍵．
27．問題探究
（1）將一副直角三角尺按圖①所示的方式擺放，使這兩個直角三角尺的直角頂點重合在點O處．則∠AOC和∠BOD的關系是 　互補　；（選填“互補”或“互余”）
（2）如圖②，在△ABC中，點A到BC的距離等于2BC，∠B＝45°，AC＝，求△ABC的面積；
問題解決
（3）如圖③，有一個平面圖形為四邊形ABCD的庭院，其中CD＝6米，BC＝2AD＝36米，CD⊥BC，∠ADC＝150°．現(xiàn)設計者要在庭院中修建一個亭子P，并分別從四個頂點向亭子P處鋪四條石板路，把四邊形ABCD分成四個小三角形．根據(jù)設計要求△APD是等邊三角形，在△PAB區(qū)域修建一個小型池塘，其余區(qū)域種植花卉或景觀綠植．請你幫助設計者算出小型池塘△PAB的面積．

【分析】（1）根據(jù)周角的定義和補角的定義即可得到結(jié)論；（2）圖②，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD＝BD，求得CD＝BC，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）如圖③過P作PE⊥BC于E，延長BP交AD于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD＝AP＝PD＝18米，∠ADP＝60°，求得∠PDC＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DPC＝30°，求得PC＝2CD＝12米，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PCB＝∠CPD＝30°，求得PE＝PC＝6（米），CE＝PC＝18（米），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PBC＝∠BCP＝30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DPB+∠PBC＝180°，求得∠BPD＝150°，根據(jù)補角的定義得到∠HPD＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AH＝AD＝6（米），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠AOC和∠BOD的關系是互補；
故答案為：互補；
（2）圖②，過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，

∴∠D＝90°，
∵點A到BC的距離等于2BC，
∴AD＝2BC，
∵∠B＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∴CD＝BC，
∵AC＝，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴（2CD）2+CD2＝5，
∴CD＝1（負值舍去），
∴AD＝2，BC＝1，
∴△ABC的面積＝BC?AD＝＝1；
（3）如圖③過P作PE⊥BC于E，延長BP交AD于H，

∵△APD是等邊三角形，
∴AD＝AP＝PD＝18米，∠ADP＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠PDC＝90°，
∵CD＝6米，
∴tan∠CPD＝，
∴∠DPC＝30°，
∴PC＝2CD＝12米，
∵PD∥BC，
∴∠PCB＝∠CPD＝30°，
∴PE＝PC＝6（米），CE＝PC＝18（米），
∵BC＝36米，
∴BE＝BC﹣CE＝18（米），
∴BE＝CE，
∴米，
∴∠PBC＝∠BCP＝30°，
∵PD∥BC，
∴∠DPB+∠PBC＝180°，
∴∠BPD＝150°，
∴∠HPD＝30°，
∴∠PHD＝90°，
∴BH⊥AD，
∴AH＝AD＝6（米），
∴△PAB的面積＝PB?AH＝×＝36（米），
答：小型池塘△PAB的面積為36米．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了余角與補角，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形 到現(xiàn)在，等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關鍵．

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