2022-2023學(xué)年浙江省精誠(chéng)聯(lián)盟高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，對(duì)應(yīng)的傾斜角為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2．如圖，在平行六面體中，設(shè)，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算求解即可.【詳解】連接，如圖所示：.故選：B3．過點(diǎn)的直線與連接的線段總有公共點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖像可知直線從逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)，和線段總有公共點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）,算出和，進(jìn)而根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系，求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】由圖像可知直線從逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到時(shí)，和線段總有公共點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），，，由直線傾斜角和斜率的關(guān)系，可得直線的斜率的取值范圍是，故選：B.4．下列四個(gè)正方體圖形中，分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，由題意得，，而，，平面，平面，平面，平面，故平面平面，而平面，故平面，故A正確，對(duì)于B，取的中點(diǎn)，底面中心，則，故與相交，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，故平面，則平面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，作平行四邊形，則與相交，故D錯(cuò)誤，故選：A5．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再利用反射光線過點(diǎn)，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，化簡(jiǎn)得，解得，故反射光線過點(diǎn)與點(diǎn)則反射光線所在直線的方程為故選：C6．在正四面體中，分別為和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BM,取BM的中點(diǎn)D，連接CD,ND.判斷出（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，利用余弦定理即可求得.【詳解】如圖示，連接BM,取BM的中點(diǎn)D，連接CD,ND.因?yàn)?/span>分別為和的中點(diǎn)，所以.所以（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角.在正四面體中，設(shè)其邊長(zhǎng)為2，則，所以.而,.在中，由余弦定理得：.即異面直線與所成的角的余弦值為.故選：A7．已知圓經(jīng)過三點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓的方程為，利用待定系數(shù)法求出圓的方程，從而可求出圓心和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)到圓心的距離的最小值，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)圓的方程為，則，解得，則圓的方程為，即，故圓心，半徑，則點(diǎn)到圓心的距離，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值是.故選：A.8．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是等腰直角三角形，平面平面，當(dāng)棱上一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，過做截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，由題意可得平面建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算出到直線的距離最小時(shí)的具體坐標(biāo)，再用空間向量的方法計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離即可【詳解】取的中點(diǎn)，連接因?yàn)?/span>是等腰直角三角形且，所以，，，因?yàn)槠矫?/span>平面平面平面平面所以平面所以以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在棱上，所以設(shè)，則所以，，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的最小距離為，此時(shí)點(diǎn)是的中點(diǎn)即因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為所以梯形的面積為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，所以，則點(diǎn)到平面的距離，所以四棱錐的體積為，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：針對(duì)于立體幾何中角度范圍和距離范圍的題目，可以建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行求解，熟練各種距離、各種角度的計(jì)算方式 二、多選題9．已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（    ）A．圓的圓心為B．圓的半徑為5C．點(diǎn)不在圓上D．圓關(guān)于對(duì)稱【答案】BD【分析】將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心半徑，判斷出A錯(cuò)誤、 B正確；將點(diǎn)帶入圓的方程，滿足方程判斷點(diǎn)在圓上，故C錯(cuò)誤；在直線上，所以圓關(guān)于對(duì)稱.【詳解】可化為：，所以圓的圓心為，半徑為5，故A錯(cuò)誤、 B正確；因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓上，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閳A心為在直線上，所以圓關(guān)于對(duì)稱，故D正確；故選：BD.10．已知空間向量，，則下列說法正確的是（    ）A．向量與、垂直B．向量與、共面C．若與分別是異面直線與的方向向量，則其所成的角的余弦值為D．向量在向量上的投影向量為【答案】BC【分析】利用空間垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用共面向量的基本定理可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，故、不垂直，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，所以，，解得，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，所以，直線異面直線與的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量，D錯(cuò).故選：BC.11．如圖所示，邊長(zhǎng)為的等邊從起始位置（與軸重合）繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與軸重合得到，在旋轉(zhuǎn)的過程中，下列說法正確的是（    ）A．邊所在直線的斜率的取值范圍是B．邊所在直線在軸上截距的取值范圍是C．邊與邊所在直線的交點(diǎn)為D．當(dāng)的中垂線為時(shí)，【答案】ACD【分析】求出直線、的斜率，可判斷A選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)，其中，求出直線在軸上的截距的取值范圍，可判斷B選項(xiàng)；求出邊與邊所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；求出直線的斜率，可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可知，、、、，，，對(duì)于A選項(xiàng)，邊所在直線斜率的取值范圍是，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，且，設(shè)點(diǎn)，其中為銳角，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，則，，則，所以，直線的方程為，即，所以，邊所在直線在軸上截距為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立可得，因此，邊與邊所在直線的交點(diǎn)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)的中垂線為時(shí)，即，則，則，所以，，D對(duì).故選：ACD.12．已知是正方體的中心，過點(diǎn)的直線與該正方體的表面交于、兩點(diǎn)，下列敘述正確的有（    ）A．點(diǎn)、到正方體個(gè)表面的距離分別為、，則為定值B．線段在正方體個(gè)表面的投影長(zhǎng)度為，則為定值C．正方體個(gè)頂點(diǎn)到直線的距離分別為，則為定值D．直線與正方體條棱所成的夾角的，則為定值【答案】AD【分析】利用特例法可判斷BC選項(xiàng)；求出、到正方體個(gè)表面的距離之和，可判斷A選項(xiàng)；利用長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如下圖所示：由正方體的對(duì)稱性可知，點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面、的距離之和為，點(diǎn)到平面、的距離之和為，所以，，同理，，故為定值，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)為正方體的一條體對(duì)角線，不妨設(shè)與線段重合，在正方體各面上的投影長(zhǎng)為，此時(shí)，當(dāng)平面時(shí)，在面、的投影長(zhǎng)為，在面、、、的投影長(zhǎng)為，此時(shí)，故不是定值，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)平面時(shí)，正方體的八個(gè)頂點(diǎn)到直線的距離均為，此時(shí)，，當(dāng)與體對(duì)角線重合時(shí)，點(diǎn)、到直線的距離為，平面，平面，，且，，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，同理可知，點(diǎn)、、、、到直線的距離均為，此時(shí)，所以，不為定值，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)與正方體的棱平行時(shí)，不妨設(shè)平面垂直，此時(shí)與棱、、、、、、、都垂直，與棱、、、都平行，此時(shí)，當(dāng)不與正方體的棱平行時(shí)，過點(diǎn)、分別作正方體的棱的平行線，構(gòu)成長(zhǎng)方體，設(shè)與棱、、所成的角分別為、、，由圖可知，，同理可得，，由長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)可得，所以，，此時(shí)，所以，為定值，D對(duì).故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正方體的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于對(duì)的位置進(jìn)行分類討論，結(jié)合長(zhǎng)方體的幾何性質(zhì)求解. 三、填空題13．已知向量若，則___________.【答案】1【分析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】由題意得，則，故答案為：114．已知直線則與的距離___________.【答案】1.5【分析】根據(jù)平行線距離公式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則與的距離，故答案為：15．點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，___________.【答案】【分析】求出直線所過的定點(diǎn)，再根據(jù)過定點(diǎn)和點(diǎn)所在直線與已知直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，求得已知直線的斜率，即可得出答案.【詳解】解：由直線，得，令，解得，所以直線過定點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)所在的直線與直線垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，由點(diǎn)和點(diǎn)所在的直線的斜率為，得直線的斜率為，即，解得.故答案為：0.16．在正三棱錐中，，為的中點(diǎn)，為上靠近的三等分點(diǎn)，在平面上，且滿足，在的邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是___________.【答案】【分析】分析可知的軌跡以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓，分析出取最大值和最小值時(shí)，點(diǎn)、的位置，利用余弦定理可求得直線與所成角的余弦值的最小值和最大值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為正的中心，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，平面，平面，，，則、、、、、，設(shè)點(diǎn)，，，所以，，可得，易知的內(nèi)切圓半徑為，故點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑長(zhǎng)為的圓上運(yùn)動(dòng)，作出的平面圖如下圖所示：由于點(diǎn)是固定的，當(dāng)取最大值，此時(shí)取最大值，且此時(shí)點(diǎn)為的某個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則為線段的中點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，；當(dāng)取最小值時(shí)，則取最小值，此時(shí)點(diǎn)為某邊的中點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，，所以，.因此，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查異面直線所成角余弦值的取值范圍，解本題的關(guān)鍵就是要確定點(diǎn)的軌跡，確定取最大值和最小值時(shí)的位置，再結(jié)合余弦定理求解. 四、解答題17．求滿足下列條件的直線的一般式方程：(1)經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)與直線垂直，且點(diǎn)到直線的距離為.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求交點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)式，可得答案；（2）根據(jù)垂直設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離，可得答案.【詳解】(1)由，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為所求直線又經(jīng)過點(diǎn)，得直線的兩點(diǎn)式：，所求直線的一般式：.(2)所求直線與垂直，可設(shè)直線的方程為.又直線到點(diǎn)的距離為，，解得或，所求的直線方程為或.18．如圖，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求證：(1)平面；(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）要證線面平行只需在平面中找到一條直線與已知直線平行即可.（2）證明線面垂直可以直接用線面垂直的判定定理證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與直線的方向向量，證明平面的法向量與直線的方向向量平行.【詳解】(1)證明：如圖，在直三棱柱中，連接交與點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn).在中，點(diǎn)分別為中點(diǎn).平面平面平面(2)證法1：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)在直三棱柱中，平面，平面又是等腰直角三角形             平面點(diǎn)分別是的中點(diǎn)          平面又平面     .，且為中點(diǎn)         ，即.平面平面平面.證法2：如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則      設(shè)平面的法向量為，即，令，則.       平面.19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的比為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)已知，求的最大值.【答案】(1)，以為圓心2為半徑的圓(2)74 【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式，根據(jù)題意，列方程，可得答案；（2）同（1）整理方程，由定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得：.為以為圓心2為半徑的圓.(2)由題意可得：，又由的幾何意義是到原點(diǎn)的距離的平方，可得：當(dāng)坐標(biāo)為取到最大值74.20．在中，的平分線所在的直線方程分別是.(1)求邊所在直線的方程；(2)求的內(nèi)切圓的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由幾何關(guān)系知先求關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，直線即為直線，（2）由兩角平分線的交點(diǎn)得內(nèi)切圓圓心，再由點(diǎn)到直線距離公式得半徑后求解，【詳解】(1)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)與垂直的直線為，與交點(diǎn)為，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，而，邊所在直線即為直線.(2)由題意可知內(nèi)切圓的圓心即為的交點(diǎn)，聯(lián)立，，得，所以內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)內(nèi)切圓圓心到直線的距離為，，故內(nèi)切圓方程為.21．如圖，在三棱錐中，.(1)求證：；(2)若與面所成角的正弦值為，求二面角大小.【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證明面，再根據(jù)線面垂直的性子可得，即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，與面所成角為，設(shè)，利用向量法結(jié)合線面角的余弦值求出，再根據(jù)，可得即為二面角的平面角，即可得解.【詳解】(1)證明：取中點(diǎn)，連接，又面，面，又面，又；(2)解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，與面所成角為，則，設(shè)，則，，，，設(shè)面的法向量，則有，可取，則解得或1（舍去）故，因?yàn)?/span>，所以即為二面角的平面角，所以二面角大小.22．如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面.(1)求證：平面；(2)若平面與平面的夾角，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）在平面內(nèi)，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理求解即可；（2）解法一：結(jié)合題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)二面角的向量求解方法得點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的直線上，進(jìn)而分別討論點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)求解即可；解法二：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，過作直線垂線，連接，進(jìn)而得是平面與平面夾角的平面角，再根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】(1)解：證明：在平面內(nèi)，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，即平面平面，平面平面，平面，平面又∵平面同理平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面∴∵平面平面(2)解：方法一：由（1）知平面，故如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，  平面的法向量，設(shè)平面的法向量；則有，即，令得，所以，；因?yàn)槠矫?/span>與平面的夾角，所以，，解得：；所以點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的直線上；當(dāng)點(diǎn)直線時(shí)，可求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).所以，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線；當(dāng)直線時(shí)，同理可求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).所以；綜上，的最小值為.方法二：延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>所以，，過作直線垂線，連接，即由（1）知，平面，平面，所以，因?yàn)?/span>平面所以，平面，因?yàn)?/span>平面，所以，即是平面與平面夾角的平面角；因?yàn)槠矫?/span>與平面的夾角，所以；所以；記點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，.所以，所以，“=”成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線；所以的最小值為  

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