專題四 一次方程（組）（講義篇）——2023屆中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)考全掌握講解一：一元一次方程及其解法 一、等式的性質(zhì)類別具體內(nèi)容表示性質(zhì)1等式兩邊加（減）同一個(gè)數(shù)（式子），結(jié)果仍相等如果，那么性質(zhì)2等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等如果，那么或性質(zhì)3等式兩邊同時(shí)乘方（開(kāi)方），結(jié)果仍相等如果，那么或二、一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），未知數(shù)的次數(shù)都是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程.1.方程：含有未知數(shù)的等式2.未知數(shù)的系數(shù)不為0.三、一元一次方程的解法使方程中等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步驟如下：變形名稱具體做法變形依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù).當(dāng)分母是小數(shù)時(shí)，要利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把小數(shù)化為整數(shù)等式的性質(zhì)2（1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)（2）分子是一個(gè)多項(xiàng)式，去分母后加上括號(hào)去括號(hào)一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)分配律，去括號(hào)法則不要漏乘括號(hào)里面的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別移至等號(hào)的兩側(cè)移項(xiàng)法則（等式的性質(zhì)1）移項(xiàng)要變號(hào)，不移項(xiàng)不要變號(hào)合并同類項(xiàng)把方程化為（其中）的形式合并同類項(xiàng)法則（1）系數(shù)相加（2）字母及指數(shù)不變系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為等式的性質(zhì)2（1）除數(shù)不為0（2）不要把分子分母顛倒  1.（2022.青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是(   )A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】A.若，則，故A符合題意；B.若，則，故B不符合題意；C.若，則，故C不符合題意；D.，則，故D不符合題意；故選A.2.（2022.廣西百色）方程的解是(   )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：；移項(xiàng)得，；合并同類項(xiàng)得，；故選：C.3.（2022.貴州黔西南州）小明解方程的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得①去括號(hào)，得②移項(xiàng)，得③合并同類項(xiàng)，得④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是(   )A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】解：方程兩邊同乘6，得①
開(kāi)始出錯(cuò)的一步是①，故選A.4.（2022.四川廣元）解方程：.【答案】【解析】，
，，，，. 講解二：二元一次方程（組）及其解法 一、二元一次方程（組）的相關(guān)概念類別定義二元一次方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程二元一次方程組共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程組成的方程組二元一次方程組的解二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解三元一次方程含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程三元一次方程組共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組成的方程組 1.在二（三）元一次方程中，未知數(shù)的系數(shù)都不等為0.2.含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，不是未知數(shù)的指數(shù)都是1，如不是二元一次方程.3.在二（三）元一次方程組中，一共含有兩（三）個(gè)未知數(shù)，并非每個(gè)方程都必須含有兩（三）個(gè)未知數(shù).二、二（三）元一次方程組的解法解二（三）元一次方程組的基本思路是消元.類別具體內(nèi)容代入消元法將方程組中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)加減消元法①當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)（相同）時(shí)，把兩個(gè)方程相加（相減）消去其中一個(gè)未知數(shù)；②當(dāng)系數(shù)既不互為相反數(shù)也不相同時(shí)，需先將兩個(gè)方程適當(dāng)變形（將一組未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值化為相同）后，再通過(guò)相加（相減）消去其中一個(gè)未知數(shù)1.書(shū)寫(xiě)方程組的解時(shí)，通常用“{”把各個(gè)未知數(shù)的值合寫(xiě)在一起.2.檢驗(yàn)一組數(shù)是否為方程組的解時(shí)，只需將這組數(shù)同時(shí)代入方程組即可.  5.（2022.山東聊城）關(guān)于x，y的方程組的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為(   )A. B. C. D.【答案】A【解析】把兩個(gè)方程相減，可得，根據(jù)題意得：，
解得：.所以k的取值范圍是.故選A.6.（2022.遼寧沈陽(yáng)）二元一次方程組的解是______.【答案】【解析】把②代入①，得.解得.把代入②，得.原方程組的解為故答案為7.（2022.上海）解方程組的結(jié)果為_____.【答案】，【解析】，且，，可得方程組，解得：.故答案為：.8.（2022.湖北荊州）已知方程組的解滿足，求k的取值范圍.【答案】【解析】令①+②得，，解得：，將代入①中得，，解得：，將，代入得，，解得：. 講解三：利用一次方程（組）解決生活實(shí)際問(wèn)題  一、配套問(wèn)題1.在配套問(wèn)題中，配套的物品之間都具有一定的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系可以作為列方程的依據(jù).2.生產(chǎn)配套問(wèn)題中的基本相等關(guān)系：加工（或生產(chǎn)）的各種零件、配件的總數(shù)量比等于一套組合件中各種零件、配件的數(shù)量比.3.調(diào)配問(wèn)題中的基本相等關(guān)系：指從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，或從第三方調(diào)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，其基本相等關(guān)系為：甲人（或物）數(shù)+乙人（或物）數(shù)=總?cè)耍ɑ蛭铮?shù).【注意】生產(chǎn)配套問(wèn)題的關(guān)鍵是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出現(xiàn)，則生產(chǎn)總量的比例等于一套的比例；若配套的方式給出數(shù)量，如件A產(chǎn)品與件B產(chǎn)品配套，則相等關(guān)系是“A產(chǎn)品的件數(shù)=B產(chǎn)品的件數(shù)” 二、工程問(wèn)題1.基本關(guān)系式：，，. 2.找相等關(guān)系的方法與形成問(wèn)題相類似，一般有如下規(guī)律：在工作量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量中，如果一個(gè)量已知，從另一個(gè)設(shè)元，那么就從第三個(gè)量找相等關(guān)系列方程.【注意】1.當(dāng)問(wèn)題中總工作量未知而又不求總工作量時(shí)，統(tǒng)稱把總工作量看做整體1.2.常見(jiàn)的相等關(guān)系為：總工作量=各部分工作量之和 三、銷售問(wèn)題1.在現(xiàn)實(shí)生活中，購(gòu)買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常遇到的幾個(gè)量：進(jìn)價(jià)、標(biāo)價(jià)、售價(jià)、折扣、利潤(rùn)、利潤(rùn)率.2.相關(guān)的相等關(guān)系（1）；（2）；（3）；（4）【注意】當(dāng)售價(jià)相同，盈利率與虧損率也相同時(shí)，其結(jié)果一定是虧損，因?yàn)橛唐返倪M(jìn)價(jià)一定小于售價(jià)，虧損商品的進(jìn)價(jià)一定大于售價(jià)，而盈利的錢數(shù)=盈利商品的進(jìn)價(jià)×盈利率，虧損的錢數(shù)=虧損商品的進(jìn)價(jià)×虧損率，故虧損的錢數(shù)大于盈利的錢數(shù). 四、積分問(wèn)題在比賽積分問(wèn)題中，基本相等關(guān)系有：參賽場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平均數(shù)比賽總積分=勝場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分【注意】（1）比賽中的積分與勝負(fù)場(chǎng)數(shù)有關(guān)，同時(shí)也與比賽積分規(guī)則有關(guān)，需先弄清“勝一場(chǎng)積幾分，平一場(chǎng)積幾分，負(fù)一場(chǎng)積幾分”.（2）在積分規(guī)則中，一般規(guī)律為：勝場(chǎng)積分>平場(chǎng)積分>負(fù)場(chǎng)積分，據(jù)此可粗略判斷解題的結(jié)果是否正確.（3）所謂比賽中的積分問(wèn)題是指一種題目類型，其問(wèn)題情境不一定是比賽. 五、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系（2）設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)（3）列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列方程組（4）解：解方程組，求出未知數(shù)的值（5）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義（6）答：寫(xiě)所答【注意】找等量關(guān)系的方法（1）抓住題目中的關(guān)鍵詞，常見(jiàn)的關(guān)鍵詞有：“比”“是”“等于”等；（2）根據(jù)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，如體積公式、面積公式等，找等量關(guān)系；（3）挖掘題目中的隱含條件，如飛機(jī)沿同一航線航行，順風(fēng)航行與逆風(fēng)航行的路程相等；（4）借助列表格、畫(huà)線段示意圖等方法找等量關(guān)系  9.（2022.貴州銅仁）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答一個(gè)扣1分.小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為(   )A.14 B.15 C.16 D.17【答案】B【解析】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，由題意得，解得，故選B.10.（2022.甘肅金昌）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問(wèn)何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海.現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇？設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意可列方程為(   )A. B. C. D.【答案】A【解析】把南海到北海的路程看作單位“1”，野鴨的速度是，大雁的速度為，根據(jù)相遇時(shí)間=總路程÷速度和，即可列方程.設(shè)經(jīng)過(guò)x天相遇，根據(jù)題意得.故選A11.（2022.河北）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖.按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出.然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置.如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置.已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是(   )
 A.依題意 B.依題意C.該象的重量是5040斤 D.每塊條形石的重量是260斤【答案】B【解析】根據(jù)題意，得，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；解上述方程，得，即每塊條形石的重量是240斤，大象的重量為（斤），故選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤.12.（2022.浙江衢州）某班環(huán)保小組收集廢舊電池，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表.問(wèn)1節(jié)5號(hào)電池和1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量分別是多少？設(shè)1節(jié)5號(hào)電池的質(zhì)量為x克，1節(jié)7號(hào)電池的質(zhì)量為y克，列方程組，由消元法可得的值為(   ) 5號(hào)電池(節(jié))7號(hào)電池(節(jié))總質(zhì)量（克）第一天2272第二天3296A.12 B.16 C.24 D.26.【答案】C【解析】由題意得：，解得，故選：C.13.（2022.安徽）某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元，2021年進(jìn)出口總額比2020年有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%，出口額增加了30%.注：進(jìn)出口總額=進(jìn)口額+出口額.（1）設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x，y的代數(shù)式填表：年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y （2）已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額分別是多少億元.【答案】（1）（2）進(jìn)口額400億元，出口額是260億元【解析】（1）解：年份進(jìn)口額/億元出口額/億元進(jìn)出口總額/億元2020xy52020211.25x1.3y故答案為：；（2）由題意得
解得
，.
答：2021年進(jìn)口額為400億元，出口額為260億元.14.（2022.遼寧大連）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩和冬殘奧會(huì)吉祥物雪容融深受大家喜愛(ài).已知購(gòu)買1個(gè)冰墩墩毛絨玩具和2個(gè)雪容融毛絨玩具用了400元，購(gòu)買3個(gè)冰墩墩毛絨玩具和4個(gè)雪容融毛絨玩具用了1000元.這兩種毛絨玩具的單價(jià)各是多少元？【答案】冰墩墩毛絨玩具和雪容融毛絨玩具的單價(jià)分別為每個(gè)200元，100元.【解析】設(shè)冰墩墩毛絨玩具的單價(jià)為x元，雪容融毛絨玩具的單價(jià)為y元，
依題意得：，
解得：，答：冰墩墩毛絨玩具的單價(jià)為200元，雪容融毛絨玩具的單價(jià)為100元. 

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