課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過(guò)“樣板”，學(xué)會(huì)通過(guò)邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是要學(xué)習(xí)分析問(wèn)題的思路、解決問(wèn)題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。
2、精練習(xí)題
復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性
每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯(cuò)題
“錯(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
§8.1 直線的方程
考試要求 1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)．
知識(shí)梳理
1．直線的方向向量
設(shè)A，B是直線上的兩點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α0，
因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，
則1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值為eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)a＝4，b＝2，故直線l的方程為eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．
解 由本例方法二知，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))
＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(2b,a)≥3＋2eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2＋eq \r(2)，b＝1＋eq \r(2)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為x＋eq \r(2)y＝2＋eq \r(2).
2．本例中，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．
解 方法一 由本例方法一知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)
＝2×eq \f(1＋k2,|k|)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?－k?＋\f(1,?－k?)))≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－eq \f(1,k)，
即k＝－1時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
所以|MA|·|MB|＝|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為x＋y－3＝0.
教師備選
如圖所示，為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪，但△EFA內(nèi)部為文物保護(hù)區(qū)，不能占用，經(jīng)測(cè)量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？
解 如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
則E(30,0)，F(xiàn)(0,20)，
∴直線EF的方程為eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1.
易知當(dāng)矩形草坪的兩鄰邊在BC，CD上，且一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上時(shí)，可使草坪面積最大，在線段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R，
設(shè)矩形PQCR的面積為S，
則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－eq \f(2,3)m，
∴S＝(100－m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80－20＋\f(2,3)m))
＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，
∴當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值，此時(shí)eq \f(|EP|,|PF|)＝5，
∴當(dāng)矩形草坪的兩鄰邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)P在線段EF上，且|EP|＝5|PF|時(shí)，草坪面積最大．
思維升華 直線方程綜合問(wèn)題的兩大類型及解法
(1)與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題：解決這類問(wèn)題，一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．
(2)與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
跟蹤訓(xùn)練3 已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．
(1)證明 直線l的方程可化為
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴無(wú)論k取何值，直線l總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－2,1)．
(2)解 由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－eq \f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)1，))
解得k>0；
當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞)．
(3)解 由題意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))
解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(?1＋2k?2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的條件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0.
課時(shí)精練
1．已知直線l過(guò)點(diǎn)(－2,1)，且傾斜角是eq \f(π,2)，則直線l的方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．y＝－eq \f(1,2)x
C．x＋2＝0 D．y－1＝0
答案 C
解析 由于直線l過(guò)點(diǎn)(－2,1)，且傾斜角是eq \f(π,2)，則直線l的方程為x＝－2，即x＋2＝0.
2．(2022·蕪湖模擬)傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為( )
A．y＝－eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 B
解析 斜率為tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接寫出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.
3．過(guò)點(diǎn)(－1,0)，且方向向量為a＝(5，－3)的直線的方程為( )
A．3x＋5y－3＝0 B．3x＋5y＋3＝0
C．3x＋5y－1＝0 D．5x－3y＋5＝0
答案 B
解析 方法一 設(shè)直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則向量(x＋1，y)與a＝(5，－3)平行，
則－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二 因?yàn)橹本€的方向向量為a＝(5，－3)，
所以所求直線的斜率k＝－eq \f(3,5)，
故所求直線的方程為y＝－eq \f(3,5)(x＋1)，
即3x＋5y＋3＝0.
4．若直線y＝ax＋c經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，則有( )
A．a(chǎn)＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，c＜0
C．a(chǎn)＜0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，c＜0
答案 A
解析 因?yàn)橹本€y＝ax＋c經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，所以直線的斜率a＞0，在y軸上的截距c＞0.
5．(2022·衡水模擬)1949年公布的《國(guó)旗制法說(shuō)明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個(gè)角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個(gè)角尖正對(duì)大五角星的中心點(diǎn)．有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近．為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為( )
A．0° B．1° C．2° D．3°
答案 C
解析 ∵O，O3都為五角星的中心點(diǎn)，
∴OO3平分第三顆小星的一個(gè)角，
又五角星的內(nèi)角為36°，可知∠BAO3＝18°，
過(guò)O3作x軸的平行線O3E，如圖，
則∠OO3E＝α≈16°，
∴直線AB的傾斜角為18°－16°＝2°.
6．直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5) B．k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞1或k＜eq \f(1,5) D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1
答案 D
解析 設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－eq \f(2,k)，
令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，
解不等式可得k>eq \f(1,2)或k0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為________．
答案 16
解析 根據(jù)A(a，0)，B(0，b)確定直線的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又因?yàn)镃(－2，－2)在該直線上，
故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因?yàn)閍b>0，故a

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