課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認真研究，深刻理解，要透過“樣板”，學(xué)會通過邏輯思維，靈活運用所學(xué)知識去分析問題和解決問題，特別是要學(xué)習(xí)分析問題的思路、解決問題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。
2、精練習(xí)題
復(fù)習(xí)時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學(xué)知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性
每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題
“錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯誤不犯第二次。
§7.1 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
考試要求 1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．
知識梳理
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2.直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4.柱、錐、臺、球的表面積和體積
常用結(jié)論
1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論
(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．
(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．
2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．( × )
(2)用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．( √ )
(3)菱形的直觀圖仍是菱形．( × )
(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方．( × )
教材改編題
1．如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是( )
A．棱臺 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
答案 C
2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，所以πl(wèi)＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
3．如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．
答案 1∶47
解析 設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出的棱錐的體積為V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×
eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
題型一 基本立體圖形
命題點1 結(jié)構(gòu)特征
例1 下列命題正確的是( )
A．在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線
B．直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐
C．棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等
D．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺
答案 D
解析 A不一定，只有當這兩點的連線垂直于底面時才是母線；
B不一定，當以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；
C錯誤，棱臺的上、下底面相似且對應(yīng)邊互相平行．棱臺的各側(cè)棱延長線交于一點，但是這些側(cè)棱的長不一定相等．
教師備選
(多選)下列說法錯誤的是( )
A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的多面體是棱錐
B．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺
C．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐可能為六棱錐
D．如果一個棱柱的所有面都是長方形，那么這個棱柱是長方體
答案 ABC
解析 選項A，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，即其余各面的三角形必須有公共的頂點，故A錯誤；選項B，棱臺是由棱錐被平行于棱錐底面的平面所截而得的，而有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體有可能不是棱臺，因為它的側(cè)棱延長后不一定交于一點，故B錯誤；選項C，當棱錐的各個側(cè)面的共頂點的角之和是360°時，各側(cè)面構(gòu)成平面圖形，故這個棱錐不可能為六棱錐，故C錯誤；選項D，若每個側(cè)面都是長方形，則說明側(cè)棱與底面垂直，又底面也是長方形，符合長方體的定義，故D正確．
思維升華 空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
(2)說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
命題點2 直觀圖
例2 有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．
答案 2＋eq \f(\r(2),2)
解析 DC＝ABsin 45°＝eq \f(\r(2),2)，
BC＝ABcs 45°＋AD＝eq \f(\r(2),2)＋1，
S梯形ABCD＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·DC
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(2),2)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,4)，
S＝eq \f(4,\r(2))S梯形ABCD＝2＋eq \f(\r(2),2).
教師備選
(2022·益陽調(diào)研)如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′的面積為4，則該平面圖形的面積為( )
A.eq \r(2) B．4eq \r(2) C．8eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 由S原圖形＝2eq \r(2)S直觀圖，得S原圖形＝2eq \r(2)×4＝8eq \r(2).
思維升華 (1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝
eq \f(\r(2),4)S原圖形．
命題點3 展開圖
例3 如圖所示的扇形是某個圓錐的側(cè)面展開圖，已知扇形所在圓的半徑R＝eq \r(5)，扇形弧長l＝4π，則該圓錐的表面積為( )
A．2π
B．(4＋2eq \r(5))π
C．(3＋eq \r(5))π
D．8π＋eq \r(5)
答案 B
解析 設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝4π，解得r＝2，
∴圓錐的表面積S表＝S底面圓＋S側(cè)＝πr2＋eq \f(1,2)lR＝π×22＋eq \f(1,2)×4π×eq \r(5)＝(4＋2eq \r(5))π.
教師備選
(2020·浙江)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)為2π，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑(單位：cm)是________．
答案 1
解析 如圖，設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
則圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝2π，
∴r·l＝2.
又圓錐側(cè)面展開圖為半圓，
∴eq \f(1,2)πl(wèi)2＝2π，
∴l(xiāng)＝2，∴r＝1.
思維升華 多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(多選)給出下列命題，其中真命題是( )
A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形
B．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直
C．在四棱柱中，若過相對側(cè)棱的兩個截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱
D．存在每個面都是直角三角形的四面體
答案 BCD
解析 A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；
B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個二面角都是直二面角；
C正確，因為過相對側(cè)棱的兩個截面的交線平行于側(cè)棱，又兩個截面都垂直于底面，故該四棱柱為直四棱柱；
D正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形．
(2)(2022·泰安模擬)已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一個( )
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．鈍角三角形
答案 A
解析 根據(jù)斜二測畫法還原△ABC在直角坐標系中的圖形，如圖，
則BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝eq \r(3)，
AC＝AB＝eq \r(?\r(3)?2＋12)＝2，
所以△ABC是一個等邊三角形．
(3)(2022·蚌埠模擬)如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則小蟲爬行的最短路程為( )
A．12eq \r(3) B．16 C．24 D．24eq \r(3)
答案 A
解析 如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為θ，
則由題意可得2π×4＝12θ，
則θ＝eq \f(2π,3)，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
則小蟲爬行的最短路程為
PP′＝eq \r(122＋122－2×12×12×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝12eq \r(3).
題型二 表面積與體積
命題點1 表面積
例4 (1)(2022·濟南調(diào)研)如圖，四面體的各個面都是邊長為1的正三角形，其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的表面積是( )
A.eq \f(?\r(2)＋2?π,3) B.eq \f(?9\r(2)＋8?π,12)
C.eq \f(2?\r(2)＋1?π,3) D.eq \f(?\r(2)＋2?π,2)
答案 C
解析 如圖所示，過點P作PE⊥平面ABC，E為垂足，點E為等邊三角形ABC的中心，連接AE并延長，交BC于點D.
AE＝eq \f(2,3)AD，AD＝eq \f(\r(3),2)，
∴AE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴PE＝eq \r(PA2－AE2)＝eq \f(\r(6),3).
設(shè)圓柱底面半徑為r，則r＝AE＝eq \f(\r(3),3)，
∴圓柱的側(cè)面積S1＝2πr·PE＝2π×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(2\r(2)π,3)，
底面積S2＝πr2×2＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2×2＝eq \f(2π,3)，
∴圓柱的表面積S＝S1＋S2＝eq \f(2\r(2)π,3)＋eq \f(2π,3)
＝eq \f(2?\r(2)＋1?π,3).
(2)(2022·南京質(zhì)檢)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________．
答案 (60＋4eq \r(2))π
解析 由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺上面挖去一個圓錐的組合體．如圖，過C作CE⊥AD交AD的延長線于E，過C作AB的垂線，垂足為F.
則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，
CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝eq \r(32＋42)＝5.
故圓臺的上底面半徑r＝2，
下底面半徑R＝5，高h＝4，母線長l2＝5.
圓錐底面半徑r＝2，高h＝2，母線長l1＝2eq \r(2).
所以圓臺側(cè)面積
S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，
圓錐側(cè)面積
S2＝eq \f(1,2)×2πr×l1＝eq \f(1,2)×2π×2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)π，
圓臺下底面面積S3＝πR2＝25π.
故該幾何體的表面積
S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq \r(2)π＋25π
＝(60＋4eq \r(2))π.
教師備選
已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，
則由x2＝8，得x＝2eq \r(2)，
∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.
思維升華 (1)多面體的表面積是各個面的面積之和．
(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
(3)組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
命題點2 體積
例5 (1)(2021·新高考全國Ⅱ)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，則其體積為( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 作出圖形，連接該正四棱臺上、下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上、下底面的邊長分別為2,4，側(cè)棱長為2，
所以該棱臺的高h＝eq \r(22－?2\r(2)－\r(2)?2)＝eq \r(2)，
下底面面積S1＝16，上底面面積S2＝4，
所以該棱臺的體積V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
(2)(2020·新高考全國Ⅱ)棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點，則三棱錐A1－D1MN的體積為________．
答案 1
解析 如圖，由正方體棱長為2，
得＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，
又易知D1A1為三棱錐D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
＝eq \f(1,3)··D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
(3)(2022·大同模擬)《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，其卷第五“商功”有如下的問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”意思為：今有底面為矩形的屋脊形狀的多面體(如圖)，下底面寬AD＝3丈，長AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF與平面ABCD平行，EF與平面ABCD的距離為1丈，則它的體積是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
答案 B
解析 如圖，過E作EG⊥平面ABCD，垂足為G，過F作FH⊥平面ABCD，垂足為H，過G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，過H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由圖形的對稱性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四邊形AQPD與四邊形NBCM都是矩形．
則它的體積
V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM
＝eq \f(1,3)·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋eq \f(1,3)·FH·S矩形NBCM
＝eq \f(1,3)×1×1×3＋eq \f(1,2)×3×1×2＋eq \f(1,3)×1×1×3
＝5(立方丈)．
教師備選
(2022·佛山模擬)如圖所示，在直徑AB＝4的半圓O內(nèi)作一個內(nèi)接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個幾何體，則該幾何體的體積為______．
答案 eq \f(10,3)π
解析 如圖，過點C作CD⊥AB于點D.
在Rt△ABC中，AC＝ABcs 30°＝2eq \r(3)，
CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，
AD＝ACcs 30°＝3，BD＝AB－AD＝1，
將圖中陰影部分，以AB為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)180°形成一個幾何體，該幾何體是以AB為直徑的半個球中間挖去兩個同底的半圓錐，
故所求幾何體的體積為
V＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π×23－\f(1,3)×π×?\r(3)?2×?3＋1?))
＝eq \f(10,3)π.
思維升華 求空間幾何體的體積的常用方法
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(多選)(2022·武漢質(zhì)檢)等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為( )
A.eq \r(2)π B．(1＋eq \r(2))π
C．2eq \r(2)π D．(2＋eq \r(2))π
答案 AB
解析 如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，則形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，長為eq \r(2)，所以所形成的幾何體的表面積S＝π×1×eq \r(2)＋π×12＝(eq \r(2)＋1)π；如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，則形成的是上、下兩個圓錐．圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高，所以圓錐的半徑為eq \f(\r(2),2)，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以形成的幾何體的表面積S′＝2×π×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \r(2)π.綜上可知，形成幾何體的表面積是(eq \r(2)＋1)π或eq \r(2)π.
(2)(2022·天津和平區(qū)模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．4 D．6
答案 B
解析 如圖，三棱錐A－B1CD1是由正方體ABCD－A1B1C1D1截去四個小三棱錐A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，
又＝23＝8，
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×23＝eq \f(4,3)，
所以＝8－4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
課時精練
1．(2021·新高考全國Ⅰ)已知圓錐的底面半徑為eq \r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
答案 B
解析 設(shè)圓錐的母線長為l，因為該圓錐的底面半徑為eq \r(2)，所以2π×eq \r(2)＝πl(wèi)，解得l＝2eq \r(2).
2．(2022·惠州調(diào)研)在我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有這樣一個問題：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏本兩周，上與木齊，問葛長幾何？”意思是“圓木長2丈4尺，圓周長為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺？”(注：1丈等于10尺)，則這個問題中，葛藤長的最小值為( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
答案 C
解析 如圖，由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊(即圓木的高)長24尺，另一條直角邊長5×2＝10(尺)，因此葛藤長的最小值為eq \r(242＋102)＝26(尺)，即為2丈6尺．
3．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，則將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π
B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π
D．(3＋eq \r(2))π
答案 A
解析 如圖所示，梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱挖去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，
∴該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.
4．(2022·武漢模擬)玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，它與玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被稱為“六器”，是古人用于祭祀神祇的一種禮器．《周禮》中載有“以玉作六器，以禮天地四方，以蒼璧禮天，以黃琮禮地”等文．如圖為齊家文化玉琮，該玉琮中方內(nèi)空，形狀對稱，圓筒內(nèi)徑2.0 cm，外徑2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，則其體積約為(單位：cm3)( )
A．23.04－3.92π B．34.56－3.92π
C．34.56－3.12π D．23.04－3.12π
答案 D
解析 由題圖可知，組合體由圓柱、長方體構(gòu)成，
組合體的體積為V＝2×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2.4,2)))2＋4×2.4×2.4－π×12×6＝23.04－3.12π.
5．(2022·常德模擬)正多面體被古希臘圣哲認為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一．如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為( )
A.eq \f(\r(6),18) B.eq \f(\r(6),9) C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 取BC的中點G，連接EG，BD，取BD的中點O，連接EO，如圖，由棱長為2，可得正八面體上半部分的斜高為EG＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，高為EO＝eq \r(3－1)＝eq \r(2)，
則正八面體的體積為
V＝2×eq \f(AB·BC·EO,3)＝2×eq \f(2×2×\r(2),3)＝eq \f(8\r(2),3)，
其表面積為
S＝8×eq \f(EG·BC,2)＝8×eq \f(\r(3)×2,2)＝8eq \r(3)，
∴此正八面體的體積與表面積之比為eq \f(\r(6),9).
6．(多選)(2022·煙臺調(diào)研)在一個密閉透明的圓柱筒內(nèi)裝一定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形狀可能是( )
A．圓面
B．矩形面
C．梯形面
D．橢圓面或部分橢圓面
答案 ABD
解析 將圓柱桶豎放，水平面為圓面；將圓柱桶斜放，水平面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水平面為矩形面，但圓柱桶內(nèi)的水平面不可以呈現(xiàn)出梯形面．
7．(多選)下列說法正確的是( )
A．圓柱的每個軸截面都是全等的矩形
B．棱柱的兩個互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱臺的側(cè)面是等腰梯形
D．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面
答案 AD
解析 A正確；B不正確，例如六棱柱的相對側(cè)面也互相平行；C不正確，棱臺的側(cè)棱長可能不相等；D正確，用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面．
8．(多選)(2022·邯鄲模擬)攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長為eq \r(21)米，則( )
A．正四棱錐的底面邊長為6米
B．正四棱錐的底面邊長為3米
C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq \r(3)平方米
D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq \r(3)平方米
答案 AC
解析 如圖，在正四棱錐S－ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點，
則SH⊥AB，設(shè)底面邊長為2a.
因為∠SHO＝30°，
所以O(shè)H＝AH＝a，OS＝eq \f(\r(3),3)a，SH＝eq \f(2\r(3),3)a.
在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，
解得a＝3，所以正四棱錐的底面邊長為6米，側(cè)面積為S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3)(平方米)．
9．如圖是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐標系Oxy中，點B的坐標為(2,2)，則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖，
在坐標系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.
過點B′作x′軸的垂線，垂足為點D′.
在Rt△B′D′C′中，
B′D′＝B′C′sin 45°＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
10.在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱的底面直徑為40 cm，母線長最短50 cm，最長80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
答案 2 600π
解析 將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq \f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．
11.(2020·江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.
答案 12eq \r(3)－eq \f(π,2)
解析 螺帽的底面正六邊形的面積
S＝6×eq \f(1,2)×22×sin 60°＝6eq \r(3)(cm2)，
正六棱柱的體積V1＝6eq \r(3)×2＝12eq \r(3)(cm3)，
圓柱的體積V2＝π×0.52×2＝eq \f(π,2)(cm3)，
所以此六角螺帽毛坯的體積
V＝V1－V2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3.
12．(2022·佛山質(zhì)檢)已知圓錐的頂點為S，底面圓周上的兩點A，B滿足△SBA為等邊三角形，且面積為4eq \r(3)，又知圓錐軸截面的面積為8，則圓錐的側(cè)面積為________．
答案 8eq \r(2)π
解析 設(shè)圓錐的母線長為l，由△SAB為等邊三角形，且面積為4eq \r(3)，
所以eq \f(1,2)l2sin eq \f(π,3)＝4eq \r(3)，
解得l＝4；
又設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，
則由軸截面的面積為8，得rh＝8；
又r2＋h2＝16，
解得r＝h＝2eq \r(2)，所以圓錐的側(cè)面積
S＝πrl＝π×2eq \r(2)×4＝8eq \r(2)π.
13．魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu)．如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為( )
圖1 圖2
A．8(6＋6eq \r(2)＋eq \r(3)) B．6(8＋8eq \r(2)＋eq \r(3))
C．8(6＋6eq \r(3)＋eq \r(2)) D．6(8＋8eq \r(3)＋eq \r(2))
答案 A
解析 由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個棱長為2＋2eq \r(2)的正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq \r(2)，則該幾何體的表面積為
S＝6×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?2＋2\r(2)?2－4×\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))＋8×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝8(6＋6eq \r(2)＋eq \r(3))．
14．(2022·南京模擬)小張周末準備去探望奶奶，到商店買了一盒點心，為了美觀起見，售貨員用彩繩對點心盒做了一個捆扎(如圖①所示)，并在角上配了一個花結(jié)．彩繩與長方體點心盒均相交于棱的四等分點處．設(shè)這種捆扎方法所用繩長為l1，一般的十字捆扎(如圖②所示)所用繩長為l2.若點心盒的長、寬、高之比為2∶2∶1，則eq \f(l1,l2)的值為________．
圖① 圖②
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 ∵點心盒的長、寬、高之比是2∶2∶1，
∴設(shè)點心盒的長、寬、高分別為4a,4a,2a，
由題意可得l1＝4×eq \r(2)a＋4×2eq \r(2)a＝12eq \r(2)a，
l2＝4×4a＋4×2a＝24a，
∴eq \f(l1,l2)＝eq \f(12\r(2)a,24a)＝eq \f(\r(2),2).
15．(多選)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，下列判斷正確的是( )
A．直三棱柱的側(cè)面積是4＋2eq \r(2)
B．直三棱柱的體積是eq \f(1,3)
C．三棱錐E－AA1O的體積為定值
D．AE＋EC1的最小值為2eq \r(2)
答案 ACD
解析 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋eq \r(12＋12)×2＝4＋2eq \r(2)，故A正確；
直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝eq \f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正確；
如圖所示，由BB1∥平面AA1C1C，且點E是側(cè)棱BB1上的一個動點，
所以三棱錐E－AA1O的高為定值eq \f(\r(2),2)，
＝eq \f(1,4)×eq \r(2)×2＝eq \f(\r(2),2)，
所以＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,6)，故C正確；
設(shè)BE＝x∈[0,2]，則B1E＝2－x，
在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，
AE＋EC1＝eq \r(1＋x2)＋eq \r(1＋?2－x?2).由其幾何意義，
即平面內(nèi)動點(x,1)與兩定點(0,0)，(2,0)距離和的最小值，由對稱可知，當E為BB1的中點時，AE＋EC1取得最小值，其最小值為eq \r(2)＋eq \r(2)＝2eq \r(2)，故D正確．
16．(多選)(2022·壽光模擬)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的eq \f(2,3)(細管長度忽略不計)，假設(shè)該沙漏每秒鐘漏0.02 cm3的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，以下結(jié)論正確的是(π≈3.14)( )
A．沙漏中的細沙體積為eq \f(1 024π,81) cm3
B．沙漏的體積是128π cm3
C．細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cm
D．該沙漏的一個沙時大約是1 985秒
答案 ACD
解析 A項，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑r＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)(cm)，
所以體積V＝eq \f(1,3)·πr2·eq \f(2h,3)＝eq \f(1,3)·eq \f(64π,9)·eq \f(16,3)
＝eq \f(1 024π,81)(cm3)；
B項，沙漏的體積V＝2×eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h
＝2×eq \f(1,3)×π×42×8＝eq \f(256π,3)(cm3)；
C項，設(shè)細沙流入下部后的高度為h1，根據(jù)細沙體積不變可知，
eq \f(1 024π,81)＝eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h1，
所以eq \f(1 024π,81)＝eq \f(16π,3)h1，所以h1≈2.4(cm)；
D項，因為細沙的體積為eq \f(1 024π,81) cm3，
沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，
所以一個沙時為eq \f(\f(1 024π,81),0.02)≈eq \f(1 024×3.14,81)×50
≈1 985(秒)．名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行
且全等
多邊形
互相平行
且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點
但不一定相等
延長線交
于一點
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圓柱
圓錐
圓臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體
S表＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體
S表＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體
S表＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
公式法
規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補法
把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體
等體積法
通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積

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