?新教材驚現(xiàn)“四心”，距離它現(xiàn)身高考還有多久？
一．重要結(jié)論
1.重心：三角形三條中線的交點(diǎn)，重心為

證明：是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是△ABC的重心.
證明:作圖如右，圖中
連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.
將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））


重心性質(zhì)1．是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△ABC的重心.
證明：
∵G是△ABC的重心∴=0=0，
即，由此可得.（反之亦然（證略））
重心性質(zhì)2. 如圖，已知點(diǎn)G是的重心，過(guò)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且，，則.





證明：點(diǎn)G是的重心，知O，
得O，有.又M，N，G三點(diǎn)共線（A不在直線MN上），于是存在，使得，
有=，
得，于是得
2．外心：三角形三條中垂線的交點(diǎn).外心

外心性質(zhì)：如圖，為的外心，證明：
1.；，同理可得等.
2.，同理可得等.
3.，同理可得等.
證明：結(jié)合三角形中線向量公式及極化恒等式即可完成證明.
附：如圖，直角三角形中，.
3．內(nèi)心.
三角形三條角平分線的交點(diǎn).內(nèi)心為
內(nèi)心性質(zhì).是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足
，則P點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（ ）
A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心
解：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為， 又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.
4．垂心：三角形三條高線的交點(diǎn).垂心為
垂心性質(zhì).點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)是△ABC的垂心.由,
同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（證略））
二．典例分析
1．若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿(mǎn)足以下條件，則O是△ABC的（?????）
A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心
解析：且，，
化簡(jiǎn)得，設(shè)，又與分別為和方向上的單位向量，
平分，又共線，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的內(nèi)心.故選：C.
2．在中，向量與滿(mǎn)足，且，則為（???????）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
解析：∵，∴的角平分線垂直于，根據(jù)等腰三角形三線合一定理得到為等腰三角形，又∵，∴，則為等腰直角三角形，
故選：D.
3．已知是內(nèi)部（不含邊界）一點(diǎn)，若，，則（???????）
A． B． C． D．1
解析：如圖，連接AD并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)M,

設(shè)點(diǎn)B到直線AD的距離為,點(diǎn)C到直線AD的距離為,因?yàn)?，所以設(shè)，
因?yàn)锳M與向量AD共線，設(shè),,
所以，即，
,所以故選：A
4．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，射線與邊交于點(diǎn)，若，，則的最小值為（???????）
A． B．2 C． D．
解析：表示與共線的單位向量，表示與共線的單位向量，
所以點(diǎn)在的平分線上，即為的角平分線，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，，
其中，分析可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即

5．在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（???????）
A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心
【答案】C
6．已知點(diǎn)是銳角的外心，，，，若，則（???????）
A．6 B．5 C．4 D．3
解析：
如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，；則，分別為，的中點(diǎn)，∴，
；又，∴，
∵，∴，，
化為①，②，聯(lián)立①②解得，；
∴．故選：B
7．為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，則的面積等于（???????）
A． B． C． D．
解析：如圖所示，以為相鄰邊作平行四邊形，連接，交于點(diǎn)，
則為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋郧遥?br /> 又因?yàn)?，所以，?
所以，
所以的面積.
故選：C.

8．已知外接圓圓心為， G為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．若，則（???????）
A． B． C． D．
解析：取的中點(diǎn)，連接AD， 由，知為的重心，則G在AD上，所以，而，
所以，，，四點(diǎn)共線，所以，即，
不妨令，則，．
所以．

故選：C．
9．設(shè)H是的垂心，且，則______.
解析：是的垂心

由題設(shè)得.再由，得，.故.故答案為:
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形的垂心與向量關(guān)系求三角形角的余弦值，屬于中檔題.
10．已知點(diǎn)為三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則___．
解析：∵， ，∴，
兩邊同時(shí)平方可得，，∴，
∵，則
，故答案為．




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