體積計算的五種方法方法1.公式法例1．正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則其體積為（       ）A． B． C． D．例2．（2020全國1卷）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）設(shè)DO=，圓錐的側(cè)面積為，求三棱錐P?ABC的體積.解析：（1）連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，在上，，是圓內(nèi)接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱錐的體積為.  方法2.等積轉(zhuǎn)化1.等體積轉(zhuǎn)化法一般情況下是三棱錐才有的特性。2.盡可能尋找在表面的三個點，通過三棱錐“換底”求解三棱錐的體積。轉(zhuǎn)化的目的是為了找到易于計算的：“好底”與“好高”.例3．如圖，在棱長為2的正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的一個動點，則三棱錐的體積為_________.                          例4.如圖所示，在正方體中，為中點. 若正方體棱長為2，求三棱錐的體積.    三、多面體割，補法求體積1.分割法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，當(dāng)規(guī)則的幾何體用公式不易求出時，再將其分割沒轉(zhuǎn)化成比較好求體積的幾何體；大多數(shù)情況下，可以把不規(guī)則幾何體分割為三棱錐+四棱錐，從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”2、補形法：把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，便于計算；常見的補形有：（1）將正四面體補形成正方體；（2）將等腰四面體（對棱相等）補形成長方體；（3）將三條棱兩兩相互垂直且相等的三棱錐補成正方體；（4）將臺體補成錐體等等。例5．如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（    ）A． B．C． D．解析：設(shè)，因為平面，，則，，連接交于點，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.故選：CD. 例6．小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．（1）證明：平面；（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．解析：（2）分別取中點，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．因為，，點到平面的距離即為點到直線的距離，，所以該幾何體的體積．，四、兩部分體積比例法（轉(zhuǎn)移法）把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積，利用好“同底等高”和“同底比例高”，本質(zhì)就是尋找合適的底面和平行高轉(zhuǎn)化.例7.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形， ， ，且底面.（1）證明： 平面；（2）若為的中點，求三棱錐的體積. 解析：（1）證明：∵，∴，∵，∴.又∵底面，∴.∵，∴平面.（2）三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，而.所以三棱錐的體積.例8．如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）證明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．解析：（2）連結(jié)EO.由（1）及題設(shè)知∠ADC=90°，所以DO=AO.在中，.又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.由題設(shè)知為直角三角形，所以.又是正三角形，且AB=BD，所以.故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1:1.五．坐標(biāo)方法例9．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即． 由（1）可知．于是，故．因為，所以，即．故四棱錐的體積．

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