1、揣摩例題。課本上和老師講解的例題，一般都具有一定的典型性和代表性。要認(rèn)真研究，深刻理解，要透過(guò)“樣板”，學(xué)會(huì)通過(guò)邏輯思維，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是要學(xué)習(xí)分析問(wèn)題的思路、解決問(wèn)題的方法，并能總結(jié)出解題的規(guī)律。 2、精練習(xí)題。復(fù)習(xí)時(shí)不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過(guò)解題來(lái)提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。 3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過(guò)后，總有同學(xué)抱怨沒(méi)考好，糾其原因是考試時(shí)沒(méi)有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問(wèn)題勢(shì)必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應(yīng)找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認(rèn)真分析條件與目標(biāo)的聯(lián)系，確定解題思路 。 4、重視錯(cuò)題?！板e(cuò)誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡(jiǎn)意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
1.理解直線與橢圓位置關(guān)系判斷方法.2.掌握直線被橢圓所截的弦長(zhǎng)公式.3.了解直線與橢圓相交的綜合問(wèn)題.
LUOSHIZHUGANZHISHI
1.直線與橢圓的位置判斷將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與橢圓相交?Δ 0；直線與橢圓相切?Δ 0；直線與橢圓相離?Δ 0.
2.弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
或|AB|＝_______________＝______________________，k為直線斜率且k≠0.
(1)通徑的長(zhǎng)度為 .(2)過(guò)左焦點(diǎn)的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則焦點(diǎn)弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；過(guò)右焦點(diǎn)弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則焦點(diǎn)弦|CD|＝2a－e(x3＋x4).(e為橢圓的離心率)(3)A1，A2為橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，則 .
(4)AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，O為原點(diǎn)，M 為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝ .(5)過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P是橢圓上異于A，B的任一點(diǎn)，則kPA·kPB＝ .(6)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為 .
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)橢圓通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.(　　)(2)直線y＝x與橢圓 ＋y2＝1一定相交.(　　)(3)直線y＝x－1被橢圓 ＋y2＝1截得的弦長(zhǎng)為 .(　　)(4)過(guò)橢圓上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線的斜率k＝ .(　　)
1.直線y＝x＋1與橢圓 的位置關(guān)系是A.相交 B.相切C.相離 D.無(wú)法判斷
消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直線與橢圓相交.方法二　(優(yōu)解)直線過(guò)點(diǎn)(0,1)，而0＋ ＜1，即點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部，所以可推斷直線與橢圓相交.
2.已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓 ＋y2＝1的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為
由題意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ，0)，則直線l的方程為y＝x－ ，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
消y得，5x2－8 x＋8＝0，
3.已知橢圓 (a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0)，過(guò)其焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，則橢圓方程為_(kāi)________.
所以b＝1，因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，
TANJIUHEXINTIXING
例1　已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C： .試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；
消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.當(dāng)Δ>0，即－3 0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.
2.已知橢圓M： (a＞b＞0)，過(guò)M的右焦點(diǎn)F(3,0)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，則橢圓M的方程為
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又c＝3，a2＝b2＋c2.聯(lián)立解得a2＝18，b2＝9.
3.(多選)已知橢圓 與直線y＝x＋m交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝ ，則實(shí)數(shù)m的值為A.－1 B.1 C.－2 D.2
得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.Δ＝16m2－12(2m2－2)＝－8m2＋24>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
解得m＝±1，滿足題意.
4.已知直線y＝kx＋1，當(dāng)k變化時(shí)，此直線被橢圓 截得的最大弦長(zhǎng)是A.2 B.C.4 D.不能確定
直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在橢圓上，可設(shè)另外一個(gè)交點(diǎn)為(x，y)，
5.(多選)設(shè)橢圓的方程為 ，斜率為k的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是A.直線AB與OM垂直B.若點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,1)，則直線方程為2x＋y－3＝0C.若直線方程為y＝x＋1，則點(diǎn)M坐標(biāo)為D.若直線方程為y＝x＋2，則|AB|＝
對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)樵跈E圓中，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)kAB·kOM＝ ＝－2≠－1，所以A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，若直線方程為y＝x＋1，點(diǎn) ，則kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C項(xiàng)不正確；
對(duì)于D項(xiàng)，若直線方程為y＝x＋2，
得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，
6.(多選)已知橢圓C： (a>b>0)的左、右兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有A.△ABF2的周長(zhǎng)為4a
由直線l：y＝k(x＋c)過(guò)點(diǎn)(－c，0)，知弦AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1.所以△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，所以A正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
由過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，
即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，
7.已知直線l：y＝k(x－1)與橢圓C： 交于不同的兩點(diǎn)A，B，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ，則k＝____.
得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，因?yàn)橹本€l過(guò)橢圓內(nèi)的定點(diǎn)(1,0)，
8.與橢圓 有相同的焦點(diǎn)且與直線l：x－y＋3＝0相切的橢圓的離心率為_(kāi)____.
因?yàn)樗髾E圓與橢圓 ＋y2＝1有相同的焦點(diǎn)，
因?yàn)橹本€l與橢圓相切，所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0，化簡(jiǎn)得a4－6a2＋5＝0，
即a2＝5或a2＝1(舍).
9.已知橢圓M： (a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，右焦點(diǎn)為F，橢圓M的離心率為 ，且過(guò)點(diǎn) .(1)求橢圓M的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)N(1,1)的直線與該橢圓M交于P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ的中點(diǎn)恰為點(diǎn)N，求直線PQ的方程.
設(shè)P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵線段PQ的中點(diǎn)恰為點(diǎn)N，∴xP＋xQ＝2，yP＋yQ＝2.
即3x＋4y－7＝0.
10.設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓E過(guò)點(diǎn) ，且離心率為 .F為E的右焦點(diǎn)，P為E上一點(diǎn)，PF⊥x軸，⊙F的半徑為PF.(1)求橢圓E和⊙F的方程；
(2)若直線l：y＝k(x－ )(k>0)與⊙F交于A，B兩點(diǎn)，與E交于C，D兩點(diǎn)，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.
由題設(shè)可知，A在E外，B在E內(nèi)，C在⊙F內(nèi)，D在⊙F外，在l上的四點(diǎn)A，B，C，D滿足|AC|＝|AB|－|BC|，|BD|＝|CD|－|BC|.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，將l的方程代入E的方程得(1＋4k2)x2－8 k2x＋12k2－4＝0，
又⊙F的直徑|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正數(shù)k使|AC|＝|BD|.
11.(2022·臨沂模擬)過(guò)橢圓內(nèi)定點(diǎn)M且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦，稱作該橢圓過(guò)點(diǎn)M的“好弦”.在橢圓 中，過(guò)點(diǎn)M(4 ，0)的所有“好弦”的長(zhǎng)度之和為A.120 D.260
由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝4 ，故M為橢圓的右焦點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)可得當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直x軸時(shí)弦長(zhǎng)最短，所以當(dāng)x＝4 時(shí)，
當(dāng)弦與x軸重合時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為2a＝16，則弦長(zhǎng)的取值范圍為[4,16]，故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦有4到16的所有整數(shù)，則“好弦”的長(zhǎng)度和為4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.
12.(2022·江南十校模擬)已知橢圓C： ＋y2＝1(a>1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF2的周長(zhǎng)為8，則△MF1F2面積的最大值為
由橢圓的定義可得△MNF2的周長(zhǎng)為|MN|＋|MF2|＋|NF2|＝|MF1|＋|NF1|＋|MF2|＋|NF2|＝4a＝8，
13.(2022·蘭州質(zhì)檢)已知P(2，－2)是離心率為 的橢圓 (a>b>0)外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的光線被y軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則此條切線的斜率是
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線斜率為k，則直線方程為y＋2＝k(x－2)，即y＝kx－2k－2，則反射后的切線方程為y＝－kx－2k－2，
得(3＋4k2)x2＋16k(k＋1)x＋16k2＋32k＋16－3a2＝0，∵所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，∴Δ＝[16k(k＋1)]2－4(3＋4k2)(16k2＋32k＋16－3a2)＝0，化簡(jiǎn)得4a2k2＋3a2＝16k2＋32k＋16，
14.(多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓T： 的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓T于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
D.△AOB面積的最大值為3
對(duì)于A，易知當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，|AB|取得最小值，由橢圓T的方程知F(1,0)，
所以|AB|的最小值為3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，x1≠x2，x0≠0，因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，
又點(diǎn)A，B在橢圓T上，
對(duì)于C，易知直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1，代入橢圓T的方程得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
因?yàn)楹瘮?shù)y＝3t＋ 在t∈[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1，即m＝0時(shí)，△AOB的面積取得最大值，且最大值為 ，故D錯(cuò)誤.
15.(多選)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C1： (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M，N是左、右頂點(diǎn)，e為橢圓C的離心率，過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若 ，|AF1|＝2|AF2|，設(shè)直線AB的斜率為k，直線AM和直線AN的斜率分別為k1，k2，直線BM和直線BN的斜率分別為k3，k4，則下列結(jié)論一定正確的是
∴AF1⊥BF1，過(guò)點(diǎn)F2作F1B的平行線，交AF1于點(diǎn)E，∴AF1⊥EF2.設(shè)|F2A|＝2t，
∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t.∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B(0，±b).
|F1F2|＝2c，∵|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，
設(shè)A(x，y)，易得M(－a，0)，N(a，0)，
16.已知直線l經(jīng)過(guò)橢圓C： (a＞b＞0)的右焦點(diǎn)(1,0)，交橢圓C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，△ABF的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線m與直線l的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓C于點(diǎn)M，N，|MN|2＝4|AB|，求證：直線m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上.
若直線l的斜率不存在，則直線m的斜率也不存在，這與直線m與直線l相交于點(diǎn)P矛盾，∴直線l的斜率存在.設(shè)l：y＝k(x－1)(k≠0)，m：y＝－k(x＋t)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN).將直線m的方程代入橢圓方程得，(3＋4k2)x2＋8k2tx＋4(k2t2－3)＝0，
由|MN|2＝4|AB|得t＝0，

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