（北師大版）2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊第二章 二次函數(shù) 同步測試一、單選題（每題3分，共30分）1．下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（　?。?/span>  A．y=2x﹣3 B．y=x﹣1+1 C．y=x2 D．y= +12．某廠今年七月份產(chǎn)品的產(chǎn)量為100噸，以后每月產(chǎn)品的產(chǎn)量與上月相比其增長率都是x，設(shè)九月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為y噸，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（　?。?/span>  A．y=100（1﹣x）2 B．y=100（1+x）2C．y=  D．y=100+100（1+x）+100（1+x）23．關(guān)于拋物線y=3（x－1）2＋2，下列說法錯誤的是（　?。?/span>A．開口方向向上 B．對稱軸是直線x=lC．頂點坐標為（1，2） D．當x＞1時，y隨x的增大而減小4．已知拋物線，a是常數(shù)，且，下列選項中可能是它大致圖象的是（　?。?/span>A． B．C． D．5．二次函數(shù) 為常數(shù)，且 ）中的 與 的部分對應(yīng)值如表：  ············下列結(jié)論錯誤的是（　?。?/span>A．B． 是關(guān)于 的方程 的一個根；C．當 時， 的值隨 值的增大而減??；D．當 時， 6．把二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式（　?。?/span>  A．y=﹣2（x+1）2+5 B．y=﹣2（x﹣1）2+5C．y=﹣2（x+2）2+5 D．y=2（x+1）2+57．一種包裝盒的設(shè)計方法如圖所示，四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四點重合于圖中的點O，形成一個底面為正方形的長方體包裝盒．設(shè)BE=CF=xcm，要使包裝盒的側(cè)面積最大，則x應(yīng)取(　　)  A．12.5cm B．10cm C．7.5cm D．5cm8．一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，在如圖所示的平面直角坐標系中，下列說法正確的是（　?。?/span>  A．此拋物線的解析式是y=﹣ x2+3.5B．籃圈中心的坐標是（4，3.05）C．此拋物線的頂點坐標是（3.5，0）D．籃球出手時離地面的高度是2m9．拋物線y=2x2－2 x+1與坐標軸的交點個數(shù)是（　?。?/span>  A．0 B．1 C．2 D．310．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，c＞0）的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如表：  x…﹣10123…y＝ax2+bx+c…ptnt0…有下列結(jié)論：①b＞0；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的兩個根是0和3；③p+2t＜0；④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m為任意實數(shù)）.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每題3分，共15分）11．如圖，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上．若設(shè)AE=x，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為　            　．  12．平移拋物線y=2x2，使其頂點為（2，3），平移后的拋物線是　                　13．在二次函數(shù)y=-x2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表．x-3-2-112345y-14-7-22mn-7-14則m-n的值為　     　．14．如圖，是某公園一圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管OA＝1.25m，A處是噴頭，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，水落地后形成一個圓，圓心為O，直徑為線段CB．建立如圖所示的平面直角坐標系，若水流路線達到最高處時，到x軸的距離為2.25m，到y軸的距離為1m，則水落地后形成的圓的直徑CB＝　     　m．15．已知拋物線y= x2-2x- m-1（m為常數(shù)，nm>0）與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），點P為拋物線在第四象限上的一點，拋物線的對稱軸與x軸交于點H，點D在對稱軸上，PD=m，取HD的中點C，連結(jié)CP、P若PR平分∠BPC；BP=2PC；則m=　     　.  三、解答題（共8題，共55分）16．關(guān)于x的函數(shù)y=（m2﹣1）x2﹣（2m+2）x+2的圖象與x軸只有一個公共點，求m的值．17．已知拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，請結(jié)合圖象中所給信息完成以下問題：（1）求拋物線的表達式；（2）若該拋物線經(jīng)過一次平移后過原點O，請寫出一種平移方法，并寫出平移后得到的新拋物線的表達式．18．對于某一個函數(shù)，自變量x在規(guī)定的范圍內(nèi)，若任意取兩個值x1和x2，它們的對應(yīng)函數(shù)值分別為y1和y2．若x2＞x1時，有y2＞y1，則稱該函數(shù)單調(diào)遞增；若x2＞x1時，有y2＜y1，則稱該函數(shù)單調(diào)遞減．例如二次函數(shù)y=x2，在x≥0時，該函數(shù)單調(diào)遞增；在x≤0時，該函數(shù)單調(diào)遞減．（1）二次函數(shù)：y=（x+1）2+2自變量x在哪個范圍內(nèi)，該函數(shù)單調(diào)遞減？（2）證明：函數(shù)：y=x﹣在x＞1的函數(shù)范圍內(nèi)，該函數(shù)單調(diào)遞增．（3）若存在兩個關(guān)于x的一次函數(shù)，分別記為：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函數(shù)g在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)h在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞減．記第三個一次函數(shù)y=g+h，則比例系數(shù)k1和k2滿足何種條件時，函數(shù)y在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增？19．已知二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖象交于兩點A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函數(shù)圖象與y軸的交點在直線y=2x+3上，求這兩個函數(shù)的解析式．  20．某商品每件成本40元，以單價55元試銷，每天可售出100件．根據(jù)市場預(yù)測，定價每減少1元，銷售量可增加10件．求每天銷售該商品獲利金額y（元）與定價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系．21．如圖，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，E點是BC的中點，F是AB延長線上一點且FB=1．（1）求經(jīng)過點O、A、E三點的拋物線解析式；（2）點P在拋物線上運動，當點P運動到什么位置時△OAP的面積為2，請求出點P的坐標；（3）在拋物線上是否存在一點Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．22．在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸分別交于點A（2，0）、點B（點B在點A的右側(cè)），與軸交于點C，tan∠CBA=．（1）求該拋物線的表達式；（2）設(shè)該拋物線的頂點為D，求四邊形ACBD的面積；（3）設(shè)拋物線上的點E在第一象限，△BCE是以BC為一條直角邊的直角三角形，請直接寫出點E的坐標．23．已知：二次函數(shù)y=（n﹣1）x2+2mx+1圖象的頂點在x軸上．（1）請寫出m與n的關(guān)系式，并判斷已知中函數(shù)圖象的開口方向；（2）是否存在整數(shù)m，n的值，使函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點橫坐標為整數(shù)？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由；（3）若y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①當n≠0時，求該函數(shù)必過的定點坐標；②探索這個函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點時n的值．
答案解析部分1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】y=2x2﹣4x+412．【答案】y =2（x-2）2 +313．【答案】314．【答案】515．【答案】316．【答案】解：①當m2﹣1=0，且2m+2≠0，即m=1時，該函數(shù)是一次函數(shù)，則其圖象與x軸只有一個公共點； ②當m2﹣1≠0，即m≠±1時，該函數(shù)是二次函數(shù)，則△=（2m+2）2﹣8（m2﹣1）=0，解得 m=3，m=﹣1（舍去）．綜上所述，m的值是1或3．17．【答案】解：（1）由題意得，解得．∴函數(shù)的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）平移拋物線y=﹣x2﹣2x+3，使它經(jīng)過原點，則平移后的拋物線解析式可為y=﹣x2﹣2x．故向下平移3個單位，即可得到過原點O的拋物線．18．【答案】解：（1）y=（x+1）2+2自變量在x≤﹣1范圍內(nèi)，該函數(shù)單調(diào)遞減；（2）證明：任取 x2＞x1，則=（x2﹣x1）+（）=（x2﹣x1）+（）因為x2＞x1，所以y2＞y1∴y=x﹣在x＞1的函數(shù)范圍內(nèi)，該函數(shù)單調(diào)遞增；（3）、g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函數(shù)g在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)h在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞減，∴k1＞0，k2＜0，y=g+h即y=（k1x+b1）+（k2x+b2）=（k1+k2）x+（b1+b2）y=（k1+k2）x+（b1+b2）單調(diào)遞增，∴k1+k2＞0，一次函數(shù)y=g+h，則比例系數(shù)k1和k2滿足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0時，函數(shù)y在實數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞增．19．【答案】解：∵y=2x+3與y軸交點為（0，3），  ∴二次函數(shù)與y軸交點為（0，3），將（0，3），A（﹣2，﹣5）和B（1，4）分別代入二次函數(shù)y1=ax2+bx+c得， ，解得 ，∴二次函數(shù)的解析式為：y1=x2+2x+3；∵將A（﹣2，﹣5）和B（1，4）代入y2=mx+n得，﹣2m+n=﹣5，m+n=4，解得m=3，n=1，∴一次函數(shù)y2=mx+n的解析式為：y2=3x+120．【答案】解：由題意得，商品每件定價x元時，每件降價（55﹣x）元，銷售量為[100+10（55﹣x）]件， 則y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，即每天銷售該商品獲利金額y（元）與定價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣10x2+1050x﹣26000．21．【答案】解：（1）A的坐標是（2，0），E的坐標是（1，2）．設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，根據(jù)題意得：，解得：．則拋物線的解析式是y=﹣2x2+4x；（2）當△OAP的面積是2時，P的縱坐標是2或﹣2．當﹣2x2+4x=2時，解得：x=1，則P的坐標是（1，2）；當﹣2x2+4x=﹣2時，解得：x=1±，此時P的坐標是（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）；（3）AF=AB+BF=2+1=3．OA=2，則A是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；當F是直角頂點時，Q不可能在拋物線上；當Q是直角頂點時，Q到AF的距離是AF=，若Q存在，則Q的坐標是（2﹣，），即（﹣，），不在拋物線上，總之Q不存在．22．【答案】解：（1）∵當x=0時，∴C（0，3），OC=3，在Rt△COB中，∵tan∠CBA=，∴=，∴OB=2OC=6，∴點B（6，0），把A（2，0）、B（6，0）分別代入y=ax2+bx+3，得：，解得：∴該拋物線表達式為y=x2﹣2x+3；（2）∵y=x2﹣2x+3=（x﹣4）2﹣1∴頂點D（4，﹣1），∴四邊形ACBD的面積=△ABC的面積+△ABD的面積=×4×3+×4×1=8；（3）設(shè)點E的坐標為（x，x2﹣2x+3），分兩種情況：①當∠CBE=90°時，作EM⊥x軸于M，如圖所示：則∠BEM=∠CBA，∴=tan∠BEM=tan∠CBA=，∴EM=2BM，即2（x﹣6）=x2﹣2x+3，解得：x=10，或x=6（不合題意，舍去），∴點E坐標為（10，8）；②當∠BCE=90°時，作EN⊥y軸于N，如圖2所示：則∠ECN=∠CBA，∴=tan∠ECN=tan∠CBA=，∴CN=2EN，即2x=x2﹣2x+3﹣3，解得：x=16，或x=0（不合題意，舍去），∴點E坐標為（16，35）；綜上所述：點E坐標為（10，8）或（16，35）．23．【答案】解：（1）∵二次函數(shù)y=（n﹣1）x2+2mx+1圖象的頂點在x軸上，∴4m2﹣4（n﹣1）=0，∴n﹣1=m2，∴n=m2+1，∵n﹣1≠0，且m2≥0∴n﹣1＞0，∴圖象開口向上；（2）∵y=（n﹣1）x2+2mx+1，∴對稱軸x=，要使為整數(shù)，∵m，n為整數(shù)，∴只要m=±1，此時n=2，∴存在m=±1，n=2，符合要求；（3）①y=nx2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，令x2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必過的定點為（2，0），（﹣1，﹣3），②若n=0，則y=x﹣2，直線與坐標軸有兩個交點，若n≠0：b2﹣4ac=（n﹣1）2+4n（2n+2）=（3n+1）2≥0，當拋物線過原點時，n=﹣1，此時圖象與坐標軸有兩個交點，當拋物線不過原點時，n=時，b2﹣4ac=0，圖象與x軸，y軸各有1個交點，綜上，當n=0或﹣1或時，函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點．

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1 二次函數(shù)

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