?2022~2023年度下學(xué)年創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟第一次聯(lián)考
數(shù) 學(xué)
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊占20%，選擇性必修第二冊占60%，選擇性必修第三冊第六章第1節(jié)占20%。
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，5幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有
A.5種 B.12種 C.20種 D.60種
2. 已知數(shù)列{an}的前n項和為S?,且 S?=n2+2?,則a?=
A.4 B.8 C.9 D.12
3. 已知某質(zhì)點的位移x(單位：m)與時間t(單位：s)的關(guān)系式是 x=3t2+2t,. 則質(zhì)點在2s時的瞬時速度為
A.14m/s B.16 m/s
C.7 m/s D.8 m/s
4. 用4種不同的顏色對圖中3個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂法有
1
2
3
A.24種 B.36種 C.48種 D.64種
5. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為an，且 S?>0,S?0的解集為
A. (1,6)
B. (1,4)
C. (-∞,1)∪6,+∞
D. (1,4) ∪6,+∞
7. 已知數(shù)列{an}滿足 a?=16,(n+1)a???=2(n+2)a?, 則 a?的前100項和為
A.25×21?2 B.25×21?3
C.25×21?? D.25×21??
8. 已知 a=3301,b=2201,c=ln 101100, 則
A. a>b>c B. a>c>b
C. c>a>b D. b>a>c
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知等比數(shù)列{an}的前n項積為T?,a?a?a?=1,則下列結(jié)論正確的是
A. a?=1 B. T?=T ?
C. T?=7 D.若 a?=1, 則 a?=1
10. 已知圓 C?:x2+y2-6y+5=0 和圓 C?:x2+y2-8x+7=0, 則下列結(jié)論正確的是
A.圓C?與圓C?外切
B.直線y=x與圓C?相切
C.直線y=x被圓C?所截得的弦長為2
D.若M,N分別為圓C?和圓C?上一點,則|MN|的最大值為10
11. 若函數(shù) f(x)=x2-1-alnx 有兩個零點，則a的值可以是
A.-1 B.1 C.2 D.3
12. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契從兔子繁殖問題引出的一個數(shù)列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其被稱為斐波那契數(shù)列，滿足a?=a?=1,a???=a?+a???. 某同學(xué)提出類似的數(shù)列{bn}:1,3,4,7,11,18,…,滿足 b?=1,b?=3,b???=b?+b???. 下列結(jié)論正確的是
A. b2+b4+b6+…+b100=b101-1
B. b101b99-b1002=5
C.設(shè){b?}的前n項和為 S?,b???-S??=1
D.b12+b22+b32+…+b1002=b100b101-1
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分,把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 某書架的第一層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第二層放有8本不同的英語書.從這些書中任取1本數(shù)學(xué)書和1本英語書，共有 ▲ 種不同的取法.
14. 已知函數(shù)f(x)=sinx,則lim?x→0f(π-2?x)-f(π)?x= ▲
15. 已知球O的半徑為6，球心為O，球O被某平面所截得的截面為圓M，則以圓M為底面，O為頂點的圓錐的體積的最大值為 ▲ .
16. 半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，如圖所示.若點G在直線BC上，且BG=5BC ,BC=1,則直線EF與直線AG所成角的余弦值為 ▲ .

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. (10分)
已知等差數(shù)列{an}的前n項和為 S?,b?是等比數(shù)列，且 a?=b?=a?b?=1,a?(b?+ b?)=a?.
(1)求{ b?}的通項公式及 S?;
(2)求數(shù)列{1Sn +an }的前n項和T?.
18. (12分)
將2個不同的紅球和2個不同的黑球放入3個不同的盒子中(可以有盒子不放球).
(1)若2個紅球放入同一個盒子中，則不同的放法有多少種?
(2)若每個盒子最多只能裝3個球，則不同的放法有多少種?
19. (12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,PD=CD=1,BC= 2,M為BC的中點,
(1)證明:PB⊥AM.
(2)求二面角B-AP-M的平面角的余弦值.
20. (12分)
已知函數(shù) f(x)=xlnx+x3.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若f(x)≥1對任意的x≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.
21. (12分)
已知橢圓 C:x2a2+y2b2=11(a>b>0),四點P1 (0,2), P2 (1,1), P3 (2,1), P4 (-2,1) 中恰有三點在C上.
(1)求C的方程;
(2)若圓 x2+y2=43的切線l與C交于點A,B,證明:OA⊥OB,
22. (12分)
已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù) g(x)=f(x)-x2 有兩個零點 x?,x?(x?< x?), 求a的取值范圍，并證明 x? x?>1.
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數(shù)學(xué)參考答案
1. B從油畫中選，有3種不同的選法；從國畫中選，有4種不同的選法；從水彩畫中選，有5種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3+4+5=12 種不同的選法.
2. C a?=S?-S?=32+23-(22+22)=9.
3. A x'=6t+2, 質(zhì)點在2s時的瞬時速度為6×2+2=14m/s.
4. B先涂區(qū)域1，有4種涂法；再涂區(qū)域2，有3種涂法；最后涂區(qū)域3，有3種涂法.故不同的涂法有4×3×3=36種.
5. A 因為S?=7a?>0,S?=4(a?+a?)0,a? 0,所以a>b.設(shè) ?(?) = ln?? (2(x-1)x+1, 則?′ (?)= 1x-4(x+1)2 =(x-1)2x(x+1)2≥0 ,故 ?(?) = ln?? 2(x-1)x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為f(1)=0,所以 ?( 101100)= ln101100-2(101100-1)101100+1 = ln101100-2201>?(1) = 0,即c>b.設(shè) ?(?) =ln??3(x-1)x+2, 則?′(?)= 1x-9x+22=x-1x-4xx+22,當(dāng)x∈(1,4) 時, ?′(?) g(1)=0即a>c.綜上,a>c>b.
9. ABD 因為 ?3?4?5 = ?43 = 1, 所以 a?=1,A正確.因為 a?a?= a?a?a?a?a?,.所以T?=T?, B正確. T?= ?1?2?3?4?5?6?7 =?47 = 1,? 錯誤.若a?=1,則 ?3 = a?a? = 1, 解得q=1,所以 a?=a?q=1,D 正確.
10. ACD 圓C?:x2+y2-6y+5=0 化為 x2+( y-3)2=4, 圓心坐標為(0,3),半徑為2,
圓 C?:x2+y2-8x+7=0 化為(x-4)2+y2=9, 圓心坐標為(4,0),半徑為3.
因為兩個圓的圓心距為 32+42 =5 , 等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，A正確.
圓C?的圓心到直線y=x的距離為0-32=322≠2 , 所以直線y=x與圓C?不相切，B錯誤.圓C?的圓心到直線y=x的距離為4-02=22, , 直線y=x被圓C?所截得的弦長為232-(22)2=2,C正確.
若M,N分別為圓C?和圓C?上一點,則|MN|的最大值為2×2+2×3=10,D正確.
11. ?? ?′(?) =2?? ax . 當(dāng)a≤0時, ?′(?) > 0,?(?)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.易知f(x)有且僅有一個零點x=1.當(dāng)0 0,?(?)單調(diào)遞增.結(jié)合x?2時, ?′(?) = 0有唯一解x0=a2>1 1.
易知在(0,x?)上, ?′(?) < 0,?(?))單調(diào)遞減,且f(1)=0,
所以f(x)在(0,x?)上有一個零點x=1.
在(x?,+∞)上 ,?′(?) > 0,?(?)單調(diào)遞增,且fx? (?+1)2?1??2 = 2? > 0 所以f(x)在(x?,+∞)上有一個零點.
故f(x)在 (0,x?),(x?,+∞)上各有一個零點.
綜上,當(dāng)a≤0或a=2時,f(x)僅有一個零點;當(dāng)00,?(?)單調(diào)遞增；當(dāng)h∈(23,6)時, ?′(?) < 0,?(?)單調(diào)遞減. f(h)≤f(23)=163 ?,，故圓錐的體積的最大值為163 ?.
16. 52142 .建立如圖所示的空間直角坐標系，則? (32,12,0), B(-33,1,36),C(-36,12,263) E(-33,-1,63),F (32,-12,0)
??=(536,12,-36), ??=(63,-12,63), ?? =(-536,12,63 ,
??= ??+ ?? = ??+5BC=(0,-2,26) ,cos??? ,??? =EF?AGEFAG=-52142?
故直線EF與直線AG所成角的余弦值為52142 .
17. 解:(1)設(shè){an }的公差為?, ??的公比為q.
因為 a? =b?=a?b?=1,a?( b?+b?) =a?b?+a?b?=a?,
所以1+d+1=1+2d,解得d=1,…………………………………………………………………2分所以 a? = 2, b2 = 12, 則 ? = 12 , …………………………………………………………3分
故 a? = a? + (n - 1)d = n,
Sn = n (n+1)2, ……………………………………………………………………………4分
?? = ?1???1 =12n-1 …………………………………………………………………………5分
(2)由(1)知1Sn=2(1n-1n+1) …………………………………………………………………6分
所 以 Tn=2(11-12+12-13+...+1n-1n+1)+1-12n1--12=4n+2n+1-12n-1 . …………………………10分
18. 解：
(1)若2個紅球放入同一個盒子中，可看成將3個不同的球放入3個不同的盒子中……3分
不同的放法有33=27 種. …………………………………………………………………5分
(2)不考慮每個盒子最多只能裝3個球,有3?種放法………………………………………7分若4個球放入同一個盒子中,有3種放法…………………………………………………9分故不同的放法有 34-3=78種……………………………………………………………12分
19. (1)證明：以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則 ? (0,0,1),B(2,1,0),M(22,1,0),A(2,0,0) ………………………… 2分
??=(2,1,-1) , ??=(-22,1,0) , ??=(-2,0,1) 分
因為 PB???= 2×(-22)+1×1=0 ,所以PB⊥??……………………………………5分
(2)解:設(shè)平面PAM的法向量為m=(x?,y?,z?),
則m ? AM=-22x?+y?=0m ?AP=-2x?+z?=0 ,取x?=2,可得 ?=（2，1，2 ） ……………………7分
設(shè)平面PAB的法向量為n=(x?,y?,z?),
則 n ? PB=2x?+y?-z?=0n ?AP=-2x?+z?=0 取 x? =2, 可得?=（2，0，2 ） …………………9分
cos??, ??=m ?nm n =427 ………………………………………………………11分
故二面角B-AP-M的平面角的余弦值為427 ……………………………………12分
20. 解: (1)?′(?) = ln? + 3?2 + 1, ?′(1) = 4, ?(1) = 1. ………………………………3分
曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=4(x-1),即4x-y-3=0………5分
(2)f(x)≥1,即ln? + ?2 - 1x ≥0 ………………………………………………………………7分
令h(?)= ln? + ?2 - 1x,即h(?) ≥0對任意的x≥m恒成立…………………………………8分
h'(x)=1x+2x+1 x2≥0所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增 …………………………10分
因為h(1)=0,所以當(dāng)x≥1時,h(x)≥0,所以m≥1.
故實數(shù)m的取值范圍為[1,+∞)……………………………………………………………12分
21. (1)解:由P?,P?兩點關(guān)于y軸對稱,可得C經(jīng)過P?,P?兩點…………………………………1分 P?與P?的縱坐標相同，且都位于第一象限，不可能都在C上，所以P?不在C上，…2分
則 b=22a2+1b2=1 解得 a=2b=2,
故C的方程為x24+y22=1 …………………………………4分
(2)證明：當(dāng)切線l的斜率不存在時，得 ?:x=±233 ……………………………………5分
當(dāng) ?: x=233 時，可得 ?(233,233) B(233,-233).
?? ? ??= 233×233-233×233=0,則?? ⊥ ??
當(dāng) ?: x=-233 時,同理可證…………………………………………………………………6分
當(dāng)切線l的斜率存在時，設(shè) l:y=kx+m.
因為l與圓 x2 + y2 = 43相切,所以圓心(0，0)到l的距離為mk2+1=233,即
3m2=4k2+1 ……8分
聯(lián)立y = kx + m,x24+y22=1 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0.
設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),則 x? + x? =- 4km1+2k2 , x?x?=2m2-41+2k2 9分
?? ? ?? = x?x? + y?y?= x?x? + (? x? + ?)(? x? + ?) = (k2 + 1) x?x? + ?? x?x? + m2
= ( k2+1)(2m2-4) 1+2k2? 4k2m21+2k2 + m2
=-4k2+3m2-41+2k2. ………………………………………………………………………11分
由 3m2=4(k2+1), 得OA ·OB=0, 則OA⊥OB.
綜上，若圓x2 + y2 = 43的切線l與C交于點A,B,則OA⊥OB.???????????????12分
22.解: (1)?′(?) = 1 -axx. ………………………………………………………………………1分
當(dāng)a≤0時, ?′(?) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. ………2分
當(dāng)a>0時,若 ?∈( 0, 1a ) , 則 ?′(?) > 0,若 ?∈(1a , +∞), 則 ?′(?) < 0,
所以f(x)在( 0, 1a )上單調(diào)遞增，在(1a , +∞)上單調(diào)遞減. ………………………4分
(2)令 g(x)=f(x)-x2=0, 得 ln xx - a - x = 0.
令 ?(?) = ln xx ? ? ? ?(?>0),則 ?′(?) = 1 -x2-lnxx2. …………………………5分
設(shè)函數(shù) s(x)=1-x2-lnx, 則 s'(x) = -2x - 1x < 0,
所以s(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減 ……………………………………………………………6分
因為s(1)=0,所以當(dāng)x∈0,1時，sx>0, 當(dāng)x∈1,+∞時,s(x)0,解得a1x2 .
由于h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，故只需證?(x1) > ? (1x2) …………………………………9分
由 h(x?)=h(x?)=0, ?(x1) ? ?(1x2) = ?(x2) ? ?(1x2) =lnx2x2-x2-a-ln1x21x2-1x2-a= 1x2+x2 ?lnx2-x2+1x2 ………………………………………………………10分
令 φ(?) = (? + 1x) ln? ? ? + 1x , 則 φ'(?)=(1-1x2)ln ? …………………………11分
當(dāng)x>1時, ?′(?) > 0,,所以φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
φ(x)>φ(1)=0, 即 ( 1x2 + x2) lnx2 ? x2 + 1x2 > 0,
所以 ?(x1) > ? (1x2), 即證得 x?x?>1 . …………………………12分

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