2022-2023學(xué)年河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高二上學(xué)期12月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知雙曲線（，）的一條漸近線的斜率為，則該雙曲線的離心率為（　　）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線斜率公式可知，再根據(jù)雙曲線的離心率，即可求出結(jié)果.【詳解】由雙曲線（，）的一條漸近線的斜率為，可知，所以該雙曲線的離心率為.故選：D.2．若直線l：的傾斜角為，則（    ）A．2 B．－2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線方程可得，再利用誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)橹本€l：的傾斜角為，所以，則.故選：D.3．已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，則的周長為（    ）A．8 B． C． D．與有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)橢圓：可求得a，由橢圓的定義可得，，并且，進(jìn)而即可求得的周長．【詳解】由橢圓：，則，即，又橢圓的定義可得，，且，所以的周長為．故選：C．4．已知空間向量，，則在的投影向量（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】解：由空間向量，，得在的投影向量.故選：C.5．若圓：與圓：相交，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由條件求圓與圓的圓心和半徑，根據(jù)圓與圓相交，列不等式求的取值范圍.【詳解】由已知，圓：的圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓：的圓心的坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)閳A與圓相交，所以，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍為，故選：C.6．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（    ） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由已知點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?/span>，，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B.7．《幾何原木》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，、是直角圓錐的兩個(gè)軸截面，且，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在圓錐中，平面，設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以、、、，，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：B.8．雙曲線上的點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為12，則到下焦點(diǎn)的距離為（    ）A．22 B．2 C．2或22 D．24【答案】A【分析】設(shè)的上、下焦點(diǎn)分別為，根據(jù)雙曲線的定義求出或，再根據(jù)可得.【詳解】設(shè)的上、下焦點(diǎn)分別為，則．因?yàn)?/span>,,所以，，則，由雙曲線的定義可知，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上所述：.故選：A9．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】利用共面向量定理分析判斷，其中選項(xiàng)ABD中，一個(gè)向量可以表示為另外兩個(gè)向量的共線向量的和的形式，所以三個(gè)向量共面；只有選項(xiàng)C的向量不可以，即得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>所以，，共面，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?/span>所以，，共面，B不符合題意；對(duì)于C，，所以，，共面，C不符合題意；假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，所以,所以 ，該方程組沒有實(shí)數(shù)解.所以不存在實(shí)數(shù)滿足，故，，不共面， D符合題意.故選：D.10．如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程長為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)和它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則就是所求的路程長.【詳解】解：直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，又點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過的路程長．故選：B.11．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬中，平面，底面是正方形，且，，分別為，的中點(diǎn)，則（    ）A．平面B．平面C．點(diǎn)到直線的距離為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】D【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面EFC的法向量，利用向量垂直條件及線面垂直的定義及線面平行的向量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及點(diǎn)到面的距離的向量公式即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系如圖所示由題意可知，，，，，，，所以，， ，，，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以不垂直，即不垂直，所以直線與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)平面EFC的法向量為，則,即，令，則，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以直線與平面不平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)F到直線CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線CD的距離為，故C錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.故選：D.12．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)，與雙曲線的其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)），現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則雙曲線的離心率為；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（    ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】由條件證明，結(jié)合勾股定理判斷①，由條件求點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得關(guān)系，由此可求離心率，根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合三角形三邊關(guān)系判斷③，由條件求，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)范圍判斷④.【詳解】因?yàn)?/span>，O為的中點(diǎn)，所以，所以，則|，即，①正確.設(shè)，則，所以，作軸，垂足為，軸，垂足為，則因?yàn)?/span>，所以，解得，則，則，整理得，則，②正確；設(shè)直線與C右支的交點(diǎn)為M，則，因?yàn)?/span>，所以，則，則，③不正確；設(shè)，則|，所以，所以，由題意可知，，則，則，故，④正確.故選：D. 二、填空題13．已知直線：，：，若，則______.【答案】【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】直線：，：，若，則，解得,故答案為：.14．空間向量，滿足，且，則______.【答案】【分析】先由空間向量的模的坐標(biāo)表示求，把兩邊同時(shí)完全平方，化簡可求.【詳解】由，可得，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以，故答案為：.15．笛卡爾是世界上著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，突然看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，為長方體，且，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)稱性分析運(yùn)算.【詳解】由圖可知：，A關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則.故答案為：.16．已知直線：與，軸的交點(diǎn)分別為，，且直線：與直線：相交于點(diǎn)，則面積的最大值是______.【答案】【分析】由條件確定點(diǎn)的軌跡，由此可求點(diǎn)到直線的距離的最大值，結(jié)合三角形面積公式求面積的最大值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以直線：與直線：垂直，又直線方程可化為，所以直線過點(diǎn)， 因?yàn)橹本€方程可化為，所以直線過點(diǎn)， 所以，故點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，又線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)?/span>到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，由方程取可得，取可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以面積的最大值為，即，故答案為：. 三、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，分別為，，的中點(diǎn)，分別記，，為，，.(1)用，，表示，；(2)若，，求.【答案】(1)；.(2). 【分析】（1）用空間向量的加減運(yùn)算分別表示，，，，再轉(zhuǎn)化為，，表示即可；（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和數(shù)量積分別代入，計(jì)算出結(jié)果后再進(jìn)行開方運(yùn)算求得.【詳解】（1）連結(jié).在直三棱柱中，，，，則..（2）如圖，在直三棱柱中，，，，所以，，又，所以，，.，所以.18．已知?jiǎng)訄A與圓：，圓：均外切，記圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)若點(diǎn)在上，且的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求出兩圓的圓心及半徑，設(shè)圓的半徑為，根據(jù)題意可得，兩式相減，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)的面積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得解.【詳解】（1）解：由圓：，得圓心，半徑，由圓：，得圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，則有，兩式相減得，所以圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又，所以的方程為；（2）解：設(shè)，則，解得，此時(shí)，所以或，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，即，所以直線的方程為或.19．已知半徑小于10的圓與兩坐標(biāo)軸相切，且是圓上一點(diǎn)，過的直線與圓交于另外一點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求直線的方程.【答案】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)直線的方程為或. 【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列方程求出圓心坐標(biāo)和半徑可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）結(jié)合條件求圓心到直線的距離，驗(yàn)證的斜率不存在時(shí)滿足要求，當(dāng)的斜率存在時(shí)，由點(diǎn)到直線距離公式求出直線斜率，由此可得直線方程.【詳解】（1）因?yàn)閳A與兩坐標(biāo)軸相切，且是圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，所以圓的圓心在第一象限，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，由已知可得， ，化簡可得，所以，故或，解得或，因?yàn)?/span>，所以，故不合題意，舍去，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)圓心到直線的距離為，則，由，解得.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，即直線被圓所截得的弦長為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得：，故的方程是， 綜上所述，直線的方程為或.20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，.(1)求的方程.(2)過的直線與相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與相交于，兩點(diǎn)，若的斜率為1，求四邊形的面積.【答案】(1)拋物線C的方程為；(2)四邊形的面積為. 【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，求得，由可求得p的值，由此可得得C的方程；（2）由條件求的方程，聯(lián)立方程組由拋物線焦點(diǎn)弦公式求，再求線段的垂直平分線的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長公式求，由此可求四邊形的面積.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，所以，．因?yàn)?/span>，所以，解得，故拋物線C的方程為；（2）由(1)可知，拋物線C的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，又的斜率為1，故l的方程為，聯(lián)立方程組消去x，得．方程的判別式，設(shè)，，則，，，所以，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．所以，又直線MN的斜率為，所以MN的方程為．即，聯(lián)立方程組，消去，得．方程的判別式，設(shè)，，則，，所以，所以四邊形的面積.21．如圖1，在平行四邊形中，，，，分別為，的中點(diǎn).將沿折起到的位置，使得平面平面，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為，連接，，，得到如圖2所示的多面體.(1)證明：.(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，證明，由線面垂直判定定理證明平面，由此證明；(2)由面面垂直性質(zhì)定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面法向量，利用向量夾角公式求兩向量夾角余弦可得結(jié)論.【詳解】（1）在圖1中，連接因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn)，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，故，同理可證四邊形為菱形，故，所以在圖2中，連接，取的中點(diǎn)，連接，則，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以；（2）由(1)，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?/span>，，，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別作為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，，所以，，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)閳D1中，所以圖2中，，所以，所以為二面角的平面角，因?yàn)槎娼?/span>的大小為，所以，過點(diǎn)作，垂足為，則，在中，，，，所以，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，所以，取，則，故向量為平面的一個(gè)法向量，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.22．已知橢圓：的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程.(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)；(2)①證明見解析；②證明見解析. 【分析】(1)由條件列出關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓的方程；(2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求即可證明；②求出直線與直線方程，聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，由此證明點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）①因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，，則，. 兩式相除得，．因?yàn)?/span>分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，． 從而；②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】過x軸上定點(diǎn)斜率不為0的動(dòng)直線方程可設(shè)為；過y軸上定點(diǎn)(0，y0)斜率存在的動(dòng)直線方程可設(shè)為. 

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