2023版考前三個(gè)月沖刺專題練　第10練　零點(diǎn)問題-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第10練　零點(diǎn)問題[考情分析]　在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)．一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題例1　(2019·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)．證明：(1)f′(x)在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；(2)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．證明　(1)設(shè)g(x)＝f′(x)，則g(x)＝cos x－，g′(x)＝－sin x＋.當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)單調(diào)遞減，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為α.則當(dāng)x∈(－1，α)時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故g(x)在上存在唯一極大值點(diǎn)，即f′(x)在上存在唯一極大值點(diǎn)．(2)f(x)的定義域?yàn)?/span>(－1，＋∞)．①當(dāng)x∈(－1,0]時(shí)，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，而f′(0)＝0，所以當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，又f(0)＝0，從而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零點(diǎn)．②當(dāng)x∈時(shí)，由(1)知，f′(x)在(0，α)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而f′(0)＝0，f′<0，所以存在β∈，使得f′(β)＝0，且當(dāng)x∈(0，β)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又f(0)＝0，f ＝1－ln>0，所以當(dāng)x∈時(shí)，f(x)>0，從而f(x)在上沒有零點(diǎn)．③當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在上單調(diào)遞減．而f >0，f(π)<0，所以f(x)在上有唯一零點(diǎn)．④當(dāng)x∈(π，＋∞)時(shí)，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，從而f(x)在(π，＋∞)上沒有零點(diǎn)．綜上，f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．規(guī)律方法　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(1)如果函數(shù)中沒有參數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)大于0、小于0的情況，進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷，先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，再判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果分類也不好判斷，那么需要二次求導(dǎo)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)，也可能需要分類．跟蹤訓(xùn)練1　(2022·浙江精誠聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex－asin x，g(x)＝ln(x＋1)－asin x.(1)若y＝f(x)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式f(x)≥cos x在(－1，＋∞)上恒成立，判斷函數(shù)g(x)在(－1,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．解　(1)因?yàn)?/span>f(x)＝ex－asin x，所以f′(x)＝ex－acos x，因?yàn)?/span>y＝f(x)在上單調(diào)遞增，所以ex－acos x≥0在區(qū)間上恒成立，當(dāng)x＝時(shí)，ex－acos x≥0顯然成立，當(dāng)x∈時(shí)，ex－acos x≥0恒成立等價(jià)于a≤恒成立，故令h(x)＝，x∈，則h′(x)＝≥0在上恒成立，所以函數(shù)h(x)＝在上單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝1，所以a≤1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]．(2)設(shè)F(x)＝f(x)－cos x＝ex－asin x－cos x，易知F(0)＝0，因?yàn)椴坏仁?/span>F(x)≥0在(－1，＋∞)上恒成立，所以0是函數(shù)F(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)?/span>F′(x)＝ex－acos x＋sin x，所以F′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.所以g(x)＝ln(x＋1)－sin x，因?yàn)?/span>g(0)＝0，故0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)．g′(x)＝－cos x，令u(x)＝－cos x，則u′(x)＝－＋sin x，①當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，u′(x)＝－＋sin x<0恒成立，所以g′(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，由于g′(x)≥g′(0)＝0，所以g(x)在(－1,0)上單調(diào)遞增，所以g(x)<g(0)＝0，所以g(x)在區(qū)間(－1,0)上無零點(diǎn)．②當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，由于函數(shù)y＝－，y＝sin x在區(qū)間(0,1)上均為增函數(shù)，所以u′(x)＝－＋sin x在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>u′(0)＝－1<0，u′(1)＝sin 1－>0，所以存在唯一x0∈(0,1)，使得u′(x0)＝0，所以g′(x)＝－cos x在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0,1)上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>g′(0)＝0，g′(1)＝－cos 1<0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)<g(0)＝0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)g(x)在(－1,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．二、由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例2　(2022·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝ax－－(a＋1)ln x.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．解　(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－－ln x(x>0)，所以f′(x)＝－＝.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝－1.(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x>0)，得f′(x)＝a＋－＝(x>0)．當(dāng)a＝0時(shí)，由(1)可知，f(x)不存在零點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)＝，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f(x)不存在零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝，當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>f(1)＝a－1＝0，所以函數(shù)f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>1時(shí)，0<<1，故f(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>f(1)＝a－1>0，所以f >f(1)>0，當(dāng)x→0＋時(shí)，f(x)→－∞，由零點(diǎn)存在定理可知f(x)在上必有一個(gè)零點(diǎn)，所以a>1滿足條件，當(dāng)0<a<1時(shí)，>1，故f(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>f(1)＝a－1<0，所以f <f(1)<0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→＋∞，由零點(diǎn)存在定理可知f(x)在上必有一個(gè)零點(diǎn)，即0<a<1滿足條件．綜上，若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(0，＋∞)．規(guī)律方法　已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件．(2)也可以先求導(dǎo)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過多次求導(dǎo)，層層推理得解．跟蹤訓(xùn)練2　(2022·煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋a(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在(1，＋∞)上有零點(diǎn)x0，①求a的取值范圍；②求證：<x0<.(1)解　f′(x)＝－a，x∈(0，＋∞)．當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＝，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2)①解　注意到，f(1)＝ln 1－a＋a＝0，由(1)知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，對(duì)任意x∈(1，＋∞)，恒有f(x)>f(1)＝0，不符合題意；同理，當(dāng)a≥1，即<1時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意x∈(1，＋∞)，恒有f(x)<f(1)＝0，不符合題意；當(dāng)0<a<1，即>1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以f >f(1)＝0，又當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一一點(diǎn)x0∈，使得f(x0)＝0，滿足題意，綜上所述，a的取值范圍為(0,1)．②證明　由①知，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x0)＝ln x0－ax0＋a＝0，x0∈(1，＋∞)，解得a＝.要證x0>，只需證ln x0>.令g(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，則g′(x)＝－＝>0，所以g(x)＝ln x－在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，所以g(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，即ln x0>，即x0>.要證x0<，只需證ln x0<，即ln x0<.即證(ln x0)2<x0－1.令h(x)＝(ln x)2－x＋1，x∈(1，＋∞)，則h′(x)＝.令m(x)＝2ln x－x，x∈(1，＋∞)，則m′(x)＝－1＝，所以函數(shù)m(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，m(x)max＝m(2)＝2ln 2－2<0，所以h′(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(x0)<h(1)＝0，即(ln x0)2<x0－1，即x0<，不等式得證．

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