吉林省實驗中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

這是一份吉林省實驗中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題，共17頁。試卷主要包含了 已知，，則， 在等比數(shù)列中，，，則等于， 某物體的運動方程為， 給出下列命題，其中正確命題是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
數(shù)學(xué)
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.第I卷1至3頁，第Ⅱ卷4至5頁.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.
2.請認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項，在答題卡上與題號相對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫在試卷、草稿紙上或答題卡非題號對應(yīng)答題區(qū)域的答案一律無效.不得在答題卡上做任何標(biāo)記.
3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.
4.考試結(jié)束后，答題卡要交回，試卷由考生自行保存.
第I卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若,,且,為共線向量,則的值為（ ）
A. 2B. C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由,為共線向量,建立等式,解出即可.
【詳解】解:由題知,,為共線向量,
因為,,
所以有,
解得,
故.
故選:A
2. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若，，則公差等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通過已知條件得出，即可由等差數(shù)列通項得出答案.
【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，
，
，
，
，
解得，
故選：D.
3. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A選項，求導(dǎo)后得到，為奇函數(shù)，A錯誤；B選項，求導(dǎo)后，為非奇非偶函數(shù)，錯誤；C選項，求導(dǎo)后，不是偶函數(shù)，舍去；D選項，求導(dǎo)后為偶函數(shù)，滿足題意.
【詳解】A選項，定義域為R，且，故為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，A錯誤；
B選項，，定義域為R，由于，故不關(guān)于軸對稱，B錯誤；
C選項，，定義域為R，由于，故不關(guān)于軸對稱，C錯誤；
D選項，，定義域為R，則，故關(guān)于軸對稱，D正確.
故選：D
4. 圓與軸相切于，與軸正半軸交于兩點，，且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【詳解】設(shè)圓心，則有，因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選A.
5. 已知，，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)值即可求解.
詳解】由，得，
又因為，
所以，解得.
故選：B.
6. 在等比數(shù)列中，，，則等于（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)公比為，而，由求出，再由求出，即可求出得解.
【詳解】設(shè)公比為，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，同號，故舍去.
故選：A.
7. 如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點，分別是棱，的中點，則直線和所成的角是（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運算，求異面直線所成角的余弦值即可求解.
【詳解】因為底面，底面,所以，
且，所以以為坐標(biāo)原點，為軸建系如圖，
則,
所以,
設(shè)直線和所成的角為，
則,
因為，所以，
故選:B.
8. 設(shè)是橢圓上一點，，分別是兩圓和上的點，則的最小值、最大值分別為（ ）
A. 8，11B. 8，12C. 6，10D. 6，11
【答案】C
【解析】
【分析】求出兩圓圓心和半徑，得到圓心和剛好為橢圓的兩個焦點，從而利用橢圓定義求出，可得的最大值為，的最小值為，求出答案.
【詳解】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，
由于，，所以橢圓的兩個焦點分別為和，
由橢圓定義可知：，
所以的最大值為，的最小值為.
故選：C
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 某物體的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），若，則下列說法中錯誤的是（ ）
A. 18m/s是物體從開始到3s這段時間內(nèi)的平均速度
B. 18m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度
C. 18m/s是物體從3s到s這段時間內(nèi)某一時刻的速度
D. 18m/s是物體從3s到s這段時間內(nèi)的平均速度
【答案】ACD
【解析】
【分析】由瞬時速度定義可得答案.
【詳解】因表示秒這一時刻的瞬時速度，則表示在3s這一時刻的瞬時速度，故不選B，選ACD.
故選：ACD
10. 給出下列命題，其中正確命題是（ ）
A. 垂直于同一平面的兩直線平行B. 平行于同一平面的兩直線平行
C. 平行于同一直線的兩直線平行D. 空間中不相交的兩直線平行
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識確定正確選項.
【詳解】A選項，垂直于同一平面的兩直線平行，A正確，
B選項，平行于同一平面的兩直線可能相交、異面、平行，B錯誤.
C選項，平行于同一直線的兩直線平行，C正確.
D選項，空間中不相交的兩直線可能是異面或平行，D錯誤.
故選:AC
11. 已知拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與拋物線交于，兩點，點在上的射影為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 以為直徑的圓與軸相切
C. 設(shè)，則
D. 過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線至多有2條
【答案】AC
【解析】
【分析】已知拋物線方程，利用拋物線的性質(zhì)，焦點弦的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合判斷各選項．
【詳解】取中點，在上的投影為，在的投影為，如圖所示：
對于選項A，因為，所以，故A正確；
對于選項B， 根據(jù)拋物線的性質(zhì)，，為梯形的中位線，
故，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故B不正確；
對于選項C，因為，所以，故C正確；
對于選項D，顯然直線，與拋物線只有一個公共點，
設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立可得，
令，解得，所以直線與拋物線也只有一個公共點，
此時有三條直線符合題意，故D錯誤.
故選：AC.
12. 若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列．則下列關(guān)于斐波那契數(shù)列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由遞推公式，利用累加法得到AB選項，計算出前6項，從而判斷CD選項.
【詳解】當(dāng)時，由可得，，…，．
又由，，可得，即，
累加可得，
， 故A正確；
又，，，…，，
累加可得
，故B錯誤；
∵，，，
所以，，，，
所以C正確；
又，
所以D正確；
故選：ACD．
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 曲線在點處的切線方程為_______.
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)后代入切點的值得出切線的斜率，即可由點斜式得出切線方程.
【詳解】，
，
當(dāng)時，，
又切點為，
所求的切線方程為，
故答案為：.
14. 平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是________．
【答案】y＝2x－3
【解析】
【分析】
首先在直線上任取兩個點，，分別求出兩點關(guān)于的對稱點，的坐標(biāo)，再用兩點式即可求出對稱的直線方程.
【詳解】在直線上任取兩個點，，
則點關(guān)于點對稱的點為，
點關(guān)于點對稱的點為.
由兩點式求出對稱直線的方程為，即.
故答案為：
【點睛】本題主要考查直線關(guān)于點的對稱問題，同時考查了點關(guān)于點的對稱問題，屬于簡單題.
15. 若曲線存在與直線平行的切線，則實數(shù)的最大值為________.
【答案】3
【解析】
【分析】首先求導(dǎo)，根據(jù)題意得到在有解，再設(shè)，，根據(jù)求解即可.
【詳解】，
因為曲線存在與直線平行的切線，
所以在有解.即在有解.
設(shè)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即.
所以，即的最大值為.
故答案：3
16. 已知點是雙曲線的左右焦點，若雙曲線左支上存在點與點關(guān)于直線對稱，則該雙曲線的離心率為___________
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，利用對稱關(guān)系表示出點坐標(biāo)，然后將其代入雙曲線方程即可求解.
【詳解】過焦點且垂直漸近線的直線方程為，即
聯(lián)立漸近線方程與，可得，，
故對稱中心的點坐標(biāo)為，
由中點坐標(biāo)公式可得對稱點，
將其代入雙曲線的方程可得，
即：，故，,
故.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 設(shè)直線的方程為.
（1）求直線所過定點的坐標(biāo)；
（2）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）將方程變形為，解方程組，就可得到直線所過的定點坐標(biāo).
（2）首先根據(jù)直線方程求出過原點時，滿足題意的的值；再根據(jù)它在兩坐標(biāo)軸上的截距相等(不過原點時)，求出的值，進(jìn)而分別得出直線的方程.
【小問1詳解】
因直線的方程為，
可得，，
解得，即直線所過定點的坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
直線過原點時，在軸和軸上的截距為零.
符合題意，∴，方程即為.
當(dāng)直線不過原點時，由截距存在且均不為，
∴，即.
∴，方程即為.
因此直線的方程為或.
18. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，，，.
（1）求、的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求得數(shù)列的公比，由等比數(shù)列通項公式可得，進(jìn)而得到；由可求得數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項公式可得；
（2）由（1）可得，采用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式可得.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，；
又，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
.
【小問2詳解】
由（1）得：；
19. 已知圓經(jīng)過，，圓心在直線上，過點且斜率為的直線與圓有公共點.
（1）求圓的方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的方程為把，代入方程，圓心代入，列方程求解.
(2)直線與圓相交滿足圓心到直線的距離小于半徑.
【小問1詳解】
設(shè)圓的方程為，則依題意，得
解得，
∴圓的方程為.
【小問2詳解】
依題意可知，直線的方程為，圓心到直線的距離為，
，
解得
20. 如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點．
（1）求證：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可證明DE⊥平面PCB.
（2）以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【小問1詳解】
證明:PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中點，DEPC，PCBC＝C，
且面，面
∴DE⊥平面PCB
【小問2詳解】
以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：
則，
設(shè)平面BDE的法向量為，
則，
令，得到，
又，則，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一個法向量為，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
所以二面角的余弦值為．
21. 已知數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，后可得的通項公式；
（2）由（1）可得，后可由錯位相減法求數(shù)列的前項和.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又滿足上式，∴，
∴.
【小問2詳解】
由（1）得，，，∴，
∴，
∴，①
①×2得，②
①②得，
∴.
22. 已知橢圓的離心率為，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求面積的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【詳解】（Ⅰ）因為橢圓上一點和它的兩個焦點構(gòu)成的三角形周長為，
所以，
又橢圓的離心率為，即，所以，
所以，.
所以，橢圓的方程為.
（Ⅱ）不妨設(shè)直線的方程.
由消去得，
設(shè)，，
則有，. ①
因為以為直徑的圓過點，所以.
由，
得.
將代入上式，
得.
將 ① 代入上式，解得或（舍）.
所以（此時直線經(jīng)過定點，與橢圓有兩個交點），
所以
.
設(shè)，
則.
所以當(dāng)時，取得最大值.