2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版），共14頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，雙空題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線與直線互相平行，且兩者之間的距離是，則等于A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用兩條直線平行，及兩條平行線間的距離公式，可得方程組，解之即可得到結(jié)論.【詳解】直線與直線平行且兩者之間的距離是，，(負(fù)值舍去)，.所以B選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】本題考查兩條平行線間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.3．已知桌上放有3本語(yǔ)文書(shū)和3本數(shù)學(xué)書(shū)．小明現(xiàn)從這6本書(shū)中任意抽取3本書(shū)，A 表示事件“至少抽到1本數(shù)學(xué)書(shū)”，B表示事件“抽到語(yǔ)文書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)”，則＝（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件概率的公式求解.【詳解】由題得,由條件概率的公式得.故選：D4．《長(zhǎng)津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國(guó)慶檔的熱門電影．某電影院的某放映廳在國(guó)慶節(jié)的白天可以放映6場(chǎng)，晚上可以放映4場(chǎng)電影．這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場(chǎng)和晚上第一場(chǎng)視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（    ）A．30種 B．54種 C．60種 D．64種【答案】B【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，求得結(jié)果.【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場(chǎng)，晚上一場(chǎng)，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.故選：B5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上的點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，，則（    ）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】先由結(jié)合拋物線性質(zhì)可得，再結(jié)合拋物線定義確定三角形為正三角形，即可求出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則由拋物線，可知，又，故，且，又由拋物線定義，則三角形為正三角形故．故選：C．6．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（    ）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為故選：D7．圓：和：，M，N分別是圓，上的點(diǎn)，P是直線上的點(diǎn)，則的最小值是　　A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得圓關(guān)于的對(duì)稱的圓的性質(zhì)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問(wèn)題求解最值即可.【詳解】圓關(guān)于的對(duì)稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為3，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，由圖象可知當(dāng)P，，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：．本題選擇A選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8．楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《評(píng)解九章算法》（年）一書(shū)中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，，……．記作數(shù)列，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則＝（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由歸納推理及等比數(shù)列前項(xiàng)和可得：即在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù)，則，得解．【詳解】解：將1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．分組為（1），，，2，，，3，3，，，4，6，4，則第組個(gè)數(shù)且第組個(gè)數(shù)之和為，設(shè)在第組中，則，解得：，即在第11組中且為第11組中的第2個(gè)數(shù)，即為，則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理及等比數(shù)列前項(xiàng)和，屬于中檔題． 二、多選題9．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A．展開(kāi)式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開(kāi)式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】CD【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式、通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，所以令可得：.A：因?yàn)?/span>，所以展開(kāi)式共有項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：因?yàn)?/span>，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第項(xiàng)，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：因?yàn)?/span>，所以所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：由B可知：，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)，故本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：CD10．若男女排成一排，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A．共計(jì)有種不同的排法 B．男生甲排在兩端的共有種排法C．男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種 D．男女生相間排法總數(shù)為種【答案】BC【分析】利用排列計(jì)數(shù)原理可判斷A選項(xiàng)；利用特殊元素優(yōu)先考慮可判斷B選項(xiàng)；利用捆綁法可判斷C選項(xiàng)；利用列舉法結(jié)合排列計(jì)數(shù)原理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，共有種不同的排法，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，男生甲排在兩端，共有種不同的排法，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若男生甲、乙相鄰，將甲、乙兩人捆綁，形成一個(gè)“大元素”，此時(shí)共有種不同的排法，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，男女生相間，共有兩種情況：男女男女男女、女男女男女男，共有種不同的排法，D對(duì).故選：BC.11．過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，線段MN是圓C的一條動(dòng)弦，且，則（    ）A．面積的最大值為 B．面積的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】設(shè)圓心C到直線AB的距離為d，求出，即可判斷C；再由，求出面積的最大值即可得出判斷出A，B；求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值即可得出判斷出D.【詳解】設(shè)圓心C到直線AB的距離為d，由題意得，，則，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，B正確.由，知，C正確.如圖，過(guò)圓心C作于E，則E為MN的中點(diǎn)，又，則，即點(diǎn)E的軌跡為圓.因?yàn)?/span>，且， 所以的最小值為，故D正確.故應(yīng)選：BCD.12．已知雙曲線且，設(shè)直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，點(diǎn)在的兩條漸近線上的射影分別為，記的面積為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．雙曲線的漸近線方程為 B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出漸近線方程，設(shè)點(diǎn)，求出到兩漸近線的距離，從而得到，即可得到的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為且，所以漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則且，記到兩條漸近線的距離分別為，則、，則，故因此為等差數(shù)列，故，故選：ACD. 三、雙空題13．已知三點(diǎn)共線，則______，直線的傾斜角為_________．【答案】     3     【分析】由三點(diǎn)共線得斜率相等即可求解.【詳解】直線斜率為，斜率為，因?yàn)?/span>三點(diǎn)共線，所以，則，由得 所以直線的傾斜角為故答案為：3； 四、填空題14．若的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)是160，則______.【答案】1【分析】根據(jù)給定的二項(xiàng)式直接求出第4項(xiàng)，結(jié)合已知系數(shù)計(jì)算作答.【詳解】的展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為，依題意，，解得，所以.故答案為：115．在等比數(shù)列中，若，，則_____．【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：．∵在等比數(shù)列中，，∴原式．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16．已知雙曲線）的左?右焦點(diǎn)分別是是雙曲線右支上的兩點(diǎn)，.記的周長(zhǎng)分別為，若，則雙曲線的右頂點(diǎn)到直線的距離為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義爹【詳解】解：根據(jù)雙曲線的定義，.所以，故雙曲線右頂點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以在上，在上，即直線方程為：，所以雙曲線的右頂點(diǎn)到直線的距離為故答案為： 五、解答題17．（1）計(jì)算：；（2）已知，求的展開(kāi)式中的系數(shù).（用數(shù)字作答）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式即可求出；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或者二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出．【詳解】（1）；（2）的展開(kāi)式中的系數(shù)和為：．或者，所以的系數(shù)為．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式與和前 項(xiàng)和公式的關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可證明結(jié)果.【詳解】（1）解：由①，所以，當(dāng)時(shí)，②，由①-②，則當(dāng)時(shí)，，上式亦滿足，綜上.（2）解：由，所以所以.19．已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求含項(xiàng)的系數(shù)；（2）將二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所項(xiàng)重新排成一列，求有理項(xiàng)互不相鄰的概率．【答案】（1）7；（2）.【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出前三項(xiàng)的系數(shù)的表達(dá)式，利用這三個(gè)系數(shù)成等差數(shù)列并結(jié)合組合數(shù)公式求出的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)可求出項(xiàng)的系數(shù)；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求出展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為，總共是項(xiàng)，利用排列思想得出公共有種排法，然后利用插空法求出有理項(xiàng)不相鄰的排法種數(shù)，最后利用古典概型概率公式可計(jì)算出所求事件的概率．【詳解】（1）∵前三項(xiàng)系數(shù)、、成等差數(shù)列．，即．∴或 (舍去）   ∴展開(kāi)式中通項(xiàng)公式T，，，8． 令，得，                                  ∴含x2項(xiàng)的系數(shù)為 ；（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，．                        ∴展開(kāi)式共有9項(xiàng)，共有種排法．                       其中有理項(xiàng)有3項(xiàng)，有理項(xiàng)互不相鄰有種排法，           ∴有理項(xiàng)互不相鄰的概率為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)，考查排列組合以及古典概型的概率計(jì)算，在處理排列組合的問(wèn)題中，要根據(jù)問(wèn)題類型選擇合適的方法求解，同時(shí)注意合理使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理與計(jì)算能力，屬于中等題．20．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)為且直線OM的斜率為.(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，即可容易求得拋物線方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用OM的斜率為，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求得直線的方程，再用面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由準(zhǔn)線方程為知，，故；則拋物線方程為.（2）由題知直線的斜率顯然不為0，又其過(guò)點(diǎn)              故設(shè)直線l的方程為，，  聯(lián)立拋物線方程，化簡(jiǎn)得則，            由線段的中點(diǎn)為知，，，代入韋達(dá)定理知，，整理得：，解得，故直線的方程為  則.故的面積為.21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．(1)求，的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）由，求解即可；（2），當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，進(jìn)而得，檢驗(yàn)，從而得，進(jìn)而利用分組求和即可.【詳解】（1）∵，∴，∴，．（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，∴．又由，，得，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，，∴．22．已知橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在E上．（1）求E的方程；（2）已知過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，若為定值，試求m的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由橢圓的定義可得，再由，結(jié)合即可求解.（2）討論直線l的斜率是否存在，當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：（1）由題意可知，∴，而，∴，∴橢圓E的方程為．（2）①若直線l的斜率不存在，易得，②若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，，則，聯(lián)立得，且，，要使上式為常數(shù)，必須且只需，即，此時(shí)易知恒成立，且，符合題意．綜上所述，．