一、單選題
1．已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)空間中平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系判斷即可.
【詳解】解：對(duì)于A，垂直于同一平面的兩平面相交或平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，平行于同一直線的兩平面相交或平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，垂直于同一直線的兩平面平行，故C正確；
對(duì)于D，平行于同一平面的兩直線相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．已知是等比數(shù)列，若，則（ ）
A．6B．8C．D．
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)即可求得結(jié)果.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)若，則，
可得，代入計(jì)算得.
故選：B.
3．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】由勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.
【詳解】由可得，即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
所以圓心到直線的距離，
所以.
故選：D
4．已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則 的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.
【詳解】
的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范圍是，
結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，
可知等于的模與在方向上的投影的乘積，
所以的取值范圍是，
故選：A.
【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)單題目.
5．某社區(qū)為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進(jìn)行核酸檢測(cè)，需要完成隊(duì)伍組織?信息錄人?采集核酸三項(xiàng)任務(wù)，每項(xiàng)任務(wù)至少安排一人但至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．450種B．72種C．90種D．360種
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，第二種：人數(shù)為的三組求解.
【詳解】6名志愿者分成三組，每組至少一人至多三人，
可分兩種情況考慮：
第一種：人數(shù)為的三組，共有種；
第二種：人數(shù)為的三組，共有種.
所以不同的安排方法共有種，
故選：.
6．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，且，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)橢圓的定義可求，結(jié)合三角形的面積可求，進(jìn)而可得答案.
【詳解】如圖，連接，由橢圓的對(duì)稱性得四邊形為平行四邊形，
所以，得.
又因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，設(shè)，
則，所以得或；
則，則，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選:C.
7．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)得出，即可得出，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在上單調(diào)遞增，即可得出，即，即得出，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
故，
故，所以；
設(shè)，
設(shè)，
在上單調(diào)遞增，
所以
則，
所以在上單調(diào)遞增，
故，
所以，
所以，
所以，
故選：B.
8．，均有成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，則，由可得，令，則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則對(duì)于恒成立，可得，，即可得出答案.
【詳解】不妨設(shè)，則，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，則，
因?yàn)椋栽趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以對(duì)于恒成立，
所以對(duì)于恒成立，
可得對(duì)于恒成立，所以，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，所以.
故選：B.
二、多選題
9．已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為
C．展開式中第項(xiàng)的系數(shù)為
D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為
【答案】ABD
【分析】由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為求出，即可判斷A，令即可得到展開式各項(xiàng)系數(shù)和，從而判斷B，利用展開式的通項(xiàng)判斷C、D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈恼归_式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以，則，故A正確；
對(duì)于B，令，則，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)榈恼归_式通項(xiàng)為，
令可得第4項(xiàng)的系數(shù)為，故C不正確；
對(duì)于D，在選項(xiàng)C中的通項(xiàng)公式中，
令，得，則，所以含項(xiàng)的系數(shù)為，故D正確.
故選：ABD.
10．已知函數(shù)，則說法下列正確的是（ ）
A．
B．函數(shù)在上的最大值為4
C．函數(shù)在上的最大值為4，則
D．若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
【答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得，即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)和B選項(xiàng)的分析可得，即可判斷C；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，解之即可判斷D.
【詳解】A：由，
得，
所以，故A正確；
B：由，得，
令或，令，
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
∴，故B錯(cuò)誤；
C：因?yàn)椋谏系淖畲笾禐?，
由選項(xiàng)B的分析，得，即，故C錯(cuò)誤.
D：在有兩個(gè)不相等實(shí)根，
則，即，解得，故D正確.
故選：AD.
11．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．
B．三棱錐的體積為
C．點(diǎn)在平面的投影是的內(nèi)心
D．設(shè)與平面所成角分別為，則
【答案】ABD
【分析】利用線面垂直的判定定理即可證明選項(xiàng)A，利用等體積法思想證明選項(xiàng)B，利用線面垂直的判定和性質(zhì)判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤，根據(jù)垂直關(guān)系找到線面角并表示出正弦值即可求解選項(xiàng)D.
【詳解】聯(lián)系翻折前后的位置關(guān)系可得，
翻折后,平面,
所以平面,又因?yàn)槠矫?所以，故A正確；
由上述過程可知平面，且,
所以,故B正確；
因?yàn)閮蓛苫ハ啻怪保?br>,平面,
所以平面,又因?yàn)槠矫?所以，
設(shè)為點(diǎn)在平面上的投影，
連接,則平面，平面，
所以,平面，
所以平面，平面,所以,
同理可證,即點(diǎn)為三角形高線的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)在平面的投影是的垂心，故C錯(cuò)誤，
由上述過程可知，
與平面所成角分別為，
,
由上述過程可知，所以，
所以,故D正確；
故選:ABD.
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，過點(diǎn)作與軸垂直的直線，與拋物線交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若為正三角形，則
C．若拋物線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、（異于、），使得，則
D．當(dāng)取得最大值時(shí)，
【答案】BCD
【分析】由求出的取值范圍，可判斷A選項(xiàng)的正誤；求出、，根據(jù)解出，可判斷B選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)，由得出關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)，求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值以及的值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，將代入拋物線的方程可得出，則，
所以，，，由可得，解得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，，
由于為正三角形，則，即，解得，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，在拋物線上任取一點(diǎn)，則，
由，可得，整理可得，
即，即，
關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則，解得，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D，設(shè)，，
其中為銳角，且，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，
則，，
則，即，解得，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將題中一些相應(yīng)的量利用參數(shù)加以表示，結(jié)合方程或不等式來求解，在求解D選項(xiàng)中的最值時(shí)，可充分利用圖形的幾何關(guān)系，借助正弦、余弦的有界性來求解.
三、填空題
13．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）6的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為____．（用數(shù)字作答）
【答案】35
【詳解】試題分析：展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為
【解析】二項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)計(jì)算．
14．如圖，在平面四邊形中，，三角形的面積為，則__________.
【答案】4
【分析】在中，由正弦定理可得，在中，由三角形的面積公式可得，再由余弦定理有，即可解得，即可得答案.
【詳解】在中，，
由正弦定理有：，即，解得，
由三角形的面積公式有：，
則，①
在中，由余弦定理有：，
所以，②
由①②解得，
所以
故答案為：4
15．已知在處取得極值，則的最小值為__________.
【答案】8
【分析】由已知在處取得極值求得，再結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求解.
【詳解】解：由，
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以有，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào).
故答案為：8
16．已知數(shù)列中，且滿足，若的前項(xiàng)和為，則__________.
【答案】
【分析】先對(duì)遞推式變形，利用累加法求出數(shù)列通項(xiàng)，然后利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式分類討論求和.
【詳解】，兩邊同除得，，
所以，
即，化簡(jiǎn)得，，
故是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.
設(shè)的前項(xiàng)和為，則，
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以.
所以
故答案為：
四、解答題
17．一個(gè)暗箱里放著6個(gè)黑球?4個(gè)白球.
(1)依次取出3個(gè)球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)條件概率的求法，找到第第1次取出的是白球的概率與第1次取出的是白球，第3次取到黑球的概率，求其比值即可；
（2）取到白球個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率公式與均值公式求解即可
【詳解】（1）設(shè)事件為“第1次取出的是白球”，
事件為“第3次取到黑球”，
；
（2）設(shè)事件為“取一次球，取到白球”，
則，這3次取球結(jié)果互不影響，
則，所以，
其分布列為：
.
18．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由函數(shù)圖像求出、，再根據(jù)周期求出，最后根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)，求出，即可得到函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出的解析式，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由圖示得：，解得，
又函數(shù)的周期T有：，所以，所以，
所以.
又因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且
所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
19．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，點(diǎn)在棱上.
(1)判斷與是否垂直，并說明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.
【答案】(1)，理由見解析
(2)
【分析】（1）先證明線面垂直，利用線面垂直的性質(zhì)可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，表示出線面角的關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可得范圍.
【詳解】（1），證明如下：
平行四邊形中，.
中，.
.
又平面，
平面平面.
又.
（2），
又，
兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則
，，
點(diǎn)在棱上，設(shè)，
，
設(shè)平面的法向量為，則，即
，令，得，
由于，
設(shè)直線與平面所成角為，則
，
，令，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
.
綜上，.
20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；
（2）由（1）得到，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法求解.
【詳解】（1）解：由題意得，①
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，②
①一②得，
當(dāng)時(shí)，，也適合上式，所以，所以，
兩式相減得，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）可得，
，
設(shè)，③
，④
③一④得，
，又，
.
21．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知點(diǎn)是雙曲線的右支上異于頂點(diǎn)的任意點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，為的中點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在某定曲線上．
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)右焦點(diǎn)和漸近線方程，可列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解即可；
（2）先設(shè)出和直線與直線的交點(diǎn)，先表示出坐標(biāo)，再由，列出方程組，最后消參可得定曲線方程.
【詳解】（1）解：由于雙曲線右焦點(diǎn)為，漸近線為，
所以，，
解得，
所以雙曲線的方程為：
（2）證明：設(shè)，直線與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)直線為，
由題可知：，
聯(lián)立 ，化簡(jiǎn)得，
所以，由可得 ，
那么，
所以，
由于是中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所?且，解得，
因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為，
根據(jù)斜率相等可得，
代入的坐標(biāo)得
化簡(jiǎn)得 ，
將兩式相乘得，即為，
所以直線與直線的交點(diǎn)在定曲線上.
22．已知函數(shù).
(1)若，討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且滿足，求證：.（參考數(shù)據(jù)）
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，討論，，三種情況，由單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求解；
（2）由得，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)證明；再由得出，再由導(dǎo)數(shù)證明，從而證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，則.
設(shè)，則，
由得：，
①當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)..
②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上遞減，
取滿足且，則，又，
所以，
而，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知存在使得，
此時(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時(shí)，此時(shí)無零點(diǎn).
（2）（i）由得，即.
設(shè)，則.
由可得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
有極大值也是最大值，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，則，即；
（ii），故，
，
則，即，
故.
設(shè)，由可得，
設(shè)函數(shù)，則，
設(shè)，則，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，故，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
.
綜上，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
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