2022-2023學年河南省鄭州市第九中學高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

這是一份2022-2023學年河南省鄭州市第九中學高二上學期期末數(shù)學試題（解析版），共13頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學年河南省鄭州市第九中學高二上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．已知空間向量，，且，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.2．已知在數(shù)列中，，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】推導出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性可求得的值.【詳解】因為，則，，故.故選：A.3．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒4．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（    ）A． B．13 C．45 D．117【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C5．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.6．在等比數(shù)列中，公比是，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性舉出反例，如，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：當時，則，因為，所以，所以，故，所以不能推出，當時，則，由，得，則，所以，所以不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點，焦點，均在軸上，的面積為，過點的直線交于點，，且的周長為8．則的標準方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知所給的面積公式，結(jié)合橢圓的定義進行求解即可.【詳解】因為的周長為8，所以，由橢圓的定義可知：所以，由題意可得：，解得，因為橢圓的焦點在軸上，所以的標準方程為．故選：C【點睛】本題考查了橢圓定義的應用，考查了數(shù)學閱讀能力和數(shù)學運算能力.8．如圖所示,在平行六面體中,,,,是的中點,點是上的點,且,用表示向量的結(jié)果是(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】在平行六面體中根據(jù)空間向量的加法合成法則,對向量進行線性表示,即可求得答案.【詳解】連接可得:又故選: D.【點睛】本題考查了空間向量的加法運算,解題關鍵是掌握向量的加法運算和數(shù)形結(jié)合,屬于基礎題.9．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解．【詳解】以為坐標原點，平面內(nèi)過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A10．一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關系，即可求出動圓圓心的軌跡方程.【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動圓圓心為，半徑為，當兩圓外切時：，所以；當兩圓內(nèi)切時：，所以；即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，， ，所以動圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.11．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得．根據(jù)拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為．故選：A12．已知雙曲線的離心率為，左焦點為F，實軸右端點為A，虛軸上端點為B，則為（    ）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三邊的關系即可求出．【詳解】因為，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形．故選：A． 二、填空題13．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，則該拋物線的標準方程為___________．【答案】【分析】根據(jù)焦點坐標即可得到拋物線的標準方程．【詳解】因為拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，所以，解得，拋物線的標準方程為．故答案為：．14．記為等比數(shù)列的前n項和，若，公比，則______．【答案】4【分析】根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項即可計算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：415．若直線與直線平行，且原點到直線的距離為，則直線的方程為____________.【答案】【分析】可設直線的方程為，利用點到直線的距離公式求得，即可得解.【詳解】可設直線的方程為，即，則原點到直線的距離為，解得，所以直線的方程為.故答案為：.16．橢圓C：的左、右焦點分別為，，點A在橢圓上，，直線交橢圓于點B，，則橢圓的離心率為______．【答案】（也可以）【分析】可以利用條件三角形為等腰直角三角形，設出邊長，找到邊長與之間等量關系，然后把等量關系帶入到勾股定理表達的等式中，即可求解離心率.【詳解】由題意知三角形為等腰直角三角形，設，則，解得，，在三角形中，由勾股定理得，所以，．故答案為：（也可以） 三、解答題17．已知拋物線的焦點F到其準線的距離為4．(1)求p的值；(2)過焦點F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點，求．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用拋物線方程得到焦點坐標和準線方程，即可得到答案；（2）通過題意得到焦點坐標，然后得到直線的方程，與拋物線進行聯(lián)立可得，利用韋達定理可得，即可得到答案【詳解】（1）由拋物線可得焦點，準線方程為，又因為拋物線的焦點到其準線的距離為，所以；（2）由（1）可得拋物線的方程為，所以焦點，則直線的方程為設，聯(lián)立，整理可得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得．18．已知直線．(1)求證：直線過定點；(2)過點作直線使直線與兩負半軸圍成的三角形的面積等于4，求直線的方程．【答案】(1)直線過定點，證明見詳解；(2) 【分析】（1）變形直線方程，分離參數(shù)，利用直線系方程，解方程組求出定點，即可證明.（2）設直線方程，利用過點作直線使得直線與兩負半軸圍成的三角形面積等于4，得到方程組，即可求出直線方程.【詳解】（1）證明：方程化為：，由直線系方程的性質(zhì)有：，解得，故直線恒過點（2）設直線，則由題意得：，解得，所以直線，即，所以所求直線方程為：.19．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式結(jié)合“當時，”探求相鄰兩項的關系計算作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求出，即可作答.【詳解】（1）依題意，，，則當時，，于是得：，即，而當時，，即有，因此，，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由(1)知，，從而有，所以.20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．                (1) 證明：PB∥平面AEC                (2) 設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積【答案】【詳解】試題分析：（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結(jié)DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．又E為PD的中點，所以EO∥PB.因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC. (2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標原點，，AD，AP的方向為x軸y軸z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系A-xyz，則D，E，＝.設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)．設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝. 因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V＝××××＝. 【解析】二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定 21．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由等比數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列的基本量運算列方程組解得和公比后可得通項公式；（2）用錯位相減法求得和．【詳解】（1）設數(shù)列的公比為q，由，，得，解之得所以；（2），又，得，，兩式作差，得，所以．22．已知橢圓的焦距為，點在橢圓上．（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出、，然后結(jié)合，即可求出、以及橢圓的標準方程；（2）可設、，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出、，然后根據(jù)點到直線距離以及三角形面積公式得出，再然后令，則，，最后根據(jù)的取值范圍即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為焦距為，所以，，因為點在橢圓上，所以，聯(lián)立，解得，，橢圓的標準方程為.（2）設，，聯(lián)立，整理得，，則，，原點到直線的距離為，則的面積，令，則，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，面積的取值范圍為.