2022-2023學(xué)年廣東省大灣區(qū)高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的斜率為（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線方程化成斜截式即可得直線的斜率.【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，則＝（    ）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算結(jié)果.【詳解】解析：．故選：A3．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（    ）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m【答案】A【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.4．圖1是一個(gè)水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（    ）A．66 B．91 C．107 D．120【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律得到第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成等差數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)閳D1有1個(gè)小正方體，圖2有1+5=6個(gè)小正方體，圖3有1+5+9=15個(gè)小正方體，歸納可得：第n個(gè)疊放圖形中共有n層，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，以4為公比的等差數(shù)列，所以第n個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是，第8個(gè)疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是，故選：D5．已知直線與直線平行，則與之間的距離為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】兩直線斜率存在時(shí)，平行則斜率相等，求出m的值，再根據(jù)兩平行線間的距離公式即可計(jì)算.【詳解】∵直線與平行，∴，解得.∵的方程為，∴它們之間的距離.故選：B.6．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為（    ）A．1010 B．1011 C．2021 D．2022【答案】D【分析】首先利用等差數(shù)列的性質(zhì)和公式，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組轉(zhuǎn)化法求和.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得：，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，.故選：D7．如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，因?yàn)?/span>，所以，，，，，所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.8．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．若雙曲線的方程為上，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A．射線所在直線的斜率為，則B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為D．若，直線與相切，則【答案】C【分析】求出雙曲線漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；利用勾股定理以及雙曲線的定義可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線定理結(jié)合雙曲線的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】在雙曲線中，，，則，易知點(diǎn)、，設(shè)，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時(shí)，同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，，綜上所述，的取值范圍是，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故過點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過的路程為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，由角平分線定理可得，即，解得，D對(duì).故選：C. 二、多選題9．若橢圓的焦點(diǎn)為，（），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則橢圓上的點(diǎn)滿足（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓的兩個(gè)定義可判斷AC；根據(jù)分母不能為0可判斷B；直接化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】由橢圓定義可知，A正確；由橢圓第二定義可知C正確；B中顯然，即橢圓上的長(zhǎng)軸端點(diǎn)不滿足B中方程，故B錯(cuò)誤；由兩邊平方可得，整理得，即，故D正確.故選：ACD10．從高一某班抽三名學(xué)生(抽到男女同學(xué)的可能性相同)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，事件D為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下正確的是（　?。?/span>A． B．事件A與事件B互斥C． D．事件A與事件C對(duì)立【答案】ABD【分析】由獨(dú)立乘法公式求，根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對(duì)立事件的概念判斷B、C、D即可.【詳解】由所抽學(xué)生為女生的概率均為，則，A正確；兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，為互斥事件，B正確；事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，其對(duì)立事件為，D正確；事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，與事件含義相同，故，C錯(cuò)誤；故選：ABD11．為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），分別為53，57，45，61，79，49，，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則的值可能為（    ）A．58 B．59 C．62 D．64【答案】AD【分析】先對(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序，分，，三種情況，舍去不合要求的情況，列出方程，求出答案,【詳解】將已知的6個(gè)數(shù)從小到大排序?yàn)?/span>45，49，53，57，61，79．若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：AD.12．圓錐曲線為什么被冠以圓錐之名？因?yàn)樗梢詮膱A錐中截取獲得.我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線（截而與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，用一個(gè)不垂直于軸的平面截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸的夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們將圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.截口曲線形狀與和圓錐軸截面半頂角有如下關(guān)系；當(dāng)時(shí)，截口曲線為橢圓；當(dāng)時(shí)，截口曲線為拋物線：當(dāng)時(shí)，截口曲線為雙曲線.（如左圖）現(xiàn)有一定線段AB與平面夾角（如上右圖），B為斜足，上一動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)軌跡是，則（       ）A．當(dāng)，時(shí)，是橢圓 B．當(dāng)，時(shí)，是雙曲線C．當(dāng)，時(shí)，是拋物線 D．當(dāng)，時(shí)，是橢圓【答案】ACD【分析】認(rèn)為P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題干信息，逐一分析即可.【詳解】∵AB為定線段，為定值，∴P在以AB為軸的圓錐上運(yùn)動(dòng)，其中圓錐的軸截面半頂角為，與圓錐軸AB的夾角為對(duì)于A，，∴平面截圓錐得橢圓，A正確；對(duì)于B，，是橢圓，B錯(cuò).對(duì)于C，，是拋物線，C正確.對(duì)于D，，是橢圓，D正確.故選：ACD. 三、填空題13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足兩個(gè)條件：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列，請(qǐng)寫出的一個(gè)通項(xiàng)公式__________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，只需寫出滿足是正項(xiàng)單調(diào)遞減數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足：①是單調(diào)遞減數(shù)列；②是單調(diào)遞增數(shù)列，故只需是正項(xiàng)單調(diào)遞減數(shù)列即可.故的通項(xiàng)公式可以為.故答案為：（答案不唯一）14．如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，已知庫底與水壩斜面所成的二面角為，測(cè)得從，到庫底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________．【答案】【分析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時(shí)平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：15．已知點(diǎn)，，為平面上的動(dòng)直線，點(diǎn)A，B到直線的距離分別為1，3，則這樣的直線有______條．【答案】4【分析】將題意轉(zhuǎn)化為求兩圓的公切線條數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】到點(diǎn)A的距離為1的直線即該直線與以A為圓心，1為半徑的圓相切；到點(diǎn)B的距離為3的直線即該直線與以B為圓心，3為半徑的圓相切；由于，即兩圓相離，如圖所示，故公切線的條數(shù)為4條，即點(diǎn)A，B到直線的距離分別為1，3的直線有4條，故答案為：4.16．舒騰尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的一種作圖工具，如圖，O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過N處的鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)點(diǎn)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)M也隨之而運(yùn)動(dòng)．記點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡為，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為．若，，過上的點(diǎn)P向作切線，則切線長(zhǎng)的最大值為______．【答案】【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，分別求得、的方程，再利用切線長(zhǎng)定理求得切線長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而求得該切線長(zhǎng)的最大值.【詳解】以滑槽AB所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O為圓心，半徑為1的圓，其方程為．設(shè)點(diǎn)，，，依題意，，且，所以，且，即，且．由于t不恒等于0，于是，故，，代入，可得，故曲線的方程為．設(shè)上的點(diǎn)，則，則切線長(zhǎng)為，故切線長(zhǎng)的最大值為．故答案為： 四、解答題17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2) 【分析】（1）先證明線面垂直，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：在長(zhǎng)方體中，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由，，得，又是棱的中點(diǎn)，所以，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）由（1）得 ，將不等式對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意恒成立求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，又，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，即，所以，對(duì)任意恒成立，即，對(duì)任意恒成立，記，故，所以時(shí)，，所以，即，時(shí)，，即隨著的增大，遞減，所以的最大值為，所以，即.19．某校為加強(qiáng)黨史教育，進(jìn)行了一次黨史知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生的筆試成績(jī)均在75分以上（滿分100分），分成[75，80），[80，85）[85，90），[90，95），[95，100] 共五組后，得到的頻率分布表如下所示：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[75，80）①     第2組[80，85） 0.300第3組[85，90）30②    第4組[90，95）200.200第5組[95，100]100.100合計(jì) 1001.00 （1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為能更好了解學(xué)生的知識(shí)掌握情況，學(xué)校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面答，最終從6位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加市安全知識(shí)答題決賽，求抽到的2位學(xué)生不同組的概率.【答案】（1）①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300，直方圖見解析；（2）.【分析】(1)利用頻率等于頻數(shù)與總數(shù)的比值求解；(2)先用分層抽樣確定各組應(yīng)抽取的人數(shù)，而后利用古典概型中的列舉法求概率.【詳解】(1)第2組的頻數(shù)為100×0.300= 30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為10人，②處應(yīng)填的數(shù)為0.300， 頻率分布直方圖如圖所示，(2)因?yàn)榈?/span>3、4、5組共有60名選手，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取6名選手進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人，所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人進(jìn)入第二輪面答.設(shè)第3組的3位學(xué)生為，第4組的2位學(xué)生為，第5組的1位學(xué)生為C1，則從這6位學(xué)生中抽取2位學(xué)生有：， ，共15種情況.抽到的2位學(xué)生不同組的有：共11種情況.所以抽到的2位學(xué)生不同組的概率為.20．已知圓C過點(diǎn)，，它與x軸的交點(diǎn)為，，與y軸的交點(diǎn)為，，且.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線，從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F的值即可得到圓的方程；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點(diǎn)，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，所以有 ，解之得，故點(diǎn)，∴反射光線所在直線過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.21．空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.【答案】(1)(2)①；②2 【分析】（1）根據(jù)所給定義可得，，再根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到，即可得解；②依題意、且根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，即可求出，再根據(jù)及向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因?yàn)?/span>，所以，由知則22．已知橢圓C：，點(diǎn)E(－4，0)，過點(diǎn)E作斜率大于0的直線與橢圓C相切，切點(diǎn)為T.(1)求點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2)過線段ET的中點(diǎn)G作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線EA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線EB與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：；(3)請(qǐng)結(jié)合（2）的問題解決，運(yùn)用類比推理，猜想寫出拋物線中與之對(duì)應(yīng)的一個(gè)相關(guān)結(jié)論(無需證明).【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)過軸負(fù)半軸上一點(diǎn)作拋物線的切線，再過的中點(diǎn)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線EA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線EB與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，則. 【分析】（1）根據(jù)橢圓與直線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，利用判別式為0，即可求解出切線的斜率，然后代入方程，即可求解切點(diǎn)坐標(biāo).（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及兩點(diǎn)間斜率公式，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用斜率公式算斜率，即可求解.(3)將橢圓類比為拋物線，提出類似結(jié)論即可.【詳解】（1）設(shè)切線的方程為： 聯(lián)立方程   —①因?yàn)橹本€與橢圓C相切，所以 當(dāng)時(shí)，代入①式中得，解得，進(jìn)而代入直線方程可得，故（2）由題意知：直線有斜率，設(shè) 的斜率分別為， 聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系可知： ，又從而，，同理可得：，, ，故設(shè)直線為 所以直線MN與ET平行.（3）由(2)可得：過軸負(fù)半軸上一點(diǎn)作拋物線的切線，再過的中點(diǎn)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線EA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線EB與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，則.【點(diǎn)睛】進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． 

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