2023屆廣東省大灣區(qū)高三聯(lián)合模擬（二）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?/span>，，則，因此，.故選：C.2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，得到，即可確定點(diǎn)的位置.【詳解】由可知，，，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，故點(diǎn)位于第四象限，故選：D.3．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)排除B,C兩個(gè)選項(xiàng)，再由奇偶性排除A后可得正確選項(xiàng)．【詳解】由圖像知有三個(gè)零點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)證只有AD滿足，排除BC選項(xiàng)， A中函數(shù)滿足為偶函數(shù)，D中函數(shù)滿足為奇函數(shù)，而圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，選D．故選：D．4．如圖，正方形的邊長為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑，根據(jù)我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計(jì)的值，下面及的值都正確的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】分析幾何關(guān)系，根據(jù)，周長即可求解.【詳解】設(shè)剪去的的邊長，可得：，解得，則,因?yàn)檎叫渭羧ニ膫€(gè)角后得到一個(gè)正八邊形，所以正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為為，所以,則,所以外接圓的直徑為，根據(jù)題意知周長，故選:C.5．已知平面向量，則在上的投影向量為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出，，再根據(jù)在上的投影向量為計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以在上的投影向量為，故選：D.6．已知，且，則（    ）A． B． C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)二倍角正弦公式和正余弦齊次式的求法可構(gòu)造方程求得可能的取值，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】，或，，，則.故選：B.7．一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，利用全概率公式計(jì)算出的值，再利用貝葉斯公式可求得所求事件的概率.【詳解】記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，則，，，，由全概率公式可得，，因此，.故選：A.8．已知某圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐側(cè)面?底面均相切）的體積為，則該圓錐的表面積的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得內(nèi)切球半徑，再畫圖設(shè)底面半徑為，利用三角函數(shù)值代換表達(dá)出表面積的公式，再設(shè)，根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，解得，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為，底面圓周上一點(diǎn)為，底面圓心為，內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球切母線于，底面半徑，，則，又，故，又，故，故該圓錐的表面積為，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：A. 二、多選題9．已知函數(shù)，則（    ）A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期公式判斷A選項(xiàng)，求的對(duì)稱中心判斷B選項(xiàng)，特殊值法判斷C選項(xiàng)，求函數(shù)值域判斷D選項(xiàng).【詳解】的最小正周期為,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;的對(duì)稱中心，令,,對(duì)稱中心為，當(dāng)是對(duì)稱中心,B選項(xiàng)正確;,函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng),則,可得,D選項(xiàng)正確;.故選：BD.10．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為X取值不超過x的概率，即．若，則（    ）A． B．C．在上是減函數(shù) D．【答案】AD【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，利用概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化結(jié)合選項(xiàng)可以得出答案.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布，所以，A正確；，因?yàn)?/span>，所以，所以不可能，B不正確；因?yàn)?/span>，所以當(dāng)增大時(shí)，也增大，C不正確；，D正確.故選：AD.11．已知函數(shù)，則（    ）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】CD【分析】利用特殊值法可判斷AB選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/span>，故函數(shù)的最小值不是，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，故，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：CD.12．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的內(nèi)切圓記為圓，圓的半徑為，過作的垂線，交的延長線于，則（    ）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為B．的取值范圍為（0，3）C．若，則D．動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ABD【分析】由雙曲線的定義和切線長的性質(zhì)即可判定A的正誤；根據(jù)雙曲線漸近線的性質(zhì)，可知B的正誤，利用，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得C的正誤； 由過內(nèi)切圓的圓心和，得為的中點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線的定義得，從而可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓分別與邊，，切于，，三點(diǎn)，如圖所示.A選項(xiàng)：由題知，,， ，所以，，顯然，故A正確；B選項(xiàng)：根據(jù)對(duì)稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)在軸上方，根據(jù)A選項(xiàng)可設(shè)，雙曲線的一條漸近線為，考慮點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，直線的斜率趨近于，此時(shí)的方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，解得，所以的取值范圍為（0，3），故B正確；C選項(xiàng)：時(shí)，，，此時(shí)，所以，，因?yàn)?/span>，，所以，故C錯(cuò)誤；.D選項(xiàng)：分別延長，交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>過內(nèi)切圓圓心，所以為角平分線，且 ，所以，且為的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以 ，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，顯然，又考慮點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)直線趨近于漸近線，直線為，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解析幾何中三角形內(nèi)切圓的轉(zhuǎn)化方法：（1）圓外一點(diǎn)向圓引切線，切線長相等；（2）圓心與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線分割成的三個(gè)三角形的面積和等于大三角形的面積；（3）圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 三、填空題13．若數(shù)列滿足且，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述條件的數(shù)列通項(xiàng)______．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)題意，分析可得數(shù)列為各項(xiàng)為負(fù)的遞增的數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的函數(shù)特性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，則有，又由數(shù)列滿足，故數(shù)列為各項(xiàng)為負(fù)的遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式可以為：，故答案為：(答案不唯一)14．某地鐵換乘站設(shè)有編號(hào)為，，，的四個(gè)安全出口，若同時(shí)開放其中的兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客所需時(shí)間如下表：安全出口編號(hào)，，，，疏散乘客用時(shí)（秒）120140190160則疏散乘客最快的一個(gè)安全出口的編號(hào)為______．【答案】【分析】由題意可得同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口所用時(shí)間比較可得比快，若同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口的用時(shí)間比較可得比快，若同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口和同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口所用時(shí)間比較可得比快，從而可得結(jié)論.【詳解】同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快；同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快，同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏1000名乘客需要時(shí)間為，同時(shí)開放，兩個(gè)安全出口，疏散1000名乘客需要時(shí)間為，得比快，綜上所述：疏散乘客用時(shí)最短的一個(gè)安全出口的編號(hào)是.故答案為：15．如圖為三棱錐的平面展開圖，其中，，垂足為，則該三棱錐的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)幾何體平面展開圖得到其直觀圖，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得.【詳解】由三棱錐的平面展開圖可得其直觀圖如下：其中，，，，又，平面，所以平面，所以，故答案為：16．設(shè)隨機(jī)變量T滿足，，2，3，直線與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為η，若，則______．【答案】6【分析】首先根據(jù)期望求交點(diǎn)個(gè)數(shù)的和，根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，確定的取值，再結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系，確定與拋物線相切，即可求解.【詳解】設(shè)3條直線與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的和為，因?yàn)?/span>，則，則，因?yàn)橹本€與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，1，2，所以直線與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的取值為1，2，2，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，與拋物線相切，聯(lián)立，得，，解得：（令一個(gè)根0舍去），故答案為：6【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查概率與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，確定直線與拋物線相切，是本題的關(guān)鍵. 四、解答題17．已知是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)，數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，解出的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出等比數(shù)列的公比，可求得的通項(xiàng)公式；（2）分、求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分、求出，綜合可得出的表達(dá)式.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，即，因?yàn)?/span>，解得，.又因?yàn)?/span>，，所以，等比數(shù)列的公比為，因此，.（2）解：由，①可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，②①②得，所以，，不滿足，所以，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，綜上所述，對(duì)任意的，.18．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，已知，，．(1)求b；(2)求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理，邊角互化后，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）由條件可知，，再結(jié)合向量數(shù)量積公式，求，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>,由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?/span>，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，化簡(jiǎn)得，解得：或（舍去），因?yàn)?/span>，所以,所以.19．如圖，在三棱臺(tái)ABC—中，，平面平面(1)證明：平面；(2)若二面角的大小是，求線段的長.【答案】(1)證明見解析；(2)2. 【分析】（1）在等腰梯形中，作，利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得到，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，再利用二面角的大小是，即可求出.【詳解】（1）在等腰梯形中，作，則，在中，，，，在中，，解得，，即由平面平面，平面平面，平面，平面平面.（2）如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則 設(shè)平面的法向量為，則，即，則 平面的一個(gè)法向量為 則，解得 即.20．某工廠車間有臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，且一臺(tái)機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)臺(tái)機(jī)器．(1)對(duì)于方案一，設(shè)為甲維護(hù)的機(jī)器同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)在兩種方案下，分別計(jì)算機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高?【答案】(1)分布列答案見解析，(2)方案二，理由見解析 【分析】（1）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（2）計(jì)算出兩種方案下故障機(jī)器得到維修的概率，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意可知，，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.（2）解：對(duì)于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，考查反面處理這個(gè)問題.其概率為.對(duì)于方案二：機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，所以，，即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高.21．已知圓O的方程為，P為圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F坐標(biāo)為，連OP，FP．過點(diǎn)P作直線FP的垂線l，線段FP的中垂線交OP于點(diǎn)M，直線FM交l于點(diǎn)A．(1)求點(diǎn)A的軌跡方程；(2)記點(diǎn)A的軌跡為曲線C，過點(diǎn)作斜率不為0的直線n交曲線C于不同兩點(diǎn)S，R，直線與直線n交于點(diǎn)H，記．，問：是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)1；理由見解析 【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，即可求軌跡方程；（2）首先根據(jù)面積公式，理由線段比值表示，再設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用坐標(biāo)表示.【詳解】（1）記， 則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，，，所以點(diǎn)的軌跡是長軸長為4，焦距為2的橢圓，所以點(diǎn)的軌跡方程為；（2）設(shè)到直線的距離為，設(shè)，，,，，，設(shè)直線，令，，進(jìn)而，聯(lián)立，消去，得，所以，，，所以，所以是定值為1.22．已知函數(shù)，其中a為常數(shù)，…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，問有幾個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)三個(gè) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）令，可得出，令，則原方程轉(zhuǎn)化為（*），令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，則，故當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線方程為.（2）解：令，可得，即，即，即，令，則上述方程轉(zhuǎn)化為（*）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程（*）的根的個(gè)數(shù).則，令可得，列表如下：增極大減所以，為函數(shù)的唯一極大值點(diǎn)，且，令，當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)時(shí)，，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，為解方程，只需解方程，令，其中，即，令，其中，則，令，可得，列表如下：減極小增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，存在唯一的，使得，即，所以，，故方程（*）在上有唯一解；②當(dāng)時(shí)，不成立，故不是方程（*）的解；③當(dāng)時(shí).（i）當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，，，而在上單調(diào)遞增，為解方程，只需解方程，令，其中，因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，故存在唯一的，使得，即，即，故方程在區(qū)間上也存在唯一解.綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程存在三個(gè)解，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題. 

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這是一份廣東省大灣區(qū)2024屆高三上學(xué)期聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)，文件包含2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試一數(shù)學(xué)試題docx、廣東省大灣區(qū)2024屆高三上學(xué)期聯(lián)合模擬考試一數(shù)學(xué)docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共14頁， 歡迎下載使用。

2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題(含解析）：

這是一份2024屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題(含解析），共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023屆廣東省大灣區(qū)聯(lián)合模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題：

這是一份2023屆廣東省大灣區(qū)聯(lián)合模擬考試（二）數(shù)學(xué)試題，文件包含2023屆大灣區(qū)第二次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)答案pdf、2023大灣區(qū)普通高中畢業(yè)班聯(lián)合模擬考試二數(shù)學(xué)pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。

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