?北京市大興區(qū)2023屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量監(jiān)控數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知集合，集合，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】確定集合中元素，再由補(bǔ)集定義得結(jié)論．
【詳解】由已知，所以．
故選：D．
2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（????）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計算復(fù)數(shù)的模．
【詳解】由題意有，故．
故選：B．

3．若為任意角，則滿足的一個值為（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由，可知，從而可得到的關(guān)系式，結(jié)合四個選項(xiàng)可選出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以可以?.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．在人類中，雙眼皮由顯性基因控制，單眼皮由隱性基因控制．當(dāng)一個人的基因型為或時，這個人就是雙眼皮，當(dāng)一個人的基因型為時，這個人就是單眼皮．隨機(jī)從父母的基因中各選出一個或者基因遺傳給孩子組合成新的基因．根據(jù)以上信息，則“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分不必要條件的概念判斷即可.
【詳解】若父母均為單眼皮， 則父母的基因一定為和， 孩子就一定是單眼皮．
若孩子為單眼皮， 則父母的基因可能是和，即父母均為雙眼皮，
故“父母均為單眼皮”是“孩子為單眼皮”的充分不必要條件．
故選：A
5．已知三個函數(shù)y=x3，y=3x，，則
A．定義域都為R B．值域都為R
C．在其定義域上都是增函數(shù) D．都是奇函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)各選項(xiàng)性質(zhì)對每個函數(shù)進(jìn)行判斷，
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），即A錯誤；
函數(shù)y=3x的值域是（0，+∞），即B錯誤；
函數(shù)y=3x和是非奇非偶函數(shù)，即D錯誤，
三個函數(shù)在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，只有C正確．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，掌握三個基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．
6．雙曲線C：x21的漸近線與直線x=1交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，那么雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先求出雙曲線的漸近線的方程，將直線x=1與漸近線方程聯(lián)立求出|AB|=|2b|，從而求出，再利用離心率即可求解.
【詳解】由雙曲線的方程可得a=1，且漸近線的方程為：y=±bx，
與x=1聯(lián)立可得y=±b，所以|AB|=|2b|，
由題意可得4=2|b|，解得|b|=2，c2=a2+b2，
所以雙曲線的離心率e，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
7．設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和.已知，，若存在使得的乘積最大，則的一個可能值是（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由已知利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求，又，可得，解得或，分類討論可求的值，即可求解數(shù)列的各項(xiàng)，即可求解．
【詳解】等比數(shù)列中，公比；由，所以，又，所以解得或；
若時，可得，可得的值為，可知數(shù)列單調(diào)遞增，且各項(xiàng)均大于，所以不會存在使得的乘積最大(舍去)；
若時，可得，可得的值為，…，
可知數(shù)列單調(diào)遞減，從第項(xiàng)起各項(xiàng)小于且為正數(shù)，前項(xiàng)均為正數(shù)且大于等于，
所以存在，使得的乘積最大，綜上，可得的一個可能值是.
故選：A.
8．一次數(shù)學(xué)考試共有8道判斷題，每道題5分，滿分40分．規(guī)定正確的畫√，錯誤的畫╳．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的解答及得分情況如表所示，則m的值為（　　）
題號學(xué)生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m

A．35 B．30 C．25 D．20
【答案】B
【解析】通過分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情況，推理得出這8道判斷的答案，從而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橐?、丙?，5題答案相同，且總得分相同，所以第2，5兩題答案正確，
又因?yàn)榧椎梅?0分即甲錯兩題且第2題、第5題答案均與乙丙不同，
故其余6題答案均正確，
故而這8道判斷的答案分別是：╳╳╳√√╳√╳，
對比丁的答案，可知其2、8兩題錯誤，故得分m＝6×5＝30，
故選：B.
9．點(diǎn)P在函數(shù)y＝ex的圖象上．若滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。?br /> A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】要滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，則需要直線與函數(shù)y＝ex的圖象相交，而且點(diǎn)P在函數(shù)y＝ex的圖象上滿足在直線一側(cè)一個點(diǎn)到直線距離為，另外一側(cè)兩個點(diǎn)到直線距離為．于是就涉及到切線問題，需要求導(dǎo)數(shù)，求切點(diǎn)．從而解決問題．
【詳解】過函數(shù)y＝ex的圖象上點(diǎn)P（x0，y0）作切線，使得此切線與直線y＝x+a平行
y′＝ex，于是，則x0＝0，y0＝1
∴P（0，1），
于是當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝x+a的距離為時，則滿足到直線y＝x+a的距離為的點(diǎn)P有且僅有3個，
∴，解得a＝﹣1或a＝3
又當(dāng)a＝﹣1時，函數(shù)y＝ex的圖象與直線y＝x﹣1相切，從而只有兩個點(diǎn)到直線距離為，所以不滿足；
故a＝3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線切點(diǎn)，以及曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，難度較大.
10．如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動．若，則面積的最大值為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的中點(diǎn)，由題意結(jié)合正方體的幾何特征及平面幾何的知識可得，，由線面垂直的判定與性質(zhì)可得，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡為線段，找到的最大值即可得解.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、、，連接、、、、，如圖：

因?yàn)檎襟w的棱長為2，
所以,，，平面，平面，平面，
所以，，，
所以，，
所以，，
由可得平面，
所以，所以點(diǎn)的軌跡為線段，
又,
所以面積的最大值.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體幾何特征的應(yīng)用，考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是找到點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.

二、填空題
11．在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________．（用數(shù)字作答）
【答案】15
【分析】由二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)有，可知常數(shù)項(xiàng)的值；
【詳解】二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為，
∴當(dāng)時，常數(shù)項(xiàng)，
故答案為：15
【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)，屬于簡單題；
12．能說明“若，則方程表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組的值是_____.
【答案】（答案不唯一）.
【解析】由題意可得滿足或者即可，取滿足上述條件的的值即可（答案不唯一）.
【詳解】若方程1表示的曲線為橢圓或雙曲線是錯誤的，則，或者，則可?。ù鸢覆晃ㄒ唬?
故答案為：（答案不唯一）.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.
13．在中，，，，則的面積為________．
【答案】6
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，，再根據(jù)兩角和的正弦公式求得,利用三角形面積公式即可求得答案,
【詳解】在中，，，，且,
故，，
由正弦定理可得，
又，
而，
故的面積為，
故答案為：6
14．曲線C：，點(diǎn)P在曲線C上．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于y軸對稱；
②曲線C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[﹣2，2]；
③若A（﹣1，0），B（1，0），則存在點(diǎn)P，使△PAB的面積大于．
其中，所有正確結(jié)論的序號是_____．
【答案】①②
【解析】①根據(jù)對稱性的特點(diǎn)，用﹣x代替x，代入曲線C中，若等式依然成立，則關(guān)于y軸對稱；
②列出不等式，3，解之即可得橫坐標(biāo)的取值范圍；
③采用分析法，|yP|，要使△PAB的面積大于，則，即，再列出不等式，而3，解出y的取值范圍，即可進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①用﹣x代替x，有3成立，即①正確；
②∵y2≥0，
∴3，
故（x2﹣1）2≤9，即﹣3≤x2﹣1≤3，即﹣2≤x2≤4，解得﹣2≤x≤2，即②正確；
③，若存在點(diǎn)P，使△PAB的面積大于，則，即．
∵3，
∴y2≤2，故不存在點(diǎn)P符合題意，即③錯誤．
故答案為：①②．
【點(diǎn)睛】此題考查曲線與方程的關(guān)系，考查點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題

三、解答題
15．已知函數(shù)同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③最大值為2；④最小正周期為.
(1)給出函數(shù)的解析式，并說明理由；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)，理由見解析
(2)

【分析】（1）由可以排除條件②，再利用條件①③④根據(jù)特殊值、最值與周期公式即可求解；
（2）運(yùn)用整體思想直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解.
【詳解】（1）依題意，
若函數(shù)滿足條件②，則，
這與矛盾，所以不能滿足條件②，
所以應(yīng)滿足條件①③④
由條件④得，且，所以，
由條件③得，
再由條件①得，
且， 所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
16．如圖，四邊形為正方形，，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）
【分析】（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面.
（2）推導(dǎo)出，..建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】證明：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以?br /> 因?yàn)?，?br /> 所以平面.
（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫妫矫?，平面?br /> 所以，.
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所?
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，則，.于是.
平面的法向量為.
設(shè)直線與平面所成的角為，所以.
所以直線與平面所成角的正弦值為.

【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面垂直和線面角，考查學(xué)生的邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題.
17．為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會知識，弘揚(yáng)奧林匹克精神，北京市多所中小學(xué)校開展了模擬冬奧會各項(xiàng)比賽的活動.為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)中的參與情況，在北京市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如下：

（Ⅰ）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查.求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記X為教練選中參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）某校聘請了一名越野滑輪教練，對高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個動作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo).規(guī)定：這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”.在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1.在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績?yōu)椤皟?yōu)”.能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？請說明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析，（Ⅲ）見解析
【分析】（Ⅰ）記“選出的兩所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人”為事件S，從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為.參與越野滑輪人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇2所學(xué)校共種，利用古典概率計算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所.利用超幾何分布列計算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.
【詳解】（Ⅰ）記“選出的兩所學(xué)校參與越野滑輪人數(shù)都超過40人”為事件S，現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，可得基本事件總數(shù)為.
參與越野滑輪人數(shù)超過40人的學(xué)校共4所，隨機(jī)選擇2所學(xué)校共種，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，參加旱地冰壺人數(shù)在30人以上的學(xué)校共4所.
，，.
X的分布列為：
X
0
1
2
P




.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核為“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.理由如下：
指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：.
指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率非常小，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.
答案示例2：無法確定.理由如下：
指導(dǎo)前，甲同學(xué)總考核為“優(yōu)”的概率為：.
雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，所以，無法確定總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化.
【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，以及根據(jù)概率統(tǒng)計做分析和決策等相關(guān)問題，屬于中檔題.
18．已知橢圓的焦距和長半軸長都為2.過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線，分別與直線相交于點(diǎn)，.求證：以為直徑的圓恒過點(diǎn).
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）易知橢圓中，結(jié)合，可求出橢圓的方程；
（2）結(jié)合由（1），可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，可表示出直線的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理可證明，即，即以為直徑的圓恒過點(diǎn).
【詳解】（1）由題意，橢圓中，所以，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
顯然恒成立，
設(shè)，，則，
易知直線的斜率存在，，則直線的方程為，
所以，即，同理可得，
則，
所以，
所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查圓過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于難題.
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時，試寫出方程根的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)
【答案】（1）；（2）；（3）2
【解析】（1）當(dāng)時，，，求出，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2），由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在恒成立，進(jìn)而可知在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出在上的最小值，令即可；
（3）構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得到的零點(diǎn)個數(shù)，即為方程根的個數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
所以，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）由題意，，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，則，
所以時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以在上最小值為，
所以.
（3）當(dāng)時，方程根的個數(shù)為2.
證明如下：
當(dāng)時，，構(gòu)造函數(shù)，
則，顯然在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，所以存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以，所以在上存在唯一零點(diǎn)
又因?yàn)?，所以在上存在唯一零點(diǎn)，
故函數(shù)有2個零點(diǎn)，即方程根的個數(shù)為2.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.
20．設(shè)集合，其中是正整數(shù)，記．對于，，若存在整數(shù)k，滿足，則稱整除，設(shè)是滿足整除的數(shù)對的個數(shù)．
（I）若，，寫出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）設(shè)A中最小的元素為a，求使得取到最大值時的所有集合A．
【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【解析】（1）根據(jù)定義得到，，即可得到，的值；
（2）結(jié)合條件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六種情況，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假設(shè)，，根據(jù)定義可得或，進(jìn)而得到A.
【詳解】（1）根據(jù)條件所給定義，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，不能整除，因?yàn)樽疃嘤?1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六種情況，而(2, 4) , (3，4)不滿足題意，所以，當(dāng)時，，所以的最大值為4 ；
（3）假設(shè)，由（2）可知，當(dāng)取到最大值4時，均能整除，因，
故，所以，
設(shè)，則是的因數(shù)，
所以是的因數(shù)，且是的因數(shù)，因?yàn)椋?br /> 所以，因?yàn)槭堑囊驍?shù)，所以，
因?yàn)槭堑囊驍?shù)，所以是的因數(shù)，
因?yàn)?，所以，所以或?br /> 故，或，
所以當(dāng)取到最大值4時，故，或.
【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理與演繹推理，考查集合的性質(zhì)

四、雙空題
21．如圖，矩形中，，，為的中點(diǎn). 當(dāng)點(diǎn)在邊上時，的值為________；當(dāng)點(diǎn)沿著，與邊運(yùn)動時，的最小值為_________.

【答案】???? ????
【分析】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出向量的點(diǎn)積，分情況討論即可.
【詳解】以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,0），O（1,0），B（2,0），設(shè)P（2，b），
（1）＝；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，＝2；
當(dāng)點(diǎn)P在AD上時，設(shè)P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；
當(dāng)點(diǎn)P在CD上時，設(shè)點(diǎn)P（，1）（0＜＜2）
＝（2,0）（－1，1）＝2－2，
因?yàn)?＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即
綜上可知，的最小值為－2.
故答案為-2.
【點(diǎn)睛】(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.

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