? 惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試試題
數(shù)學(xué)
全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上。
2．作答單項(xiàng)及多項(xiàng)選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題指定的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。
在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分。
1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
2．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，、是方程的兩個(gè)根，則的前2022項(xiàng)和為（ ）
A．1011 B．2022 C．4044 D．8088
3．“”是“方程表示雙曲線”的（ ）條件
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．已知實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知互不重合的三個(gè)平面α、β、γ，其中，，，且，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．b與c是異面直線 B．a(chǎn)與c沒(méi)有公共點(diǎn)
C． D．
6．若函數(shù)（且）在上為減函數(shù)，則函數(shù)的圖象可以是（ ）
A． B． C． D．
7．在“2，3，5，7，11，13”這6個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，這兩數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且恒成立，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知復(fù)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．z的虛部為1 B．
C．為純虛數(shù) D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
10．在全市高三年級(jí)舉行的一次數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)測(cè)試中，共有20000人參加考試。為了了解本次考試學(xué)生成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16．

則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．樣本容量 B．頻率分布直方圖中
C．估計(jì)該市全體學(xué)生成績(jī)的平均分約為70.6分
D．該市要對(duì)成績(jī)由高到低前20%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生肯定能得到此稱號(hào)
11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)
C．任意， D．函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)
12．畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人—法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：若橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線l與蒙日?qǐng)A相切
B．橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程為
C．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則的最小值為
D．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH的面積的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分。
13．已知平面向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)__________．
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________．
15．在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_________．
16．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率為．則曲線在處的曲率為_(kāi)_________；正弦曲線曲率的平方的最大值為_(kāi)_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）數(shù)列中，，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．（本小題滿分12分）
條件①， 條件②，
條件③．
請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答．
已知的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足________，
（1）求A；
（2）若AD是的角平分線，且，求的最小值．
（注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）
19．（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）證明：平面平面PBC；
（2）若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點(diǎn)P到平面AEF的距離．
20．（本小題滿分12分）
某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：
樣本號(hào)i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
總和
根部橫截面積
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材積量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
并計(jì)算得，，．
（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；
（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．
附：相關(guān)系數(shù)，．
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在橢圓上且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P、Q分別在橢圓C和直線上，，M為AP的中點(diǎn)，若T為直線OM與直線QF的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得T始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．












惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分細(xì)則
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分。
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
A
D
C
A
D
1．【解析】由集合元素的互異性及子集的概念知，解得實(shí)數(shù)．故選A．
2．【解析】所以的前2022項(xiàng)和，，故選C．
3．【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，即，所以“”是“方程表示雙曲線"的充分不必要條件，故選B．
4．【解析】A項(xiàng)中，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)中，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減且，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤：C項(xiàng)中，因?yàn)?，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)中，若，，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．
5．【解】∵，∴，，
∵，，∴，，，
∵，∴，∴，∴，
如右圖所示：故A，B，C錯(cuò)誤；故選D．

6．【解析】由函數(shù)在上為減函數(shù)，可知，函數(shù)的定義域?yàn)榛?，故排除A，B，又，可知在單調(diào)遞減，故排除D．故選C．
7．【解析】由題意得，6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，共有種可能，2個(gè)素?cái)?shù)之和仍為素?cái)?shù)，則可能為（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3種可能，所求概率．故選A．
8．【解法一】數(shù)形結(jié)合，當(dāng)時(shí)，曲線介于直線PA和PB之間，
即，又因?yàn)楹愠闪ⅲ?br /> 所以且，即且
∴．故選D．

【解法二】由，得：；
令，∴，
令，則，
∴在上單調(diào)遞減，∴，則，
∴在上單調(diào)遞減，∴，∴；
令，則，∵，∴；
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)增∴，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)減，∴，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，使得，又在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，則，不合題意；
綜上所述．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。
題號(hào)
9
10
11
12
答案
AC
BC
ABC
AC
9．【解析】，∴z的虛部為1，，為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選AC．
10．【解析】對(duì)于A：樣本容量，故A不正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，解得，故B正確：
對(duì)于C：學(xué)生成績(jī)平均分為，C正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，即按照成?jī)由高到低前20%的學(xué)生中不含78分的學(xué)生，所以成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生不能得到此稱號(hào)，故D不正確，故選BC．
11．【解析】對(duì)于A：
因?yàn)?，所以，，因此?br /> 故，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B：令，則，令，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故為奇函數(shù)，B正確對(duì)于C：時(shí)，；時(shí)，；
時(shí)，；C正確；
對(duì)于D：時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤；故選：ABC
12．【解析】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí)，兩切線的方程分別為、，
所以，點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，故蒙日?qǐng)A的方程為，
因?yàn)?，可得?br /> 對(duì)于A選項(xiàng)，蒙日?qǐng)A圓心到直線l的距離為，故l與蒙日?qǐng)A相切，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，C的蒙日?qǐng)A的方程為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，由橢圓的定義可得，
則，所以，
因?yàn)椋本€l的方程為，點(diǎn)到直線l的距離為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若矩形MNGH的四條邊均與C相切，
則矩形MNGH的四個(gè)頂點(diǎn)都在蒙日?qǐng)A上，所以，
所以矩形MNGH的面積為，D錯(cuò)．故選：AC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一個(gè)空2分，第二空3分。
13．2； 14．1； 15．； 16．（2分），1（3分）
13．【解析】因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得．
14．【解法一】由三角函數(shù)的定義可知，，
所以
【解法二】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
所以．
15．【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心半徑，由題意知最長(zhǎng)弦為過(guò)E點(diǎn)的直徑，最短弦為過(guò)E點(diǎn)和這條直徑垂直的弦，即，且，圓心和E點(diǎn)之間的距離為1，故，所以四邊形ABCD的面積為．故答案為：

16．【解析】（1）由，，
則，
（2）由，，則，
，令，則，
故，設(shè)，則，
在時(shí)，遞減，所以，最大值為1．
故答案為：，1
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分，其中第一小問(wèn)4分，第二小問(wèn)6分）
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，且 1分
得 2分
又 3分
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 4分【注：無(wú)首項(xiàng)和公比的說(shuō)明，本得分點(diǎn)不得分】
（2）由（1）可知， 1分
所以 2分
又由題知
所以
3分
5分【注：等差等比求和公式各1分】

∴ 6分
18．（本小題滿分12分，其中第一小問(wèn)6分，第二小問(wèn)6分）
【解析】（1）選②
因?yàn)?，由正弦定?br /> 所以 1分
即， 2分
由余弦定理 3分
4分
因?yàn)椋? 5分【注：無(wú)此步驟，本得分點(diǎn)不得分】
所以 6分
選③
因?yàn)椋?br /> 正弦定理且
所以， 1分
即 3分
而，∴，cos≠0，．分【注：無(wú)此步驟，本得分點(diǎn)不得分】
所以 5分
因?yàn)?，所以，? 6分
選①
因?yàn)?，由正弦定?br /> 所以， 1分
即， 2分
所以， 3分
而，∴， 4分
故， 5分
因?yàn)?，所? 6分
【備注：從3個(gè)條件的思維量及計(jì)算步驟數(shù)綜合分析，從易到難排序?yàn)棰?

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