乘法公式（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；　　2. 學(xué)會運用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運算；3. 能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算.【要點梳理】 要點一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.    要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式. 抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如要點二、完全平方公式    完全平方公式：兩數(shù)和 (差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：       要點三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.要點四、補(bǔ)充公式；；     ；.【典型例題】類型一、平方差公式的應(yīng)用 1、下列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計算的，寫出計算結(jié)果．    (1)；       (2) ；    (3) ；    (4) ；    (5) ；     (6) ．【思路點撥】兩個多項式因式中，如果一項相同，另一項互為相反數(shù)就可以用平方差公式.【答案與詳解】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計算，(1)、(6)不能用平方差公式計算．    (2) ＝－＝．    (3) ＝ － ＝．    (4) ＝－ ＝．     (5) ＝－＝．【總結(jié)升華】利用平方差公式進(jìn)行乘法運算，一定要注意找準(zhǔn)相同項和相反項（系數(shù)為相反數(shù)的同類項）．舉一反三：【變式】計算：（1）；   （2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．2、計算：    (1)59.9×60.1；    (2)102×98．【答案與詳解】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99    (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【總結(jié)升華】用構(gòu)造平方差公式計算的方法是快速計算有些有理數(shù)乘法的好方法，構(gòu)造時可利用兩數(shù)的平均數(shù)，通過兩式(兩數(shù))的平均值，可以把原式寫成兩數(shù)和差之積的形式．這樣可順利地利用平方差公式來計算．舉一反三：【變式】（2020春?萊蕪校級期中）怎樣簡便就怎樣計算：（1）1232﹣124×122                           （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122   =1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1      =1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）=（4a2﹣b2）（4a2+b2）=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4．類型二、完全平方公式的應(yīng)用3、計算：    (1)；  (2)；  (3)；  (4)．【思路點撥】此題都可以用完全平方公式計算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案與詳解】 解：(1) ．     (2) ．     (3) ．     (4) ．【總結(jié)升華】(1)在運用完全平方公式時要注意運用以下規(guī)律：當(dāng)所給的二項式符號相同時，結(jié)果中三項的符號都為正，當(dāng)所給的二項式符號相反時，結(jié)果中兩平方項為正，乘積項的符號為負(fù)．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．4、（2020春?吉安校級期中）圖a是由4個長為m，寬為n的長方形拼成的，圖b是由這四個長方形拼成的正方形，中間的空隙，恰好是一個小正方形．（1）用m、n表示圖b中小正方形的邊長為　     　．（2）用兩種不同方法表示出圖b中陰影部分的面積；（3）觀察圖b，利用（2）中的結(jié)論，寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系，代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案與詳解】解：（1）圖b中小正方形的邊長為m﹣n．故答案為m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因為圖中陰影部分的面積不變，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【總結(jié)升華】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，列代數(shù)式，可以根據(jù)題中的已知數(shù)量利用代數(shù)式表示其他相關(guān)的量．5、已知，＝12．求下列各式的值：(1) ；(2) ．【答案與詳解】 解：(1)∵ ＝－＝－3＝－3×12＝13．    (2)∵  ＝－4＝－4×12＝1.【總結(jié)升華】由乘方公式常見的變形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本題關(guān)鍵是不求出的值，主要利用完全平方公式的整體變換求代數(shù)式的值．舉一反三：【變式】已知，，求和的值．【答案】解：由，得；   ①由，得．   ②①＋②得，∴  ．①－②得，∴  ．

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級下冊電子課本 舊教材

6 完全平方公式

版本： 北師大版

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