冀教版九年級下冊30.1 二次函數(shù)當堂達標檢測題-試卷下載-教習網(wǎng)

第三十章二次函數(shù)（A卷-中檔卷）注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，選擇10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．答題時間：60分鐘一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2022·河北·青縣第二中學九年級階段練習）在半徑為的圓中，挖去一個半徑為的圓面，剩下的圓環(huán)的面積為，則y與x的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用半徑為的圓的面積減去半徑為的圓的面積即可求解．【詳解】解：依題意，，故選D．【點睛】本題考查了列函數(shù)關系式，掌握圓的面積公式是解題的關鍵．2．（2022·河北· 滄州渤海新區(qū)京師學校九年級階段練習）若函數(shù)是關于的二次函數(shù)，則的值是（）A． B．0 C．或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行計算即可；【詳解】解：由題意得：，解得：或，又∵，，∴．故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義．解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義，注意二次項系數(shù)不能為0．3．（2022·河北·威縣第三中學九年級階段練習）小明在體育訓練中擲出的實心球的運動路線呈如圖所示的拋物線形，若實心球運動的拋物線的解析式為，其中是實心球飛行的高度，是實心球飛行的水平距離，則小明此次擲球的成績（即的長度）是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令y=0，則求解即可得點A坐標，從而得出答案．【詳解】解：令y=0，則，解得：x=2(舍去）或x=8，∴A(8，0)，∴OA=8m，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意，求出拋物線與x軸的交點坐標．4．（2022·河北·威縣第三中學九年級階段練習）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則坐標原點可能是（）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)的頂點坐標，由此得到答案．【詳解】由可得，函數(shù)圖象的頂點坐標為，∴函數(shù)圖象的頂點在第四象限，∴原點在函數(shù)圖象的頂點的左上方，由圖可知，坐標原點只有可能是點M，故選：A．【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質及二次函數(shù)的圖象，熟練確定二次函數(shù)圖象的頂點坐標是解題的關鍵．5．（2022·河北·威縣第三中學九年級階段練習）如圖，拋物線的頂點為，且過點，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質，從開口方向．與坐標軸的交點．頂點．對稱軸．圖像上的已知點等方面進行分析判斷即可得出答案．【詳解】解：A．拋物線開口向下，，拋物線與y軸交點在x軸上方，，，故A選項錯誤，不符合題意；B．圖像與x軸有兩個不同的交點，，故B選項錯誤，不符合題意；C．將點代入拋物線的解析式得，，故C選項正確，符合題意；D．對稱軸是直線，，，故D選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查二次函數(shù)的圖像與性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像特征與性質是解決此題的關鍵．6．（2022·河北邯鄲·九年級期末）拋物線上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：x…012…y…04664… 從上表可知，下列說法正確的個數(shù)是（）①拋物線與x軸的一個交點為 ②拋物線與y軸的交點為③拋物線的對稱軸是：直線 ④在對稱軸左側y隨x的增大而增大A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)表格中信息，可得點，在拋物線上，從而得到①②正確；又有當時，，當時，，可得拋物線的對稱軸為，故③錯誤；根據(jù) ，得到拋物線開口向下，可判斷④正確；即可求解．【詳解】解：根據(jù)表格中信息，得：當時，，當時，，∴點，在拋物線上，故①②正確；根據(jù)表格中信息，得：當時，，當時，，∴拋物線的對稱軸為，故③錯誤；∵ ，∴拋物線開口向下，∴在對稱軸左側y隨x的增大而增大，故④正確；所以正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】此題主要考查了拋物線與坐標軸的交點坐標與自變量和的函數(shù)值的對應關系，也考查了利用自變量和對應的函數(shù)值確定拋物線的對稱軸和增減性，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．7．（2022·北京育才學校九年級期中）小高發(fā)現(xiàn)，用微波爐加工爆米花時，時間太短，一些顆粒沒有充分爆開；時間太長，就糊了.如果將爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足的函數(shù)關系（、、是常數(shù)），小高記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)（如下圖）.根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為（）A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質進行解題即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，故二次函數(shù)解析式為：，∴當時，食用率最高；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值問題．解題的關鍵是根據(jù)所給信息準確的求出函數(shù)解析式．8．（2022·河北·廊坊市第四中學二模）如圖，反比例函數(shù)y1＝與二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c圖象相交于A、B、C三個點，則函數(shù)y＝ax2+bx﹣+c的圖象與x軸交點的個數(shù)是（　?。?/span>A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】當時，得到方程，方程的解即反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點的橫坐標，于是得到函數(shù)的圖象與x軸交點即是的解，即可得到結論．【詳解】當時，得，即，方程的解即反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點的橫坐標，反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象相交于A、B、C三個點，函數(shù)的圖象與x軸交點即是的解，函數(shù)的圖象與x軸交點的個數(shù)是3個，故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，函數(shù)圖形與方程的關系，正確的理解題意是解題的關鍵．9．（2022·河北·東光縣第二中學九年級階段練習）如圖，在菱形ABCD中，其邊長為4cm，，垂直于AD的直線EF（直線EF與菱形ABCD的兩邊分別交于點E，F，且點E在點F的上方）從點A出發(fā)，沿AD方向以每秒1cm的速度向右平移.若的面積為，直線EF的運動時間為，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關系的圖象是（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，分別求出EF的長度代入即可判斷函數(shù)圖象．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，邊長為4，∠A=60°，∴當E、B重合時，AF=2，當，,，∴，即，∴y與x的函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，圖象為拋物線的一部分；當，EF為常數(shù)=，∴，即，∴y與x是正比例函數(shù)，圖象為直線的一部分，故選：D．【點睛】本題考查對動點問題的函數(shù)圖象，三角形面積，二次函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象，含30°角的直角三角形的性質、菱形的性質等知識點，能根據(jù)這些性質進行計算并運用分類討論是解題的關鍵．10．（2022·河北·威縣第三中學九年級階段練習）題目：“，為拋物線上兩點（點在點的左側），且到對稱軸的距離分別為3和5，為拋物線上點，之間（含點，）的一個動點，求點的縱坐標的取值范圍.”小明答：.而小亮說：“小明考慮的不周全，還應有另一個取值范圍.”下列判斷正確的是（）A．小亮說的不對，的取值范圍就是B．小亮說的對，另一個滿足條件的取值范圍是C．小明求的結果不對，的取值范圍應是D．以上都不正確【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式得出其對稱軸以及開口方向，可知當時，取得最小值，當是，取得最大值．【詳解】解：拋物線，，對稱軸為，，時，取得最小值，時，取得最大值，當時，，當時，，的取值范圍是，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟知：，函數(shù)圖像開口向上；，函數(shù)圖像開口向下；對稱軸為；是解本題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2022·河北保定·九年級期末）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程的解為 _____．【答案】【分析】根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點（4，0），對稱軸為，根據(jù)拋物性的對稱性即可求出拋物線與x軸的另一個交點坐標，拋物線與x軸交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的根．【詳解】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點（4，0），對稱軸為，由拋物線的對稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標為：拋物線與x軸交點坐標的橫坐標即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的關系．利用數(shù)形結合和函數(shù)的思想可以快速的解題．12．（2022·河北·香河縣第四中學九年級階段練習）已知二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，當時，y的值是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對稱軸x=-4，進而可得a的值，從而可得函數(shù)解析式，再把x=0代入函數(shù)解析式可得y的值．【詳解】解：∵當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-4，∴a=4，把a=4代入二次函數(shù)可得，當x=0時，，故答案為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，關鍵是掌握二次函數(shù)定點式的對稱軸為x=h．13．（2022·河北唐山·九年級期末）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，拱橋對應拋物線的解析式為______．【答案】（或）【分析】根據(jù)題意以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，即可求出解析式．【詳解】解：以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，由題意得A（-4，0），頂點（-2，2），設拋物線的解析式為：把A（-4，0）代入，得4a＝﹣2，解得a，所以拋物線解析式為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應用，解決本題的關鍵是根據(jù)題意建立平面直角坐標系．14．（2022·河北·石家莊市第二十八中學九年級期末）如圖，為一塊鐵板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用這塊余料裁出一個矩形PQMN，使矩形的頂點P、N分別在邊AB，AC上．頂點Q，M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為_____．【答案】25【分析】設DE=x，根據(jù)矩形的性質得到，PQ=MN=DE，證明△APN∽△ABC，得到，求出PN=10-x得到矩形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解．【詳解】解：設DE=x，∵四邊形PQMN是矩形，AD⊥BC，∴，PQ=MN=DE，∴△APN∽△ABC，∴，∴，∴PN=10-x，∴矩形PQMN面積=，∴當x=5時，矩形PQMN面積有最大值，最大值為25cm2，故答案為：25．．【點睛】此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定及性質，二次函數(shù)的最值，正確掌握相似三角形的判定及性質定理是解題的關鍵．15．（2022·河北·景縣第二中學九年級階段練習）如圖，將拋物線平移得到拋物線m．拋物線m經(jīng)過點和原點O，它的頂點為P，它的對稱軸與拋物線交于點Q，則圖中陰影部分的面積為______________．【答案】【分析】連接，先利用交點式寫出平移后的拋物線m的解析式，再用配方出頂點式，得出，所以點P，Q關于x軸對稱，于是得到圖中陰影部分的面積，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【詳解】連接，如圖∵平移后的拋物線m的函數(shù)解析式為，∴，拋物線m的對稱軸為直線，當時，，則點，由于拋物線向右平移3個單位，在向上平移個單位得到拋物線所以．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．16．（2022·河北·高碑店市第八中學九年級期末）已知拋物線與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，則m的取值范圍是_______________．【答案】【分析】設拋物線與x軸的交點為（x1，0）和（x2，0），根據(jù)一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關系解答即可．【詳解】解：由于拋物線與x軸的兩個交點在點（1，0）兩旁，故設拋物線與x軸的交點為（x1，0）和（x2，0），則x1、x2是一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴x1+x2=－m， x1·x2=m－2，由題意，得：即，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)關系、一元二次方程根的判別式、解一元一次不等式，熟練掌握拋物線與x軸的交點問題與一元二次方程根的關系是解得的關鍵．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022·河北邢臺·九年級期末）嘉嘉同學用配方法推導二次函數(shù)（）的頂點坐標，她是這樣做的：由于．解析式變形為，第一步，第二步，第三步．第四步(1)嘉嘉的解法從第______步開始出現(xiàn)錯誤；事實上，拋物線（）的頂點坐標是______．(2)用配方法求拋物線的頂點坐標和對稱軸【答案】(1)四，(2)頂點坐標為，對稱軸為直線x＝1 【分析】（1）根據(jù)計算可得出第四步中括號外符號錯誤，改正后即可直接得出頂點坐標；（2）用配方法求解即可．(1)嘉嘉的解法從第四步開始出現(xiàn)錯誤，應為，故頂點坐標為．故答案為：四，；(2)∴頂點坐標為，對稱軸為直線x＝1．【點睛】本題考查將二次函數(shù)一般式改為頂點式與二次函數(shù)的性質．熟練掌握配方法是解題關鍵．18．（2022·河北· 滄州渤海新區(qū)京師學校九年級階段練習）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c的部分圖象，A（1，0），B（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若拋物線與x軸的另一個交點是C點，求△ABC的面積．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）6.【分析】（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c即可求出b,c的值，即可得出拋物線的解析式；（2）令y=0，求出C點，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∴C點坐標為（﹣3，0），∴△ABC的面積＝（1+3）×3＝6．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的求解與性質.19．（2022·河北·東光縣第二中學九年級階段練習）已知二次函數(shù)．(1)該二次函數(shù)配方成的形式是___________；(2)在圖中畫出該二次函數(shù)的圖象；當時，的取值范圍是___________．(3)若直線與該二次函數(shù)的圖象沒有交點，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)畫圖見解析，(3) 【分析】（1）用配方法化成頂點式．（2）解方程得到拋物線與x軸的交點坐標，然后描點畫出二次函數(shù)的圖象．（3）結合函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質寫出y的取值范圍．（1）二次函數(shù)配方成的形式是：（2）當時，解得∴拋物線與x軸交點坐標為：頂點坐標為：如圖：∴當時，x的取值范圍為：（3）要使直線與二次函數(shù)圖象沒有交點，則直線在頂點的上方，的取值范圍是：【點睛】本題主要考查了拋物線一般式轉化成頂點式，拋物線與x軸的交點問題，也考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是把拋物線與x軸的交點問題轉化為解關于x的一元二次方程．20．（2022·河北·九年級專題練習）如圖，點在拋物線C：上，且在C的對稱軸右側．(1)寫出C的對稱軸和y的最大值，并求a的值；(2)坐標平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點P及C的一段，分別記為，．平移該膠片，使所在拋物線對應的函數(shù)恰為．求點移動的最短路程．【答案】(1)對稱軸為直線，的最大值為4，(2)5 【分析】（1）由的性質得開口方向，對稱軸和最值，把代入中即可得出a的值；（2）由，得出拋物線是由拋物線C：向左平移3個單位，再向下平移4個單位得到，即可求出點移動的最短路程．（1），∴對稱軸為直線，∵，∴拋物線開口向下，有最大值，即的最大值為4，把代入中得：，解得：或，∵點在C的對稱軸右側，∴；（2）∵，∴是由向左平移3個單位，再向下平移4個單位得到，平移距離為，∴移動的最短路程為5．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質，掌握二次函數(shù)的性質以及平移的方法是解題的關鍵．21．（2022·河北·邯鄲市第二十三中學九年級期中）在平面直角坐標系中，已知拋物線L：(1)當時①拋物線L的對稱軸為直線______.②若在拋物線L上有兩點，，且，則m的取值范圍是______.(2)拋物線L的對稱軸與x軸交于點M，點M與點A關于y軸對稱，將點M向右平移3個單位得到點B，若拋物線L與線段恰有一個公共點，結合圖象，求a的取值范圍. 【答案】(1) 1 或(2)或【分析】（1）把代入拋物線解析式，①利用對稱軸公式即可求得拋物線的對稱軸；②先畫二次函數(shù)的簡易圖象，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質，拋物線上有兩點，，且，進而可得的取值范圍；（2）根據(jù)題意先求出點、、的坐標，再結合圖象，即可求的取值范圍．【詳解】（1）①∵當時，拋物線為，∴拋物線的對稱軸為，故答案為：1；②當時，拋物線為，如圖，當或時，，∵拋物線上有兩點，，且，∴在點左邊拋物線上或點右邊的拋物線上，∴的取值范圍是或；故答案為：或；（2）∵拋物線：的對稱軸為，且對稱軸于軸交于點，∴點的坐標為（1，0），∵點與點關于軸對稱，∴點的坐標為（，0），∵點向右移3個單位長度得到點，∴點的坐標為（4，0），依題意，拋物線與線段恰有一個公共點，把點（，0）代入可得；把點（4，0）代入可得；把點（1，0）代入可得；根據(jù)圖象可知拋物線與線段恰有一個公共點時可得或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征、二次函數(shù)圖象與幾何變換，結合圖象作答是解題的關鍵．22．（2022·河北·唐山市路北區(qū)教育局中教研二模）圖是某跳臺滑雪訓練場的橫截面示意圖，取水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標系．圖中的拋物線：近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線：運動．(1)當運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)在（1）的條件下，當運動員運動水平線的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？(3)當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．【答案】(1)(2)當運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米(3) 【分析】（1）點，點代入拋物線，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）運動員與小山坡的豎直距離為1米，結合圖形根據(jù)，解方程即可求解；（3）將化為頂點式，求得坡頂坐標為，根據(jù)當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，列出不等式，解不等式即可求解．（1）根據(jù)題意可知：點，點代入拋物線：得，，解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式；（2）∵運動員與小山坡的豎直距離為1米，∴，解得：（不合題意，舍去），，故當運動員運動水平線的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；（3）∵點，∴拋物線：，∵拋物線：，∴坡頂坐標為，∴當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，，解得：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，根據(jù)題意求得解析式是解題的關鍵．23．（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）拋物線：與直線：交于、兩點，且．(1)求和的值（用含的代數(shù)式表示）；(2)當時，拋物線與軸的另一個交點為．求的面積；當時，則的取值范圍是______．(3)拋物線：的頂點，求出與的函數(shù)關系式；當為何值時，點達到最高．(4)在拋物線和直線所圍成的封閉圖形的邊界上把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，當時，直接寫出“美點”的個數(shù)______；若這些美點平均分布在直線的兩側，的取值范圍：______．【答案】(1)，(2)①10；②(3)，當時，此時點達到最高(4)；【分析】將點分別代入拋物線和直線解析可得出結論；由可得出，令，可得出的值，進而可得出點的坐標，聯(lián)立拋物線和直線的解析式，可得出點的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式可得出結論；根據(jù)二次函數(shù)的性質可得出當時，拋物線的增減性，進而可得出的取值范圍；將拋物線的解析式化為頂點式，可得出的值，進而可得出與的函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質可得出結論；求出拋物線與直線的交點，在其范圍內(nèi)，根據(jù)拋物線解析式和直線解析式的特點確定“美點”的個數(shù)；根據(jù)題意若這些美點平均分布在直線的兩側，則直線在點和之間，由此求出的值，進而得出結論．解：將點代入直線：，，；將點代入拋物線：，，；綜上，，；當時，，拋物線的解析式為：．令，則或，，令，解得或，．．當時，函數(shù)隨的增大而增大，當時，，當時，，當時，的取值范圍為：．故答案為：．拋物線：，拋物線的頂點為，，，當時，的最大值為，此時點達到最高．綜上，，當時，此時點達到最高．（4）當時，拋物線：，直線：，由得，，，拋物線與直線的交點是和，當時，在和上的邊界上，當橫坐標是整數(shù)時，縱坐標也是整數(shù)，“美點”共有：個；當過點時，直線下方有個，直線上方有個，此時，解得；當過點時，直線下方有個，上方有個，此時，解得；若這些美點平均分布在直線的兩側，的取值范圍：．故答案為：；．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，新定義“美點”，二次函數(shù)的應用，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．

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