一、單選題
1．若復(fù)數(shù)滿足，則的模為（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法和減法的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
所以，
故選：A
2．如果不等式成立的充分不必要條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】解不等式，得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間的包含關(guān)系的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得不等式組，則有，（注：等號(hào)不同時(shí)成立），解可得答案
【詳解】由不等式，
得：，
由于不等式成立的充分不必要條件是，
則有，（注：等號(hào)不同時(shí)成立）；
解得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件的判斷及運(yùn)用，注意與集合間關(guān)系的對(duì)應(yīng)即可，屬于較易題.
3．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用f(x)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求其單調(diào)性．
【詳解】∵，∴，
當(dāng)x＞2時(shí)，，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是．
故選：D．
4．若函數(shù)滿足，則的值為（ ）．
A．1B．2C．0D．
【答案】C
【解析】求導(dǎo)得到，取帶入計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，
則，故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了求導(dǎo)數(shù)值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.
5．在中，已知，且，則的形狀是
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】C
【詳解】由及正弦定理得，故在為直角三角形；又且，所以，因此
，由于為三角形的內(nèi)角，故有，所以為等腰三角形．綜上可得為等腰直角三角形．選C．
6．正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計(jì)算其面積.
【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，
由且，得是平行四邊形，則且，
又且，得且，則共面，
故平面截該正方體所得的截面為.
又正方體的棱長為2，，，，，
故的面積為.
故選：D.
7．橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為N，則的周長為（ ）．
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可知為的中位線，再利用橢圓定義可得，從而可得的周長.
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以為△的中位線，
所以，
，
所以的周長為.
故選：D.
8．在一次勞動(dòng)實(shí)踐課上，甲組同學(xué)準(zhǔn)備將一根直徑為的圓木鋸成截面為矩形的梁.如圖，已知矩形的寬為，高為，且梁的抗彎強(qiáng)度，則當(dāng)梁的抗彎強(qiáng)度最大時(shí)，矩形的寬的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易得再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與取最大值時(shí)的值即可
【詳解】由題意，，故，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)取最大值.
故選：D
9．過拋物線的焦點(diǎn)作直線l，l交C于M，N兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，利用韋達(dá)定理求出值，再利用弦長公式即可.
【詳解】由拋物線方程知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，
則，解得，
則，
故選：C.
10．已知過點(diǎn)（0，1）的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，三角形面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】先設(shè)直線方程再聯(lián)立應(yīng)用弦長公式求弦長,把面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),求最值即可.
【詳解】顯然直線斜率存在，設(shè)過的直線方程為：，聯(lián)立方程組
消去，并整理得，
設(shè)，，則恒成立,
，，
，O到直線的距離為，
，
令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故選:.
11．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓被軸截得的弦長為，則該圓被軸截得的弦長的最小值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由圓M被軸截得的弦長為，求得，
進(jìn)而得到被x軸截得弦長為，即可求解．
【詳解】由題意，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，
則圓心到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，
又因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心的圓被軸截得的弦長為，
由弦長公式，可得，
所以被x軸截得弦長為，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)弦長取得最小值，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，以及圓的弦長公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用圓的性質(zhì)和圓的弦長公式，借助配方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題．
12．已知雙曲線，、分別是上下頂點(diǎn)，過下焦點(diǎn)斜率為的直線上有一點(diǎn)滿足為等腰三角形，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】依題意首先得到直線的方程，過點(diǎn)作軸，垂足為，即可表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在直線上，即可得到、的關(guān)系，即可求出離心率.
【詳解】解：依題意可得，，，直線的方程為，
過點(diǎn)作軸，垂足為，因?yàn)?，所以，?br>所以，則，，所以，
又點(diǎn)在直線上，所以，所以.
故選：D
二、填空題
13．設(shè)為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第____________象限.
【答案】一
【分析】化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，
可復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故答案為：一
14．已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該雙曲線的右支上，且，則__________.
【答案】
【分析】根據(jù)雙曲線得定義可得：，結(jié)合，求得的值，利用余弦定理，求得的值
【詳解】由雙曲線，及，所以：a=2，.根據(jù)雙曲線的定義： 因?yàn)?，則，在三角形PF1F2中，，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】雙曲線與焦點(diǎn)三角形問題，結(jié)合余弦定理，求角的余弦值.
15．已知函數(shù)在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】函數(shù)在上不單調(diào),轉(zhuǎn)化為在有零點(diǎn)，即有解，研究取值范圍即可.
【詳解】函數(shù)在上不單調(diào),
即在有零點(diǎn)，
即
當(dāng)，，故
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在含參函數(shù)的單調(diào)性問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.
16．三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，，，則三棱錐的外接球體積為______.
【答案】
【分析】先由題中條件，作出示意圖，在中，用余弦定理求得，用勾股定理證得為直角三角形，再由平面平面，為等邊三角形，證得平面，得到三棱錐的外接球的球心必在直線上，再由，求得外接球半徑，得到外接球體積.
【詳解】解析：作出圖形如圖所示，
在中，由余弦定理，，
解得，或（，舍），
又由，，則，故為直角三角形，
設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，又平面平面?br>故平面， 又為直角三角形，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，
則球心必在直線上，易知，
故在之間，設(shè)，則，
即，解得，故所求球半徑，球的體積為.
故答案為： .
【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)，三棱錐的外接球半徑的求法，屬于中檔題.
三、解答題
17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求拋物線方程；
(2)斜率為1的直線過點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題可得，即可求出；
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，最后利用面積公式即可
【詳解】（1），則由拋物線性質(zhì)得，
∴，∴，
即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為，
∴斜率為1的直線的方程為，，，
，
所以，，
∴.
原點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積
18．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）從條件①；條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．
【分析】（1）由題設(shè)條件和正弦定理，化簡得，求得，即可求解；
（2）條件①：由，和，根據(jù)余弦定理求得，結(jié)合面積公式，即可求解；
條件②：由且，根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而求得的值，結(jié)合面積公式，即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理?br>因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>（2）條件①：；
因?yàn)?，由?）得，
所以根據(jù)余弦定理得，可得，解得．
所以的面積，
條件②：；
由（1）知且，
根據(jù)正弦定理得，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以的面積．
19．在數(shù)列中，，若函數(shù)在點(diǎn)處切線過點(diǎn)（）
（1） 求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.
【答案】（1）見解析；（2），.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程得到，經(jīng)過變形即可得到
（2）由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和得到
【詳解】（1）因?yàn)?，所以切線的斜率為，切點(diǎn)（1，2），
切線方程為
又因?yàn)檫^點(diǎn)（），所以，
即①
所以，
即數(shù)列為一等比數(shù)列，公比
（2）由（1）得為一公比為的等比數(shù)列，則
∴，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及由定義判定等比數(shù)列，屬于中檔題．
20．如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn).
（1）求證：；
（2）求證：平面.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為證明平面；
（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，可得，再由線面平行的判定定理即可證得結(jié)果.
【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，
又因?yàn)椋?，，則，所以，
又，所以平面，所以.
（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，
∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴
∵平面，平面， ∴平面.
21．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．過橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于（其中為原點(diǎn)）．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并求弦的長；
(2)證明直線過定點(diǎn)．
【答案】(1)；；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再與直線m的方程聯(lián)立，求出弦AB長作答.
（2）利用（1）中信息，求出直線OP斜率、點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線l方程作答.
【詳解】（1）因?yàn)闉闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則，由離心率為得，
，則有，橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為，
直線，，由消去y得：，
設(shè)，則，
，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，弦的長為.
（2）由（1）知弦的中點(diǎn)，直線斜率，而，
則直線的斜率為，在中，令得點(diǎn)，
因此直線的方程為，顯然直線：過定點(diǎn)，
所以直線過定點(diǎn).
22．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和；（2）.
【詳解】試題分析：（1）先確定函數(shù)，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)建立不等式，求得函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；（2）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后通過分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用最小值小于0，建立不等式，求解不等式，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：(1)當(dāng)時(shí),,由,得或,
所以函數(shù)在與上為增函數(shù),
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
(2),
當(dāng),即時(shí),在[1,2]恒成立,
在[1,2]上為增函數(shù),故,
所以,這與矛盾.
當(dāng),即時(shí),若,則;
若,則所以當(dāng)時(shí),取得最小值,
因此,即,可得,
這與矛盾.
當(dāng),即時(shí),在[1,2]恒成立,在[1,2]上為減函數(shù),
所以,
所以,解得,滿足.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為

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