中考數(shù)學(xué)優(yōu)化探究一輪復(fù)習(xí)（理數(shù)）第2章第10節(jié) 第1課時　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性課件PPT-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十節(jié)　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一課時　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
知識點一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．函數(shù)f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系
(1)若_________，則f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；(2)若_________，則f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)；(3)若_________，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)．
f′(x)＞0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系f′(x)＞0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件．
2．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟
(1)求_________；(2)在定義域內(nèi)解不等式____________________；(3)根據(jù)結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間．
若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子區(qū)間上，等號不恒成立；若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子區(qū)間上，等號不恒成立．

2．(易錯題)若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
知識點二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值1．函數(shù)的極大值
在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都______ x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極大值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極大值．
在包含x0的一個區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)在任何一點的函數(shù)值都______ x0點的函數(shù)值，稱點x0為函數(shù)y＝f(x)的極小值點，其函數(shù)值f(x0)為函數(shù)的極小值．極大值與極小值統(tǒng)稱為_________，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點．
(1)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都_________f(x0)．(2)函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最小值點x0指的是：函數(shù)在這個區(qū)間上所有點的函數(shù)值都_________f(x0)．
二級結(jié)論1．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．2．若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點．3．極值有可能是最值，但最值只要不在區(qū)間端點處取得，其必定是極值．
必明易錯1．極值點不是點，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點，極大值為f(x1)．2．極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極小值可能比極大值還大．3．極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得，有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù)．4．f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點的必要而不充分條件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．
2．如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像，則下列判斷正確的是(　　)
A．在區(qū)間(－2，1)上f(x)是增函數(shù)B．在區(qū)間(1，3)上f(x)是減函數(shù)C．在區(qū)間(4，5)上f(x)是增函數(shù)D．當(dāng)x＝2時，f(x)取到極小值
4．(易錯題)設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a．因為函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因為當(dāng)x＞0時，－ex＜－1，所以a＝－ex＜－1．答案：(－∞，－1)
題型一　函數(shù)單調(diào)性的判斷
[例]　已知函數(shù)g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，若a＞0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性．
解析：(1)f′(x)＝cs x(sin xsin 2x)＋sin x(sin xsin 2x)′＝2sin xcs xsin 2x＋2sin2xcs 2x＝2sin xsin 3x．
題型二　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
函數(shù)的單調(diào)性是高考命題的重點，其應(yīng)用是考查熱點．常見的命題角度有：(1)y＝f(x)與y＝f′(x)的圖像辨識；(2)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍．
考法(一)　y＝f(x)與y＝f′(x)的圖像辨識[例1]　函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖像可能是(　　)
[解析]　設(shè)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)從左往右依次為x1，x2，x3，由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖像易得當(dāng)x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)時，f′(x)＞0(其中x1＜0＜x2＜x3)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上單調(diào)遞增，觀察各選項，只有D選項符合．
函數(shù)圖像與其導(dǎo)函數(shù)圖像的關(guān)系：導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖像在x軸上方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖像上升部分對應(yīng)的區(qū)間(遞增區(qū)間)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖像在x軸下方時對應(yīng)的自變量的取值區(qū)間為原函數(shù)f(x)圖像下降部分對應(yīng)的區(qū)間(遞減區(qū)間)．
(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．
[變式探究1]　本例中，若函數(shù)h(x)在[1，4]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
[變式探究2]　本例中，若h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．
解析：h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′(x)＜0在[1，4]上有解，
所以a＞－1，又a≠0，所以a的取值范圍是(－1，0)∪(0，＋∞)．
[變式探究3]　本例中，若函數(shù)h(x)在[1，4]上不單調(diào)，求a的取值范圍．解析：∵h(yuǎn)(x)在[1，4]上不單調(diào)，∴h′(x)＝0在(1，4)上有解，
由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的四種方法(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，要注意“＝”是否取到．(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題．
(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．(4)若已知f(x)在D上不單調(diào)，則f(x)在D上有極值點，且極值點不是D的端點．
[題組突破]1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2cs x，若f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f′(x)的圖像大致是(　　)
解析：設(shè)g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cs x≥0，所以函數(shù)f′(x)在R上單調(diào)遞增．
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性中的核心素養(yǎng)
數(shù)學(xué)運算、邏輯推理——構(gòu)造函數(shù)解決不等式問題此類涉及已知f(x)與f′(x)的一些關(guān)系式，比較有關(guān)函數(shù)式解決不等式的問題，可通過構(gòu)造新的函數(shù)，創(chuàng)造條件，從而利用單調(diào)性求解．
1．x與f(x)的綜合函數(shù)[例1]　設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x＞0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
又因為f(－1)＝0，所以g(1)＝g(－1)＝0，故當(dāng)0＜x＜1時，g(x)＞g(1)＝0，故f(x)＞0；當(dāng)x＜－1時，g(x)＜g(－1)＝0，故f(x)＞0．綜上，使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1)．
2．ex與f(x)的綜合函數(shù)[例2]　已知f(x)(x∈R)有導(dǎo)函數(shù)，且任意x∈R，f′(x)＞f(x)，n∈N＋，則有(　　)A．enf(－n)＜f(0)，f(n)＞enf(0)B．enf(－n)＜f(0)，f(n)＜enf(0)C．enf(－n)＞f(0)，f(n)＞enf(0)D．enf(－n)＞f(0)，f(n)＜enf(0)
[例3]　設(shè)a＞0，b＞0，e是自然對數(shù)的底數(shù)，則(　　)A．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，則a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，則a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，則a＜b[解析]　因為a＞0，b＞0，所以ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋b＞eb＋2b．對于函數(shù)y＝ex＋2x(x＞0)，因為y′＝ex＋2＞0，所以y＝ex＋2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因而a＞b成立．
(1)對于不等式f′(x)＋g′(x)＞0，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)．(2)對于不等式f′(x)－g′(x)＞0，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)．特別地，對于不等式f′(x)＞k，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－kx.(3)對于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)·g(x)．
[題組突破]1．(2021·上饒模擬)對任意x∈R，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)都存在，若f(x)＋f′(x)＞0恒成立，且a＞0，則下列說法正確的是(　　)A．f(a)＜f(0)　　　　　　B．f(a)＞f(0)C．ea·f(a)＜f(0) D．ea·f(a)＞f(0)解析：設(shè)g(x)＝ex·f(x)，則g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以g(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因為a＞0，所以g(a)＞g(0)，即ea·f(a)＞f(0)．
2．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′(x)，g′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，則不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　　)A．(－3，0)∪(3，＋∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)
解析：令h(x)＝f(x)g(x)，當(dāng)x＜0時，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，則h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以h(x)為奇函數(shù)，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(huán)(3)＝0，所以x＜－3或0＜x＜3時h(x)＜0．

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