(一)圖形對(duì)稱性問(wèn)題近幾年高考和模考中的圓錐曲線綜合題中，出現(xiàn)了不少關(guān)于軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平行、垂直、中垂線、弦的中點(diǎn)、特殊幾何圖形或特殊幾何圖形內(nèi)接于圓錐曲線等問(wèn)題，用解析幾何呈現(xiàn)出來(lái)的形式往往是角相等或互補(bǔ)、斜率相等或互為相反數(shù)、過(guò)定點(diǎn)或?yàn)槎ㄖ档?，這種題型能有效考查考生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不垂直于x軸的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)N(4，0)．若P，Q，N三點(diǎn)不共線，且∠ONP＝∠ONQ．證明：動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

本題中，由kPN＋kQN＝0構(gòu)建方程找到m，k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)直線l的方程和點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程與不等式是解題的難點(diǎn)．
[例2]　已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)M(0，4)，且截x軸所得的弦AB的長(zhǎng)為8．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(2)過(guò)軌跡C上一個(gè)定點(diǎn)P(m，n)(m≠0)引它的兩條弦PS，PT，直線PS，PT的斜率存在且傾斜角互為補(bǔ)角．證明：直線ST的斜率為定值．[解析]　(1)設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為(x，y)，則(x－0)2＋(y－4)2＝42＋y2，整理得x2＝8y．故所求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x2＝8y．
本題中，將傾斜角互為補(bǔ)角這一條件轉(zhuǎn)化為kPS＋kPT＝0，建立方程得到x1，x2，m之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；(2)直線l：y＝kx＋m(k≠0)與軌跡E交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0，－1)，且|PC|＝|PD|，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
此題也可以用解析法解決，但有一定的計(jì)算量，巧用三角形的相似比可簡(jiǎn)化計(jì)算．
本題設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，卻不求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，巧妙地表達(dá)出直線AB的斜率，通過(guò)將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系，從而快速解決問(wèn)題．
(1)求圓O與橢圓E的方程；(2)圓O的切線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，求|AB|的取值范圍．
變量換元的關(guān)鍵是構(gòu)造元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而將非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．變量換元法常用于求解復(fù)合函數(shù)的值域、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)或求值等問(wèn)題．
(2)由題意可設(shè)M(－m，m)(m>0)，直線l′：y－m＝k(x＋m)(k≠－1)，將直線l′的方程代入拋物線的方程x2＝y(tǒng)，消去y，得x2－kx－km－m＝0．因?yàn)橹本€l′與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以Δ＝k2－4(－km－m)＝k2＋4km＋4m>0．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝k，又x1＋x2＝－2m，所以k＝－2m，代入Δ＝k2＋4km＋4m>0，解得0

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