第七章 立體幾何第三節(jié)　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)一　平面的基本性質(zhì)及推理1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的_________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有_________公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
2．公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．
異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．
1．下列命題中正確的是(　　)A．過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面D．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域解析：對(duì)于A，過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，四邊形也可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，平面是無(wú)限延展的，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，故D正確．
2．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是(　　)
解析：A，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D圖中四點(diǎn)不共面．

過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．
2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行D．OB與O1B1不一定平行解析：兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行．
知識(shí)點(diǎn)三　空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有_________、_________、_________三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有_________、_________兩種情況．
直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”．
題型一　平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用
1．在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH相交于點(diǎn)P，那么(　　)A．點(diǎn)P必在直線AC上B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi)D．點(diǎn)P必在平面ABC外
2．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
證明線共面或點(diǎn)共面的三種方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面．(2)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α、β重合．
題型二　空間兩條直線的位置關(guān)系
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則(　　)
A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
2．(2021·大連期末測(cè)試)如圖為一個(gè)正方體的表面展開圖，則在原正方體中，線段AB，CD的位置關(guān)系是(　　)
A．平行　　　　　　　　B．垂直但不相交C．異面但不垂直 D．相交解析：還原為正方體后得點(diǎn)A和C重合，所以AB，CD相交．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為_________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)．解析：AM與C1C異面，故①錯(cuò)；AM與BN異面，故②錯(cuò)；③，④正確．答案：③④
題型三　異面直線所成的角
[解析]　連接BC1，易證BC1∥AD1，
則∠A1BC1(或其補(bǔ)角)即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
[變式探究1]　將本例條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，問題不變．
[變式探究2]　將本例條件“AA1＝2AB＝2”改為“AB＝1，且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，則是否存在過頂點(diǎn)A的直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在幾條？若不存在，說明理由．
解析：由條件知，此時(shí)正四棱柱為正方體．如圖，連接對(duì)角線AC1，顯然AC1與棱AB，AD，AA1所成角都相等，聯(lián)想正方體的其他體對(duì)角線．如連接BD1，則BD1與棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因?yàn)锽B1∥AA1，BC∥AD．
∴體對(duì)角線BD1與棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理體對(duì)角線A1C，DB1也與棱AB，AD，AA1所成角都相等，故過A作BD1，A1C，DB1的平行線都滿足，故這樣的直線可以作4條．
求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成的角的三步驟：“一作、二證、三求”．其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．
判斷空間線、面間的位置關(guān)系中的核心素養(yǎng)
1．構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造適合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．2．由于長(zhǎng)方體或正方體中包含了線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直及面面垂直等各種位置關(guān)系，故構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體來判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系，顯得直觀、易判斷．構(gòu)造時(shí)注意其靈活性，想象各種情況反復(fù)驗(yàn)證．
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2021·鄭州模擬)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則(　　)A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能
解析：在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．

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