第三章 三角函數(shù)、解三角形第六節(jié)　正弦定理和余弦定理
知識(shí)點(diǎn)一　正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則

sin A∶sin B∶sin C
必明易錯(cuò)1．由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角時(shí)易忽視解的判斷．2．在判斷三角形形狀時(shí)，等式兩邊一般不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制．
3．在△ABC中，acs A＝bcs B，則這個(gè)三角形的形狀為_(kāi)________．解析：由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形
題型一　利用正、余弦定理解三角形
題型二　利用正、余弦定理判斷三角形形狀
[例]　(2021·秦皇島模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acs B＋acs C＝b＋c，則△ABC的形狀為(　　)A．等邊三角形　　　　　B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形
解析：將已知等式2acs B＝c利用正弦定理化簡(jiǎn)得2sin Acs B＝sin C，因?yàn)閟in C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，所以2sin Acs B＝sin Acs B＋cs Asin B，即sin Acs B－cs Asin B＝sin(A－B)＝0，因?yàn)锳與B都為△ABC的內(nèi)角，所以A－B＝0，即A＝B．
即(cs C＋1)(2－cs C)＝2－cs C，整理得cs2C－2cs C＝0，即cs C(cs C－2)＝0，所以cs C＝0或cs C＝2(舍去)，所以C＝90°，則△ABC為等腰直角三角形．
題型三　與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題
求解與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題的步驟
正弦定理、余弦定理應(yīng)用中的核心素養(yǎng)
求解該題第(2)問(wèn)時(shí)易出現(xiàn)的問(wèn)題是不能靈活利用“AB⊥BC”，將已知條件和第(1)問(wèn)中所求值轉(zhuǎn)化為△BCD內(nèi)的邊角關(guān)系．解決平面圖形中的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)對(duì)條件進(jìn)行分類與轉(zhuǎn)化是非常重要的，一般來(lái)說(shuō)，盡可能將條件轉(zhuǎn)化到三角形中，這樣就可以根據(jù)條件類型選用相應(yīng)的定理求解．如該題中，把條件轉(zhuǎn)化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的長(zhǎng)．
(1)若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的長(zhǎng)；(2)若∠CBD＝45°，求CD的長(zhǎng)．

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